福建省福州市鼓楼区2023-2024学年高二上学期数学10月期中试卷
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（2023高二上·福州期中）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A．（2，4） B．（2，4） C．（4，+∞） D．（2，4）
2．（2023高二上·福州期中）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．a1+a3≥2a2 B．a12+a32≥2a22
C．若a1=a3，则a1=a2 D．若a3＞a1，则a4＞a2
3．（2023高二上·福州期中）各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2023高二上·福州期中）若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a+ B．a﹣ C． D．
5．（2023高二上·福州期中）若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（ ）
A．110米 B．112米 C．220米 D．224米
6．已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（ ）
A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的
B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的
C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的
D．不一定能构成三角形
7．（2023高二上·福州期中）已知条件p：x≥y≥0，条件q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023高二上·福州期中）在实数集上定义运算 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．
9．（2023高二上·福州期中）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A．5 B．7 C．8 D．15
10．（2023高二上·福州期中）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（ ）
A． B． C．4 D．
11．（2023高二上·福州期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交成60°角
C．异面成60°角 D．异面且垂直
12．（2023高二上·福州期中）设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（ ）
A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）
二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（2023高二上·福州期中）已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为 ．
14．（2018高二上·西安月考）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于 .
15．（2023高二上·福州期中）设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若是直角三角形，则△的面积等于 ．
16．（2023高二上·福州期中）下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 .（写出所有真命题的序号）。
①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点
三、解答题（共6小题，每题12分，共72分）
17．（2013·新课标Ⅰ卷理）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若 ，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
18．（2023高二上·福州期中）若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
19．（2023高二上·福州期中）已知命题P：（1﹣x）（x+4）≥0，q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，m＞0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围．
20．（2023高二上·福州期中）已知{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=﹣3．
（1）求数列{an}的通项an及Sn；
（2）设{bn﹣2an}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
21．（2016高一下·天津期末）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
22．（2023高二上·福州期中）设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可知，，
所以，
所以，
因为，，且满足条件的△ABC有两解，
所以，且
所以，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据正弦定理得到，再根据条件的△ABC有两解，可知取值范围，从而进一步得到取值范围，最后得到BC边长度的取值范围.
2．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等比数列，
所以，
因为，
当时，所以，
当时，所以，
所以A选项错误，
因为，
所以，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以，
所以C选项错误，
因为，
当时，所以，
所以D选项错误，
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列的定义，可知，再根据，且正负性不确定，所以无法判断；然后根据恒成立，可知B选项正确；根据，可知时，所以；最后根据，以及，可知，不成立.
3．【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等比数列，
所以，
因为与的等比中项为，
所以，
所以
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列的性质，可知，根据题目所给的比例中项值，可知，再结合对数函数的性质，化简从而求得值.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、令，显然在单调递增，而a＞b＞0，，即，A正确；
B、当，满足a＞b＞0，此时， ，B错误；
C、当，满足a＞b＞0，此时， ，C错误；
D、当，满足a＞b＞0，此时， ，D错误.
故答案为：A.
【分析】A构造函数，利用函数单调性判断，BCD特殊值判断.
5．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意作图，作，根据题意可知，，，，
所以，
所以，
设，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】首先根据题意，构造直角三角形，设出，再结合三角锐角比的正切值，从而求得值，从而得到金字塔的高度.
6．【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】设△ABC的三边分别为a，b，c
利用正弦定理可得，=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC
∵a，b，c为三角形的三边
∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，
面积为原来三角形面积，
故选：B
【分析】设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，=2可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，由a，b，c为三角形的三边判断即可。
7．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为，结合单调递增性，
所以，
所以是的充分条件，
因为，
所以，
再结合在上单调递增性，
所以，
所以是的必要条件，
所以是的充要条件，
故答案为：C.
【分析】首先根据不等式的性质，再结合的单调性，可以证出充分性；再结合在上单调递增性，可以证出必要性，从而说明是的充要条件.
8．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为恒成立，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】首先根据定义的运算公式，对不等式进行化简，利用配方法求出一元二次函数的最小值，进一步得到，从而求得的取值范围.
9．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等比数列，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列，得到的通项公式，以及前n项和公式，进一步求出值，从而求得值.
10．【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：点M到该抛物线焦点的距离为3，点M到该抛物线准线的距离为，求得，
抛物线方程为，代入，求得，
|OM|＝ .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线定义得，求出抛物线方程代入求出点M坐标，进而求|OM|.
11．【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图；异面直线及其所成的角；异面直线
【解析】【解答】解：把平面展开图还原成正方体，如图：
直线AB与CD异面直线，
如图连接CE，DE，则是等边三角形，
CE//AB，AB与CD的夹角为60°，AB与CD的位置关系是异面成60°角 .
故答案为：C.
【分析】根据展开面将正方体的还原成直观图，进而判断AB与CD的位置关系.
12．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设等差数列{an}的首项为，公差为，则，
数列{an}是单调递增数列，，
S4≥10，S5≤15，，求得，
，两式相加求得，，
由得，
.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列定义得到，再代入S4≥10，S5≤15，求出与的关系，及的取值范围，进而求a4的取值范围.
13．【答案】2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设等差数列{an}的首项为，公差为（），则，
a1，a3，a4成等比数列，，，化简得，又，，
.
故答案为：2.
【分析】由题意设等差数列{an}的首项为，公差为，根据a1，a3，a4成等比数列，求得，再代入求的值.
14．【答案】6
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：根据题意，每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，则有： ，得 ，可知n至少要6.
【分析】先由已知确定等比数列，再利用等比数列的前n项和列出不等式，求出n的最小值即可得结果.
15．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：当直角时，则以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，联立无解，不为直角，
要使是直角三角形，则或，
不妨设位于第一象限，当时，求得，
.
故答案为： .
【分析】联立无解，所以，则有使是直角三角形，有或，进而分析求解.
16．【答案】②③
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，|AB|=2，此时动点P的轨迹是射线，①错误；
②|PA|=10-|PB|，|AB|=6，|PA|+|PB|=10>|AB|，动点P的轨迹是以A，B为焦点，且，|PA|的最大值为a+c=8，②正确；
③求得的解为，椭圆的离心率，双曲线的离心率，方程的两根可以分别作椭圆和双曲线的离心率 ，③正确；
④双曲线的焦点为，椭圆有相同的焦点为，④错误.
故答案为： ②③ .
【分析】①利用双曲线的定义判断；②根据椭圆的性质判断；③利用双曲线和椭圆离心率的取值范围判断；④求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断.
17．【答案】（1）解：在Rt△PBC中， = ，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB ABcos30°= = ．
∴PA= ．
（2）解：设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得 ，即 ，
化为 ．∴
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（2）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得 ，即 ，化简即可求出．
18．【答案】解：设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，-).
∵|AF|=3，∴y0+=3，
∵|AM|=，∴+(y0+)2=17，
∴=8，代入方程=2py0得，
8=2p(3-)，解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】首先根据题意设出抛物线的标准方程以及点坐标，再由抛物线上点到焦点距离转换为抛物线上点到准线距离，得到一组关系式，然后再结合两点间距离公式，化简最后求得值，代入从而得到抛物线标准方程.
19．【答案】解：由：（1﹣x）（x+4）≥0，得﹣4≤x≤1；
由x2﹣6x+9﹣m2≤0，得3﹣m≤x≤3+m（m＞0）．
由q是p的必要不充分条件，
即p q，q推不出p，
由p q得，
解得m≥7．故m的取值范围是[7，+∞）．
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【分析】首先根据命题中的一元二次不等式，化简求得的取值范围，再结合命题中的一元二次不等式性质，求出含的取值范围，然后再结合必要不充分条件的性质，联立方程组，最终化简求得取值范围.
20．【答案】（1）解：由S5=5，S6=﹣3，有，
解得a1=7，d=﹣3，
∴an=7+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+10
∴Sn==﹣；
（2）解：由题意有bn﹣2an=3n﹣1，又由（1）有bn=3n﹣1+20﹣6n
∴Tn=b1+b2+…+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n﹣1+2an）
=1+3+…+3n﹣1+2（a1+a2+…+an）=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)首先根据题意可知是等差数列，再根据前项和的公式与题目所给两个条件，联立方程组，从而求出值，代入化简，得到的通项公式与前项和公式.
(2)首先根据等比数列的通项公式，代入化简得到，再根据第一问求得的通项公式，从而得到的通项公式，通过表达式可知是由一个等比数列与一个等差数列构成，并分别求和，从而得到前项和的表达式.
21．【答案】（1）解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，
即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}
（2）解：因为f（x）=x2﹣2x﹣8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．
所以对一切x＞2，均有不等式 成立．
而 （当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
22．【答案】（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴在递减
∴
解得．
（2）解：当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式求一次导，得到导函数解析式，再结合题意在区间范围上存在单调递增区间，从而推出在区间上有解，然后再根据的对称轴与开口方向，可知在区间上单调递减，从而得到导函数的最大值，最后求出的取值范围.
(2)首先根据题目所给的取值范围，可知导函数根的判别式，令导函数为0，计算求得两个根的解，再结合两个根的取值范围，可知，进一步得到与时范围得到图像的单调性，然后再通过比较与大小，可知在区间里是最小值，求出a值，代入得到最大值.
1 / 1福建省福州市鼓楼区2023-2024学年高二上学期数学10月期中试卷
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（2023高二上·福州期中）在△ABC中，∠A=30°，AB=4，满足此条件的△ABC有两解，则BC边长度的取值范围为（ ）
A．（2，4） B．（2，4） C．（4，+∞） D．（2，4）
【答案】B
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理可知，，
所以，
所以，
因为，，且满足条件的△ABC有两解，
所以，且
所以，
所以，
所以，
故答案为：B.
【分析】首先根据正弦定理得到，再根据条件的△ABC有两解，可知取值范围，从而进一步得到取值范围，最后得到BC边长度的取值范围.
2．（2023高二上·福州期中）已知{an}为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
A．a1+a3≥2a2 B．a12+a32≥2a22
C．若a1=a3，则a1=a2 D．若a3＞a1，则a4＞a2
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为为等比数列，
所以，
因为，
当时，所以，
当时，所以，
所以A选项错误，
因为，
所以，
所以B选项正确，
因为，
所以，
所以，
所以C选项错误，
因为，
当时，所以，
所以D选项错误，
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列的定义，可知，再根据，且正负性不确定，所以无法判断；然后根据恒成立，可知B选项正确；根据，可知时，所以；最后根据，以及，可知，不成立.
3．（2023高二上·福州期中）各项为正的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为2，则log2a7+log2a11=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】对数函数的图象与性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等比数列，
所以，
因为与的等比中项为，
所以，
所以
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列的性质，可知，根据题目所给的比例中项值，可知，再结合对数函数的性质，化简从而求得值.
4．（2023高二上·福州期中）若a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a+ B．a﹣ C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；不等关系与不等式；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：A、令，显然在单调递增，而a＞b＞0，，即，A正确；
B、当，满足a＞b＞0，此时， ，B错误；
C、当，满足a＞b＞0，此时， ，C错误；
D、当，满足a＞b＞0，此时， ，D错误.
故答案为：A.
【分析】A构造函数，利用函数单调性判断，BCD特殊值判断.
5．（2023高二上·福州期中）若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于（忽略人的身高）（参考数据≈1.732）（ ）
A．110米 B．112米 C．220米 D．224米
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意作图，作，根据题意可知，，，，
所以，
所以，
设，
所以，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】首先根据题意，构造直角三角形，设出，再结合三角锐角比的正切值，从而求得值，从而得到金字塔的高度.
6．已知△ABC内接于单位圆，则长为sinA、sinB、sinC的三条线段（ ）
A．能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的
B．能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的
C．能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的
D．不一定能构成三角形
【答案】B
【知识点】进行简单的演绎推理
【解析】【解答】设△ABC的三边分别为a，b，c
利用正弦定理可得，=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC
∵a，b，c为三角形的三边
∴sinA，sinB，sinC也能构成三角形的边，
面积为原来三角形面积，
故选：B
【分析】设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，=2可得a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，由a，b，c为三角形的三边判断即可。
7．（2023高二上·福州期中）已知条件p：x≥y≥0，条件q：，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：因为，结合单调递增性，
所以，
所以是的充分条件，
因为，
所以，
再结合在上单调递增性，
所以，
所以是的必要条件，
所以是的充要条件，
故答案为：C.
【分析】首先根据不等式的性质，再结合的单调性，可以证出充分性；再结合在上单调递增性，可以证出必要性，从而说明是的充要条件.
8．（2023高二上·福州期中）在实数集上定义运算 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，2） C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
因为恒成立，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以
故答案为：C.
【分析】首先根据定义的运算公式，对不等式进行化简，利用配方法求出一元二次函数的最小值，进一步得到，从而求得的取值范围.
9．（2023高二上·福州期中）设等比数列的公比，前n项和为，则（ ）
A．5 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为是等比数列，
所以，，
所以，，
所以
故答案为：B.
【分析】首先根据等比数列，得到的通项公式，以及前n项和公式，进一步求出值，从而求得值.
10．（2023高二上·福州期中）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：点M到该抛物线焦点的距离为3，点M到该抛物线准线的距离为，求得，
抛物线方程为，代入，求得，
|OM|＝ .
故答案为：B.
【分析】根据抛物线定义得，求出抛物线方程代入求出点M坐标，进而求|OM|.
11．（2023高二上·福州期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中的AB与CD的位置关系为（ ）
A．平行 B．相交成60°角
C．异面成60°角 D．异面且垂直
【答案】C
【知识点】空间几何体的直观图；异面直线及其所成的角；异面直线
【解析】【解答】解：把平面展开图还原成正方体，如图：
直线AB与CD异面直线，
如图连接CE，DE，则是等边三角形，
CE//AB，AB与CD的夹角为60°，AB与CD的位置关系是异面成60°角 .
故答案为：C.
【分析】根据展开面将正方体的还原成直观图，进而判断AB与CD的位置关系.
12．（2023高二上·福州期中）设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（ ）
A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设等差数列{an}的首项为，公差为，则，
数列{an}是单调递增数列，，
S4≥10，S5≤15，，求得，
，两式相加求得，，
由得，
.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列定义得到，再代入S4≥10，S5≤15，求出与的关系，及的取值范围，进而求a4的取值范围.
二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（2023高二上·福州期中）已知公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若a1，a3，a4成等比数列，则的值为 ．
【答案】2
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由题意设等差数列{an}的首项为，公差为（），则，
a1，a3，a4成等比数列，，，化简得，又，，
.
故答案为：2.
【分析】由题意设等差数列{an}的首项为，公差为，根据a1，a3，a4成等比数列，求得，再代入求的值.
14．（2018高二上·西安月考）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于 .
【答案】6
【知识点】等比数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【解答】解：根据题意，每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，则有： ，得 ，可知n至少要6.
【分析】先由已知确定等比数列，再利用等比数列的前n项和列出不等式，求出n的最小值即可得结果.
15．（2023高二上·福州期中）设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若是直角三角形，则△的面积等于 ．
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：当直角时，则以原点为圆心，为半径的圆与椭圆有交点，联立无解，不为直角，
要使是直角三角形，则或，
不妨设位于第一象限，当时，求得，
.
故答案为： .
【分析】联立无解，所以，则有使是直角三角形，有或，进而分析求解.
16．（2023高二上·福州期中）下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 .（写出所有真命题的序号）。
①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点
【答案】②③
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：①设A，B为两个定点，若|PA|-|PB|=2，|AB|=2，此时动点P的轨迹是射线，①错误；
②|PA|=10-|PB|，|AB|=6，|PA|+|PB|=10>|AB|，动点P的轨迹是以A，B为焦点，且，|PA|的最大值为a+c=8，②正确；
③求得的解为，椭圆的离心率，双曲线的离心率，方程的两根可以分别作椭圆和双曲线的离心率 ，③正确；
④双曲线的焦点为，椭圆有相同的焦点为，④错误.
故答案为： ②③ .
【分析】①利用双曲线的定义判断；②根据椭圆的性质判断；③利用双曲线和椭圆离心率的取值范围判断；④求出双曲线、椭圆的焦点坐标判断.
三、解答题（共6小题，每题12分，共72分）
17．（2013·新课标Ⅰ卷理）如图，在△ABC中，∠ABC=90°， ，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°
（1）若 ，求PA；
（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．
【答案】（1）解：在Rt△PBC中， = ，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．
在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB ABcos30°= = ．
∴PA= ．
（2）解：设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．
在△PBA中，由正弦定理得 ，即 ，
化为 ．∴
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA中，利用余弦定理即可求得PA．（2）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得 ，即 ，化简即可求出．
18．（2023高二上·福州期中）若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
【答案】解：设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A(x0，y0)，M(0，-).
∵|AF|=3，∴y0+=3，
∵|AM|=，∴+(y0+)2=17，
∴=8，代入方程=2py0得，
8=2p(3-)，解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y
【知识点】平面内两点间的距离公式；抛物线的标准方程
【解析】【分析】首先根据题意设出抛物线的标准方程以及点坐标，再由抛物线上点到焦点距离转换为抛物线上点到准线距离，得到一组关系式，然后再结合两点间距离公式，化简最后求得值，代入从而得到抛物线标准方程.
19．（2023高二上·福州期中）已知命题P：（1﹣x）（x+4）≥0，q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，m＞0，若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围．
【答案】解：由：（1﹣x）（x+4）≥0，得﹣4≤x≤1；
由x2﹣6x+9﹣m2≤0，得3﹣m≤x≤3+m（m＞0）．
由q是p的必要不充分条件，
即p q，q推不出p，
由p q得，
解得m≥7．故m的取值范围是[7，+∞）．
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【分析】首先根据命题中的一元二次不等式，化简求得的取值范围，再结合命题中的一元二次不等式性质，求出含的取值范围，然后再结合必要不充分条件的性质，联立方程组，最终化简求得取值范围.
20．（2023高二上·福州期中）已知{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，且S5=5，S6=﹣3．
（1）求数列{an}的通项an及Sn；
（2）设{bn﹣2an}是首项为1，公比为3的等比数列．求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【答案】（1）解：由S5=5，S6=﹣3，有，
解得a1=7，d=﹣3，
∴an=7+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+10
∴Sn==﹣；
（2）解：由题意有bn﹣2an=3n﹣1，又由（1）有bn=3n﹣1+20﹣6n
∴Tn=b1+b2+…+bn=（1+2a1）+（3+2a2）+…+（3n﹣1+2an）
=1+3+…+3n﹣1+2（a1+a2+…+an）=
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【分析】(1)首先根据题意可知是等差数列，再根据前项和的公式与题目所给两个条件，联立方程组，从而求出值，代入化简，得到的通项公式与前项和公式.
(2)首先根据等比数列的通项公式，代入化简得到，再根据第一问求得的通项公式，从而得到的通项公式，通过表达式可知是由一个等比数列与一个等差数列构成，并分别求和，从而得到前项和的表达式.
21．（2016高一下·天津期末）已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，
即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}
（2）解：因为f（x）=x2﹣2x﹣8，
当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，
即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．
所以对一切x＞2，均有不等式 成立．
而 （当x=3时等号成立）．
所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．
22．（2023高二上·福州期中）设f（x）=﹣x3+x2+2ax
（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．
（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]的最小值为﹣，求f（x）在该区间上的最大值.
【答案】（1）解：f′（x）=﹣x2+x+2a
f（x）在存在单调递增区间
∴f′（x）＞0在有解
∵f′（x）=﹣x2+x+2a对称轴为
∴在递减
∴
解得．
（2）解：当0＜a＜2时，△＞0；
f′（x）=0得到两个根为；（舍）
∵
∴时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0
当x=1时，f（1）=2a+；当x=4时，f（4）=8a＜f（1）
当x=4时最小∴=解得a=1
所以当x=时最大为
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)首先对函数表达式求一次导，得到导函数解析式，再结合题意在区间范围上存在单调递增区间，从而推出在区间上有解，然后再根据的对称轴与开口方向，可知在区间上单调递减，从而得到导函数的最大值，最后求出的取值范围.
(2)首先根据题目所给的取值范围，可知导函数根的判别式，令导函数为0，计算求得两个根的解，再结合两个根的取值范围，可知，进一步得到与时范围得到图像的单调性，然后再通过比较与大小，可知在区间里是最小值，求出a值，代入得到最大值.
1 / 1
