上海市复旦附高2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1．（2023高三上·上海市期中）已知复数(i是虚数单位)，则z的虚部是 .
2．（2023高三上·上海市期中）已知3sinα=cosα，则tan(π-α)的值是 .
3．（2023高三上·上海市期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .
4．（2023高三上·上海市期中）已知两点P(3，4)，Q(-5，6)，则以线段PQ为直径的圆的标准方程是 .
5．（2023高三上·上海市期中）已知向量则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
6．（2023高三上·上海市期中）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .
7．（2023高三上·上海市期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 .
8．（2023高三上·上海市期中）已知一组数据：10，11，12，13，13，14，15，16，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是 .(用“<”，“>”，“=”连接)
9．（2023高三上·上海市期中）已知函数f(x)=3sinx+2cosx，当f(x)取得最大值时，= .
10．（2023高三上·上海市期中）已知则abc的值为 .
11．（2023高三上·上海市期中）如图在△ABC中，AB=2，AC=5，∠BAC=60°，边BC、AC上的中线AM、BN相交于点P，则cos∠MPN= .
12．（2023高三上·上海市期中）已知函数若有且仅有一个正整数使得不等式成立，则实数a的取值范围是 .
二、选择题(本大题共有4题,13、14每题4分,15、16每题5分,满分18分)
13．（2023高三上·上海市期中）设ab>0，则“a>b”是的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
14．（2023高三上·上海市期中）定义在区间(-∞，0)∪(0，+∞)的函数f(x)，如果对于任意给定的非常数等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是（ ）.
A． B．f(x)=2x+1 C． D．f(x)=log |x|
15．（2023高三上·上海市期中）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意为：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长t是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）.
A． B． C． D．
16．（2023高三上·上海市期中）已知F 、F 是椭圆的左、右焦点，Q是Γ上一动点，记若则的值为（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
17．（2023高三上·上海市期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
（2）若AA =2，AB=1，求四棱锥的体积.
18．（2023高三上·上海市期中）已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
（1）已知判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.
19．（2023高三上·上海市期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知AB=BC=CD=1，AD=2.
（1）霍尔顿发现无论BD多长，2cosA-cosC都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记△ABD与的面积分别为S 和S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
20．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M，N两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
（3）若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
21．（2023高三上·上海市期中）已知函数其中λ为实数.
（1）若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；
（3）记g(x)=h(x)-λx，若p，q(p
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
所以复数z的虚部为 -1
故答案为：-1.
【分析】先将复数z进行化简，再根据复数虚部定义即可求解.
2．【答案】
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：因为 3sinα=cosα ，所以
所以
故答案为：.
【分析】先根据3sinα=cosα得出tanα的值，再利用诱导公式求解即可.
3．【答案】0.015
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题可知(0.010+a+0.030+0.035+0.010)x10=1
解得a=0.015
故答案为：0.015 .
【分析】根据频率分布直方图利用频率和为1进行计算求解即可.
4．【答案】=17
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题
则半径
又因为 P(3，4)，Q(-5，6)， 所以圆心坐标为（-1，5）
所以圆 标准方程是
故答案为：.
【分析】先利用两点距离公式求直径，再求半径，根据中点坐标公式找圆心坐标即可求解.
5．【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题，
则向量在向量上的投影向为
故答案为：.
【分析】直接利用公式求 向量在向量上的投影向量的坐标即可.
6．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为r，
因为 圆锥的轴截面是等边三角形 ，则母线长l=2r，高
则圆锥侧面积，则r=2，
所以圆锥体积为：
故答案为：.
【分析】先设底面半径，根据 圆锥的轴截面是等边三角形 得出母线，高与半径关系，利用圆锥侧面积求出半径，再根据圆锥体积公式求解即可.
7．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题可知比赛可能次数为：种
其中 田忌 能获胜的方法有： 田忌的上等马对齐王的中等马 ， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的中等马对齐王的下等马，共3种
所以田忌的马获胜的概率为：
故答案为：.
【分析】先求出可能的比赛次数，再求 田忌的马获胜 次数，利用古典概型求解即可.
8．【答案】=
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题这组数据共8个
则，所以这组数据的第60百分位数为第5个数据，所以a=13
又因为出现次数最多的数为13，所以众数b=13
所以a=b
故答案为：=.
【分析】根据 百分位数和众数的定义得出a，b值，即可求解.
9．【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题，其中
当f(x)取得最大值时，，所以
所以
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，得出 f(x)取得最大值时x的取值，代入利用诱导公式求解即可.
10．【答案】或
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由两边同时取对数可得，①
由两边取对数可得②
①+2②=
所以，即.
故答案为： 或.
【分析】对已知等式两边同时取对数，再利用对数的运算性质即可求解.
11．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，则
所以
而
所以，，即，
而
所以
故答案为：.
【分析】先设，表示出，求出，，，利用公式求解即可.
12．【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，，
当时，可得作图如下：
由题意，若，则，化简可得，解得，
当时，，，此时不符合题意，
当时，令，，
令，且函数图象的对称轴为直线，
由，则或，所以函数在上单调递减，
可得，则，在上单调递减，
，则在上恒成立，所以此时不符合题意；
当时，可作图如下：
显然不存在符合题意的.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式，分a>0，a<0两种情况作图，利用图象可得的取值，建立不等式即可求解.
13．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为 ab>0 ，所以a，b同号，
当a>b>0时，
当b所以”a>b“可以推出
同样成立且ab>0时，a>b
所以“a>b”是的充要条件
故答案为：C.
【分析】由ab>0可得出a，b同号，根据a>b分情况讨论得出，在根据两边同乘以ab可得a>b，即可求解.
14．【答案】A
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：令 等比数列{an} 公比为q，其中
对于A选项，，为常数，所以是保等比数列函数；
对于B选项，，不为常数，所以 f(x)=2x+1 不是保等比数列函数；
对于C选项，，不为常数，所以 不是保等比数列函数；
对于D选项，，不为常数，所以 f(x)=log |x| 不是保等比数列函数；
故答案为：A.
【分析】直接通过进行化简计算，观察其值是否为常数即可判断.
15．【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：由题可，则有
所以
故答案为：B.
【分析】先求出的值，利用二倍角公式即可求解.
16．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理得，则，即
又因为离心率，则
因为则
整理得：
则，又因为
所以
故答案为：.
【分析】根据正弦定理得，再通过等比性质得出，再根据进行化简即可求出离心率，再利用即可求出的值.
17．【答案】（1）证明：由长方体的性质可知，平面
∴⊥平面E.
（2）解：取棱的中点F，
连接EF、则
由(1)知，由题设可知，
∵在长方体中，平面
∴点E到平面的距离
∴四棱锥的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先根据长方体性质得出 平面从而得出，再根据 BE⊥EC 证明即可；
（2）直接通过四棱锥体积公式求解即可.
18．【答案】（1）解：对于任意仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
已知则
显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”.
（2）解：由题意知：必存在使得：由题意可知：
故因此即：
整理得：则数列为等差数列.
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；等差中项
【解析】【分析】（1）利用“回归数列”定义，代入验证即可；
(2)先利用“回归数列”的定义 分析出 即可证明.
19．【答案】（1）解：在中，在中，，则为定值.
（2）解：
因为设则，
所以，当时，取得最大值即时，的最大值为.
【知识点】函数的值域；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在，中分别使用余弦定理即可得出进一步即可得 2cosA-cosC都为一个定值 ；
（2）先求出的表达式，结合（1）中结论进行化简，再根据二次函数性质以及余弦函数取值范围即可求解.
20．【答案】（1）解：由题意得解得：∴椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
，，
=-2代入①和②得：得：=-2，解得：；
（3）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
由解得
=③
把①和②代入③得：=4，④又
+=16，，，
④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 以及 左焦点为 结合a，b，c关系即可求解；
（2）设直线l的方程为 与椭圆方程联立，结合韦达定理与向量坐标运算即可求解；
（3） 设直线l的方程为 与椭圆方程联立消去y，结合韦达定理与面积公式进行化简，再根据得出k，m之间关系，利用基本不等式求面积最大值.
21．【答案】（1）解：易得定义域为，-=，①当且仅当0时，恒成立，
y=h(x)是定义域上的单调递增函数，符合题意；
而当0时，恒正，也不恒负，即y=h(x)不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；
所以，由题意得：实数λ的取值范围为；
（2）解：函数y=h(x)有两个不同的零点，y=h(x)不是定义域上的单调函数，即0；
由①得：y=h(x)在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
函数y=h(x)有两个不同的零点=；
（3）解：p，q(pp，q(0p又，===
又==，
=-=，在p上为单调递增函数，
=.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数求参数取值范围即可；
（2）根据题意先判断函数单调性，根据函数y=h(x)有两个不同的零点得出即可求解；
（3）根据 g(x)的两个驻点结合韦达定理得出导函数为0的两个根之间关系为，再利用此关系对 |g(p)-g(q)| 中的双变量p，q化简为含单变量p，将其令为新函数，求导后判断单调性再求范围.
1 / 1上海市复旦附高2023-2024学年高三上学期数学期中试卷
一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1．（2023高三上·上海市期中）已知复数(i是虚数单位)，则z的虚部是 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
所以复数z的虚部为 -1
故答案为：-1.
【分析】先将复数z进行化简，再根据复数虚部定义即可求解.
2．（2023高三上·上海市期中）已知3sinα=cosα，则tan(π-α)的值是 .
【答案】
【知识点】诱导公式
【解析】【解答】解：因为 3sinα=cosα ，所以
所以
故答案为：.
【分析】先根据3sinα=cosα得出tanα的值，再利用诱导公式求解即可.
3．（2023高三上·上海市期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则图中a所代表的数值是 .
【答案】0.015
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：由题可知(0.010+a+0.030+0.035+0.010)x10=1
解得a=0.015
故答案为：0.015 .
【分析】根据频率分布直方图利用频率和为1进行计算求解即可.
4．（2023高三上·上海市期中）已知两点P(3，4)，Q(-5，6)，则以线段PQ为直径的圆的标准方程是 .
【答案】=17
【知识点】平面内两点间的距离公式；圆的标准方程
【解析】【解答】解：由题
则半径
又因为 P(3，4)，Q(-5，6)， 所以圆心坐标为（-1，5）
所以圆 标准方程是
故答案为：.
【分析】先利用两点距离公式求直径，再求半径，根据中点坐标公式找圆心坐标即可求解.
5．（2023高三上·上海市期中）已知向量则向量在向量上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题，
则向量在向量上的投影向为
故答案为：.
【分析】直接利用公式求 向量在向量上的投影向量的坐标即可.
6．（2023高三上·上海市期中）已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为8π，则该圆锥的体积等于 .
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为r，
因为 圆锥的轴截面是等边三角形 ，则母线长l=2r，高
则圆锥侧面积，则r=2，
所以圆锥体积为：
故答案为：.
【分析】先设底面半径，根据 圆锥的轴截面是等边三角形 得出母线，高与半径关系，利用圆锥侧面积求出半径，再根据圆锥体积公式求解即可.
7．（2023高三上·上海市期中）齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现各从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题可知比赛可能次数为：种
其中 田忌 能获胜的方法有： 田忌的上等马对齐王的中等马 ， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的中等马对齐王的下等马，共3种
所以田忌的马获胜的概率为：
故答案为：.
【分析】先求出可能的比赛次数，再求 田忌的马获胜 次数，利用古典概型求解即可.
8．（2023高三上·上海市期中）已知一组数据：10，11，12，13，13，14，15，16，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是 .(用“<”，“>”，“=”连接)
【答案】=
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题这组数据共8个
则，所以这组数据的第60百分位数为第5个数据，所以a=13
又因为出现次数最多的数为13，所以众数b=13
所以a=b
故答案为：=.
【分析】根据 百分位数和众数的定义得出a，b值，即可求解.
9．（2023高三上·上海市期中）已知函数f(x)=3sinx+2cosx，当f(x)取得最大值时，= .
【答案】
【知识点】运用诱导公式化简求值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由题，其中
当f(x)取得最大值时，，所以
所以
故答案为：.
【分析】利用辅助角公式整理函数解析式，得出 f(x)取得最大值时x的取值，代入利用诱导公式求解即可.
10．（2023高三上·上海市期中）已知则abc的值为 .
【答案】或
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由两边同时取对数可得，①
由两边取对数可得②
①+2②=
所以，即.
故答案为： 或.
【分析】对已知等式两边同时取对数，再利用对数的运算性质即可求解.
11．（2023高三上·上海市期中）如图在△ABC中，AB=2，AC=5，∠BAC=60°，边BC、AC上的中线AM、BN相交于点P，则cos∠MPN= .
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设，则
所以
而
所以，，即，
而
所以
故答案为：.
【分析】先设，表示出，求出，，，利用公式求解即可.
12．（2023高三上·上海市期中）已知函数若有且仅有一个正整数使得不等式成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，，
当时，可得作图如下：
由题意，若，则，化简可得，解得，
当时，，，此时不符合题意，
当时，令，，
令，且函数图象的对称轴为直线，
由，则或，所以函数在上单调递减，
可得，则，在上单调递减，
，则在上恒成立，所以此时不符合题意；
当时，可作图如下：
显然不存在符合题意的.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据函数解析式，分a>0，a<0两种情况作图，利用图象可得的取值，建立不等式即可求解.
二、选择题(本大题共有4题,13、14每题4分,15、16每题5分,满分18分)
13．（2023高三上·上海市期中）设ab>0，则“a>b”是的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为 ab>0 ，所以a，b同号，
当a>b>0时，
当b所以”a>b“可以推出
同样成立且ab>0时，a>b
所以“a>b”是的充要条件
故答案为：C.
【分析】由ab>0可得出a，b同号，根据a>b分情况讨论得出，在根据两边同乘以ab可得a>b，即可求解.
14．（2023高三上·上海市期中）定义在区间(-∞，0)∪(0，+∞)的函数f(x)，如果对于任意给定的非常数等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”，下列函数是“保等比数列函数”的是（ ）.
A． B．f(x)=2x+1 C． D．f(x)=log |x|
【答案】A
【知识点】数列与函数的综合
【解析】【解答】解：令 等比数列{an} 公比为q，其中
对于A选项，，为常数，所以是保等比数列函数；
对于B选项，，不为常数，所以 f(x)=2x+1 不是保等比数列函数；
对于C选项，，不为常数，所以 不是保等比数列函数；
对于D选项，，不为常数，所以 f(x)=log |x| 不是保等比数列函数；
故答案为：A.
【分析】直接通过进行化简计算，观察其值是否为常数即可判断.
15．（2023高三上·上海市期中）《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔.”意为：“取竹空这一望筒，当望筒直径d是一寸，筒长t是八尺时(注：一尺等于十寸)，从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔.”如图所示，O为竹空底面圆心，则太阳角∠AOB的正切值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：由题可，则有
所以
故答案为：B.
【分析】先求出的值，利用二倍角公式即可求解.
16．（2023高三上·上海市期中）已知F 、F 是椭圆的左、右焦点，Q是Γ上一动点，记若则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：在中，由正弦定理得，则，即
又因为离心率，则
因为则
整理得：
则，又因为
所以
故答案为：.
【分析】根据正弦定理得，再通过等比性质得出，再根据进行化简即可求出离心率，再利用即可求出的值.
三、解答题(本题共5道题，满分78分)
17．（2023高三上·上海市期中）如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，BE⊥EC .
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
（2）若AA =2，AB=1，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明：由长方体的性质可知，平面
∴⊥平面E.
（2）解：取棱的中点F，
连接EF、则
由(1)知，由题设可知，
∵在长方体中，平面
∴点E到平面的距离
∴四棱锥的体积
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）先根据长方体性质得出 平面从而得出，再根据 BE⊥EC 证明即可；
（2）直接通过四棱锥体积公式求解即可.
18．（2023高三上·上海市期中）已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
（1）已知判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；
（2）若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列.
【答案】（1）解：对于任意仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”.
已知则
显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”.
（2）解：由题意知：必存在使得：由题意可知：
故因此即：
整理得：则数列为等差数列.
【知识点】等差数列的性质；数列的递推公式；等差中项
【解析】【分析】（1）利用“回归数列”定义，代入验证即可；
(2)先利用“回归数列”的定义 分析出 即可证明.
19．（2023高三上·上海市期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形ABCD的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知AB=BC=CD=1，AD=2.
（1）霍尔顿发现无论BD多长，2cosA-cosC都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
（2）霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记△ABD与的面积分别为S 和S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.
【答案】（1）解：在中，在中，，则为定值.
（2）解：
因为设则，
所以，当时，取得最大值即时，的最大值为.
【知识点】函数的值域；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在，中分别使用余弦定理即可得出进一步即可得 2cosA-cosC都为一个定值 ；
（2）先求出的表达式，结合（1）中结论进行化简，再根据二次函数性质以及余弦函数取值范围即可求解.
20．（2023高三上·上海市期中）已知椭圆过点且Γ的左焦点为直线l与Γ交于M，N两点.
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若且点P的坐标为(0，1)，求直线l的斜率；
（3）若其中O为坐标原点，求△MON面积的最大值.
【答案】（1）解：由题意得解得：∴椭圆C的标准方程为
（2）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
，，
=-2代入①和②得：得：=-2，解得：；
（3）解：设直线l的方程为代入椭圆的方程消去y得：
由解得
=③
把①和②代入③得：=4，④又
+=16，，，
④中当且仅当即时，等号成立，的面积的最大值为
【知识点】平面向量的坐标运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆 过点 以及 左焦点为 结合a，b，c关系即可求解；
（2）设直线l的方程为 与椭圆方程联立，结合韦达定理与向量坐标运算即可求解；
（3） 设直线l的方程为 与椭圆方程联立消去y，结合韦达定理与面积公式进行化简，再根据得出k，m之间关系，利用基本不等式求面积最大值.
21．（2023高三上·上海市期中）已知函数其中λ为实数.
（1）若y=h(x)是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数y=h(x)有两个不同的零点，求实数λ的取值范围；
（3）记g(x)=h(x)-λx，若p，q(p【答案】（1）解：易得定义域为，-=，①当且仅当0时，恒成立，
y=h(x)是定义域上的单调递增函数，符合题意；
而当0时，恒正，也不恒负，即y=h(x)不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去；
所以，由题意得：实数λ的取值范围为；
（2）解：函数y=h(x)有两个不同的零点，y=h(x)不是定义域上的单调函数，即0；
由①得：y=h(x)在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，
函数y=h(x)有两个不同的零点=；
（3）解：p，q(pp，q(0p又，===
又==，
=-=，在p上为单调递增函数，
=.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导函数求参数取值范围即可；
（2）根据题意先判断函数单调性，根据函数y=h(x)有两个不同的零点得出即可求解；
（3）根据 g(x)的两个驻点结合韦达定理得出导函数为0的两个根之间关系为，再利用此关系对 |g(p)-g(q)| 中的双变量p，q化简为含单变量p，将其令为新函数，求导后判断单调性再求范围.
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