湖北省十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学试题（含解析）

十堰市2023-2024学年高二上学期期末调研考试数学
本试题卷共4页，共22道题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．直线与圆的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
4．数列满足，且，则（ ）
A． B．4 C． D．2
5．过点作圆的两条切线，两条切线的夹角的余弦值为，则（ ）
A．2 B． C． D．1
6．已知，点在平面内，则的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，的准线与轴的交点为，点在上，且，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的公差为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
11．在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（ ）
A．若为的中点，则 B．若为的中点，则到的距离为
C．若，则平面 D．的周长的最小值为
12．某玩家玩掷骰子跳格子的游戏，规则如下：投掷两枚质地均匀的骰子，若两枚骰子的点数均为奇数，则往前跳两格，否则往前跳一格．从第0格起跳，记跳到第格的概率为，则（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．向量在向量方向上的投影向量的模为______．
14．用1，2，5这三个数字组成无重复数字的三位数，则这个三位数比215大的概率为______．
15．已知正项等比数列的前项和为，且，则______．
16．是双曲线的左焦点，是右支上一点，过作与直线夹角为的直线，并与相交于点，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知直线，圆．
（1）求与垂直的的直径所在直线的一般式方程；
（2）若圆与关于直线对称，求的标准方程．
18．（12分）
甲、乙、丙三人独立地解答一道试题，各人能答对的概率分别为，其中．
（1）若，求这三人中恰有一人答对该试题的概率；
（2）当这三人都没答对该试题的概率取得最大值时，求这三人中至少有两人答对该试题的概率．
19．（12分）
在平面直角坐标系中，已知点，横坐标非负的动点到轴的距离为，且，记点的运动轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）若是上两点，且线段的中点为，求．
20．（12分）
在等差数列中，，若数列对任意，都有，成立，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和分别为，若，求的最小值．
21．（12分）
在图1所示的平面多边形中，四边形为菱形，与均为等边三角形．分别将沿着，翻折，使得四点恰好重合于点，得到四棱锥．
（1）若，证明：．
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
22．（12分）
已知是椭圆上一点．
（1）求的离心率．
（2）过点作两条互相垂直且斜率均存在的直线与交于两点，与交于两点，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
高二数学参考答案
1．D根据椭圆的概念可知，．
2．B因为，所以．
3．C由题可知，过定点在圆的内部，故与有2个公共点．
4．A ，可知是周期数列，则．
5．A将C的方程转化为，可知的半径为．两切线夹角的余弦值为，则夹角为，则．
6．D因为点在平面内，所以，得，只有D中算出，符合题意．
7．B如图，过B作准线的垂线，垂足为，则，设，则，则．设点到直线的距离为，则，则．
8．D由题可知，则这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，解得，则，故，若是等差中项，则，解得，则．故．
9．AD 由题可知解得则，故选AD．
10．BD 若在的同侧，则直线，则，解得．若在的两侧，则经过线段的中点，可得．
11．BCD 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，可得平面的一个法向量为．若为的中点，则，，则到的距离，A不正确，B正确．
若，则，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面（图略），当三点共线时，的周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．
12．ACD 两枚骰子的点数均为奇数的概率，故玩家每次往前跳两格的概率为，往前跳一格的概率为，则，A正确，B不正确．由题可知，，则，故数列为常数列，也是等差数列，C正确．由1），得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，则正确．
13． 向量在向量方向上的投影向量的模为．
14． 三位数的样本空间，比215大的样本空间，，故所求的概率．
15．160 因为为正项等比数列，所以也成等比数列，则），解得或（舍去），则，解得．
16． 过作的垂线，垂足为（图略），因为与的夹角为，所以．设的右焦点为，则到的距离，故，当且仅当三点共线时，等号成立．
17．解：（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4．
因为，所以可设的一般式方程为，
将代入，解得，
故的一般式方程为．
（2）设的圆心为，由与关于直线对称，
可得，解得
所以的标准方程为．
18．解：（1）因为，所以这三人中恰有一人答对该试题的概率．
（2）这三人都没答对该试题的概率，
当且仅当时，等号成立，此时这三人中恰有一人答对该试题的概率，则这三人中至少有两人答对该试题的概率．
19．解：（1）设，则．
由，可得，
整理得的方程为．
（2）设，则，则．
因为线段的中点为，所以，
则直线的方程为，经过点．
由（1）可知，是以为焦点的抛物线，所以．
20．解：（1）设的公差为，由，得，
则，解得，
所以，即．
由，两式相减得，
因为，所以，
所以是首项为2，公比为的等比数列，所以
（2）由，得，
所以，
所以，得．
因为，所以当时，，
当时，，故的最小值为64．
21．（1）证明：因为，所以为的中点．
由题可知，，所以．
又，所以平面．
取，则．由平面，可得，则．
（2）解：连接，易证得平面，过点作，垂足为，则平面．
以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由，得，从而，则，
则，，．设平面的法向量为，
则由得
令，得．
由图可知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，所以，解得．
22．解：（1）由题可知，则，解得，
则，
故的离心率．
（2）为定值，且该定值是．
求解过程如下：
设的方程为，
联立方程组整理得，
则，
则同理可得
因为三点共线，所以，
则，
则，即为定值，且该定值是．