河北省石家庄市第五十四中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含解析)

河北省石家庄市第五十四中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用四舍五人法把精确到百分位得到的近似数是（ ）
A． B． C． D．
2．用等式表示“81的平方根等于”，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．对于代数式，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是（ ）
甲：是分式，因为是整式，且分母中含有字母．
乙：是整式，因为，而1是整式．
A．甲对、乙不对 B．乙对、甲不对
C．甲和乙均对 D．甲和乙均不对
4．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（ ）．
A．点G B．点H C．点I D．点J
5．实数不能写成的形式是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，小手盖住的是两个三角形中的一个，若这两个三角形轴对称，则小手盖住的三角形是（　　）

A． B． C． D．
7．，则x的值可以是（ ）．
A．3 B． C．2 D．
8．与如图所示的三角形不一定全等的是（ ）
A． B．
C． D．
9．分式中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“□”可能是（ ）
A．2 B． C． D．y
10．如图，在河岸m上建一个水厂，向两个村庄P，Q供水，若水厂到两个村庄P，Q的距离相等，则水厂应建在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
11．如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示，则点A表示的数可能为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，若是的中线，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．若〇表示运算符号“”“”“”“”中的一种，且的结果是有理数，则〇可以表示的运算符号是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
14．有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉淇想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
15．在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（ ）
甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形
乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形
A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以
C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以
16．如图，、E是直线上不重合的两点，是的角平分线，于点A，若的周长为10，则的周长可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
17．用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设 ．
18．已知实数a，b满足．则（1）当b=1时，a的值是 ；（2）若a，b均为正整数，当b取最大值时， ．
三、解答题
19．如图，在中，，的平分线交于点D，交于点F．
图1 图2
（1）如图1，若，则的度数为
（2）如图2，若，，则的长为
20．如图，根据作图痕迹，解决下列问题：
(1)_______；
(2)若平分，，，求的面积
21．请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正方体木块的棱长．
22．如图，约定：上方相邻两个代数式之和等于两个代数式下方箭头共同指向的代数式
(1)求代数式M；
(2)当时，求代数式N的值．
23．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算．规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示：
(1)接力中，自己负责的一步出现错误的是 ；
(2)请给出正确的求解过程．
24．如图，在中，，过点C作交的平分线于点D，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的度数
25．某工厂要生产一批零件150个，已知乙的工作效率是甲的2倍
(1)设甲每天做零件x个，求乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数(用含x的代数式表示)．
(2)若这批零件先由甲单独做1天，剩下的由乙来做，乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天，求乙每天所做零件的个数．
26．【问题提出】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接
①求证：
②若，求的长．
【问题拓展】
（2）如图2，和都是等边三角形，连接，若，求的面积
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了近似数，根据精确到的数位“四舍五入”即可求解，确定近似数精确到的数位是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2．B
【分析】本题考查平方根的表示方法，掌握正数a的平方根为是解题的关键．
【详解】解：用等式表示“81的平方根等于”为，
故选：B．
3．A
【分析】本题主要考查了分式的定义，掌握分式的定义是解题的关键．
根据分式的定义即可解答．
【详解】解：∵因为是整式，且分母中含有字母，
∴代数式是分式，即甲对、乙不对．
故选A．
4．C
【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键．
根据对称中心的确定方法即可解答．
【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．
则线段与线段的对称中心为点I．
故选：C．
5．D
【分析】根据二次根式的意义和性质进行化简即可判断.
【详解】A.==5，正确；
B.==5，正确；
C.=5，正确；
D. =-=-5，错误，
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质，掌握和是解答此题的关键.
6．A
【分析】根据轴对称图形的定义依次分析各项即可判断.
【详解】解：根据轴对称的性质，可得小手盖住的三角形是
故选：A．
【点睛】解答本题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义：如果把一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.
7．A
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式有意义的条件（被开方数大于等于零）是解题的关键；分式的分母不等于零是易错点．
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列不等式组，求解得到x的取值范围，进而完成解答．
【详解】解：由题意可得：
，解得：，则选项A符合题意．
故选A．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：由题意可得：另一条直角边为，
A、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；
B、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；
C、不能得到两个三角形全等，故该选项符合题意；
D、根据即可得到两个三角形全等，故该选项不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：A、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意；
B、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意；
C、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值改变，不符合题意；
D、中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，符合题意；
故选D．
10．B
【分析】本题重点考查了线段垂直平分线的判定定理，掌握到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上是解题的关键．
【详解】解：∵水厂到两个村庄P，Q的距离相等，
∴水厂应建在的垂直平分线上，即点B，
故选B．
11．C
【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到，然后确定数值是解题的关键．
【详解】解：设点A表示的数为
根据数轴上点的位置可得，
即，
符合要求的为，
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，是的中线，
∴，
∴，
故选：．
13．B
【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的运算法则，逐个进行计算是解题关键．
【详解】解：，，
，，
∴〇可以表示的运算符号是或，
故选B．
14．D
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，做题时要根据已知条件进行选择运用．
【详解】解：想按原来的大小在玻璃店再订制一块，需要带的两块可以是①④或③④，
满足的为①④，
故选D．
15．A
【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键．
甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满足即可判断．
【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为：或，即；
先根据正方形的面积计算出，即可；
所以甲、乙均可验证．
故选A．
16．D
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键，同时熟练掌握三角形的任两边之和大于第三边．
延长延长至点F，使得，连接，证得，即得，再根据三角形的三边关系即可证得结论．
【详解】当点E在点A右侧时，延长至点F，使得，连接，如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴的周长大于，
如图2.26所示，当点在点A左侧时，同理可证的周长大于，
符合要求的为11，
故选D
17．
【分析】根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可．
【详解】解：第一步应先假设；
故答案为：．
【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键．
18． 20 5
【分析】（1）把b=1代入计算即可；
（2）由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即b=4，由此求解即可．
【详解】解：（1）当b=1时，，
∴，
解得；
（2）∵，a，b均为正整数，
∴
∴当b取最大值时，即b=4时，
∴，
解得a=5，
故答案为：20，5．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．
19．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、含30度的直角三角形等知识；熟练掌握性质是解题的关键．
（1）由角平分线求出的度数，再利用三角形内角和定理即可；
（2）先证明是等边三角形，在证明，利用含30度的直角三角形，直角边等于斜边一半，问题即可解答；
【详解】（1）,,
,
平分,
,
,
,
,
故答案为：；
（2）,
为等边三角形，
平分,
,
,
，
∴，
在中
，，
，
在中，，
，
，
故答案为：．
20．(1)
(2)5
【分析】本题考查了尺规作图垂直平分线和角平分线性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键；
（1）根据尺规作图垂直平分线得垂直，即可得答案；
（2）作垂线，根据角平分线的点到角两边距离相等，得的高，根据面积公式即可解答；
【详解】（1）由作图痕迹可知，，
，
故答案为：
（2）
过点D作，
，
平分，，，
，
，
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根如何开方是解题的关键；
（1）根据正方体体积等于棱长棱长棱长，即可解答；
（2）设每个小正方体棱长为，根据总体积前去截取得体积等于488，列方程解答即可；
【详解】（1），
大正方体木块的棱长
（2）截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：
解得：，
截得的每个小正方体木块的棱长．
22．(1)
(2)，
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）利用异分母分式的减法进行运算解题即可；
（2）利用异分母分式的加法进行解题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
23．(1)甲、乙、丁；
(2)．
【分析】（）根据去括号法则、二次根式的性质及二次根式的加减运算法则运算即可判断求解；
（）根据去括号法则、二次根式的性质及二次根式的加减运算法则进行计算即可得到结果；
本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：，故甲错误；
，故乙错误；
，故丙正确；
，故丁错误；
∴自己负责的一步出现错误的是甲、乙、丁，
故答案为：甲、乙、丁；
（2）解：
，
．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据角平分线和平行线的性质得到，即可得到，又有，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到即可解题．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
25．(1)天
(2)乙每天所做零件100个
【分析】本题主要考查了列代数式、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出代数式和分式方程是解题的关键．
（1）设甲每天做零件x个，根据“乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数”列出代数式即可；
（2）设甲每天做零件x个，则一每天做零件个；然后根据等量关系“乙用的时间比甲单独做完这150个零件所用的时间还少2天”列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲每天做零件x个，则乙每天做零件个，
∴乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用的天数为：，即天．
答：乙单独生产这批零件比甲单独生产这批零件少用天．
（2）解：设甲每天做零件x个，则乙每天做零件个，
由题意可得：，解得：
经检验：是分式方程的解，
所以．
答：乙每天所做零件100个．
26．（1）①证明见解析；②；（2）
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）①利用即可证明；②过点C作于F，由等边三角形的性质得到，则，求出，则由全等三角形的性质得到，即可证明B、D、E三点共线，在中，，则；
（2）类似证明；得到，求出，则；如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，则，，可得，根据，可得，据此计算求解即可．
【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点C作于F，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴B、D、E三点共线，
在中，，
∴；
（2）∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点A、E分别作的垂线，垂足为G、H，
∴，，
∴，
∵，
∴
，
∴．
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