广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单项选择题：（共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ， ， .
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义求解.
2．函数的所有零点构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令 ，当时，求得，当 时，求得，
函数的所有零点构成的集合为 .
故答案为：C.
【分析】分别求出函数在和的零点，进而得到零点构成的集合.
3．已知对数函数（且），且图象过点（9，2），的反函数记为，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：过点（9，2），，求得，，的反函数为.
故答案为：D.
【分析】代入点（9，2）求出解析式，再根据反函数定义求的解析式.
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：，当时，，当时，，充分性不成立；
必要性：，，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别证明充分性和必要性是否成立.
5．（2023高一上·东莞期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。
6．函数的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：设 ，
，是奇函数，排除AC选项；
时，，排除B选项.
故答案为：D.
【分析】根据函数奇偶性和的函数值，分析判断选项.
7．已知函数的图象过原点，且无线接近直线但不与该直线相交，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设 ，
由题意得，
又无线接近直线但不与该直线相交，，且时，，，.
故答案为：A.
【分析】将点(0，0)代入函数得到a，b的关系，再根据指数函数的图象特征得到，进而求解其值.
8．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数
【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：AD.同学姓名不是数字，AD错误；
B.任意一个学号都对应一位确定的同学，且该同学的数学成绩也是唯一确定的，B正确；
C.假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，C错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合题意判断选项.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A.在R上单调递减，，即 ，A正确；
B.， ，B正确；
C.，，即，， ，C错误；
D.， ，D正确.
答案为：ABD.
【分析】A根据指数函数单调性判断；B作差化简判断；C移项后平方整理判断；D作商化简判断.
10．已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．为上的增函数
C．的解集为 D．的值域为
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：A.函数为奇函数，，求得 ，
当时，，，当时，是奇函数，A正确；
B.由A知，在R上是减函数，为上的减函数 ，B错误；
C.由B知为上的减函数 ，又， 的解集为 ，C正确；
D.是奇函数，值域关于原点对称，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A根据奇函数定义得，求出a的值再验证；B根据复合函数单调性判断；C结合单调性求解的解集；D根据奇函数图象关于原点对称判断.
11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．的值域为
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：A.由题意得，A正确；
B.，B错误；
C.，，C正确；
D.当时， ；当时， ；当时， ，的值域为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】结合的定义逐一分析选项.
12．如果一个函数在其定义区间内对任意a、b都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数中是下凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：A. 任取，则，
，A满足题意；
B.任取，则，；
任取，当时，则，，
当时，则，；
任取，则，，B满足题意；
C.任取，则，，C满足题意；
D.取，则，，，
D不满足题意.
故答案为：ABC.
【分析】ABC根据下凸函数定义直接证明判断，D取特殊值判断.
三、填空题（本大题共4小题.每小题5分，共20分）
13．（2023高一上·广东期末）函数的定义域是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，则满足：，解得：
所以函数的定义域为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和对数函数的定义域求解方法，再结合交集运算法则得出函数 的定义域 。
14．若，则的最小值为 ；
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ， ，当且仅当取等.
故答案为： .
【分析】利用基本不等式直接求解.
15．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数 ， ，则 。
【答案】-2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（ -x）
满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）
所以g（x）是奇函数
函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4
可得：f（a）=4=+1，可得：ln（）=3
f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2
故答案为：-2
【分析】利用ln（ -x）与ln（ +x）是相反的
16．计算 .
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式
故答案为： .
【分析】根据指数和对数运算法则，计算求解.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知偶函数.
（1）将上图补充完整；
（2）写出的单调区间.
【答案】（1）
（2）解：单调递增区间为（-3，-1），（0，1），（3，4），的单调递减区间为（-4，-3），（-1，0），（1，3）
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)根据偶函数图象关于y轴对称画出图象；
(2)根据图像写出函数的单调区间.
18．已知函数，.
（1）写出的单调性，并用定义证明；
（2）求的最值.
【答案】（1）证明：，且，
∵，且，∴，，
，即
∴在上单调递减.
（2）解：由（1）可知，在上单调递减.
∵，∴.
∴，
∴的最大值为1，最小值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】 (1)，且，通过化简判断的正负，得到的单调性；
(2) 结合（1）根据单调性求其最值.
19．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；
（2）假设这辆汽车里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
【答案】（1）解：阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为S=km.
（2）解：当时
当时
当时 ，
综上
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】(1)由横坐标表示时间，纵坐标表示速度利用“路程=时间速度”得到面积为汽车在3小时内行驶的路程，求出三个矩形面积相加即可；
(2)根据“总路程=行驶这段路程前的读数+时间速度”利用分段函数定义，建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
20．已知函数.
（1）当为何值，为偶函数，说明理由；
（2）若，证明：；
（3）若，求证：有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解：当时，为偶函数.
理由如下：∵为偶函数，∴
，∴.
∵，∴.
（2）解：当时，
∴
（3）解：∵，∴
即，
∵，∴，，∴即
∴有两个不相等的实数根.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1)由偶函数定义得 求出a的值；
(2) 代入 后配方根据二次函数性质证明 ；
(3) 由求出a的取值范围，再利用判别式证明有两个不相等的实数根.
21．已知为定义在区间上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性.
【答案】（1）解：设，则，
由已知，
又为定义在区间上的偶函数，得，所以.
（2）解：由（1）可得函数图象如图所示.
所以的单调增区间是，单调减区间是
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由偶函数定义求出 时 解析式；
(2) 根据函数解析式画出函数图象，再利用图象写出函数单调性.
22．（2023高一上·东莞期末）已知函数．
（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明．
【答案】（1）解：由，，得，，
所以．
（2）解：由题得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以不等的解集为．
（3）解：是奇函数，
由题得，
所以x<－1或x>1，
所以F（x）的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数F（x）是奇函数．
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数解析式代入法、指数与对数的互化公式以及指数幂的运算法则，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断并证出函数F(x)的奇偶性。
1 / 1广东省佛山市南海区艺术高级中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单项选择题：（共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．函数的所有零点构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知对数函数（且），且图象过点（9，2），的反函数记为，则的解析式是（ ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023高一上·东莞期末）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数的图象过原点，且无线接近直线但不与该直线相交，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．某校有一班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学的数学考试成绩，则下列选项中正确的是（ ）
A．y是x的函数 B．w是y的函数 C．w是z的函数 D．w是x的函数
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选错的得0分，部分选对的得2分）
9．下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数为奇函数，则（ ）
A． B．为上的增函数
C．的解集为 D．的值域为
11．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令，以下结论正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C． D．的值域为
12．如果一个函数在其定义区间内对任意a、b都满足，则称这个函数是下凸函数，下列函数中是下凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共4小题.每小题5分，共20分）
13．（2023高一上·广东期末）函数的定义域是 ．
14．若，则的最小值为 ；
15．（2018·全国Ⅲ卷文）已知函数 ， ，则 。
16．计算 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知偶函数.
（1）将上图补充完整；
（2）写出的单调区间.
18．已知函数，.
（1）写出的单调性，并用定义证明；
（2）求的最值.
19．一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示，
（1）求图中阴影部分的面积，并说明实际意义；
（2）假设这辆汽车里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
20．已知函数.
（1）当为何值，为偶函数，说明理由；
（2）若，证明：；
（3）若，求证：有两个不相等的实数根.
21．已知为定义在区间上的偶函数，当时，.
（1）当时，求函数的解析式；
（2）在给出的坐标系中画出函数的图象，写出函数的单调区间，并指出单调性.
22．（2023高一上·东莞期末）已知函数．
（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： ， ， .
故答案为：C.
【分析】根据交集的定义求解.
2．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令 ，当时，求得，当 时，求得，
函数的所有零点构成的集合为 .
故答案为：C.
【分析】分别求出函数在和的零点，进而得到零点构成的集合.
3．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：过点（9，2），，求得，，的反函数为.
故答案为：D.
【分析】代入点（9，2）求出解析式，再根据反函数定义求的解析式.
4．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：充分性：，当时，，当时，，充分性不成立；
必要性：，，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】分别证明充分性和必要性是否成立.
5．【答案】A
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，
因为，，
由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数的单调性和零点存在性定理，进而得出函数的零点所在的区间。
6．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：设 ，
，是奇函数，排除AC选项；
时，，排除B选项.
故答案为：D.
【分析】根据函数奇偶性和的函数值，分析判断选项.
7．【答案】A
【知识点】指数函数的图象与性质；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：设 ，
由题意得，
又无线接近直线但不与该直线相交，，且时，，，.
故答案为：A.
【分析】将点(0，0)代入函数得到a，b的关系，再根据指数函数的图象特征得到，进而求解其值.
8．【答案】B
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：AD.同学姓名不是数字，AD错误；
B.任意一个学号都对应一位确定的同学，且该同学的数学成绩也是唯一确定的，B正确；
C.假设班级中有两位身高相同的同学，则这个身高可能对应两个不同同学的数学成绩，C错误.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义，结合题意判断选项.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；对数的性质与运算法则；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：A.在R上单调递减，，即 ，A正确；
B.， ，B正确；
C.，，即，， ，C错误；
D.， ，D正确.
答案为：ABD.
【分析】A根据指数函数单调性判断；B作差化简判断；C移项后平方整理判断；D作商化简判断.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：A.函数为奇函数，，求得 ，
当时，，，当时，是奇函数，A正确；
B.由A知，在R上是减函数，为上的减函数 ，B错误；
C.由B知为上的减函数 ，又， 的解集为 ，C正确；
D.是奇函数，值域关于原点对称，D错误.
故答案为：AC.
【分析】A根据奇函数定义得，求出a的值再验证；B根据复合函数单调性判断；C结合单调性求解的解集；D根据奇函数图象关于原点对称判断.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：A.由题意得，A正确；
B.，B错误；
C.，，C正确；
D.当时， ；当时， ；当时， ，的值域为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】结合的定义逐一分析选项.
12．【答案】A,B,C
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：A. 任取，则，
，A满足题意；
B.任取，则，；
任取，当时，则，，
当时，则，；
任取，则，，B满足题意；
C.任取，则，，C满足题意；
D.取，则，，，
D不满足题意.
故答案为：ABC.
【分析】ABC根据下凸函数定义直接证明判断，D取特殊值判断.
13．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】要使函数有意义，则满足：，解得：
所以函数的定义域为
故答案为：
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法和对数函数的定义域求解方法，再结合交集运算法则得出函数 的定义域 。
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解： ， ，当且仅当取等.
故答案为： .
【分析】利用基本不等式直接求解.
15．【答案】-2
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（ -x）
满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）
所以g（x）是奇函数
函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4
可得：f（a）=4=+1，可得：ln（）=3
f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2
故答案为：-2
【分析】利用ln（ -x）与ln（ +x）是相反的
16．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式
故答案为： .
【分析】根据指数和对数运算法则，计算求解.
17．【答案】（1）
（2）解：单调递增区间为（-3，-1），（0，1），（3，4），的单调递减区间为（-4，-3），（-1，0），（1，3）
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)根据偶函数图象关于y轴对称画出图象；
(2)根据图像写出函数的单调区间.
18．【答案】（1）证明：，且，
∵，且，∴，，
，即
∴在上单调递减.
（2）解：由（1）可知，在上单调递减.
∵，∴.
∴，
∴的最大值为1，最小值为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的值
【解析】【分析】 (1)，且，通过化简判断的正负，得到的单调性；
(2) 结合（1）根据单调性求其最值.
19．【答案】（1）解：阴影部分的面积表示汽车在3小时内行驶的路程为S=km.
（2）解：当时
当时
当时 ，
综上
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【分析】(1)由横坐标表示时间，纵坐标表示速度利用“路程=时间速度”得到面积为汽车在3小时内行驶的路程，求出三个矩形面积相加即可；
(2)根据“总路程=行驶这段路程前的读数+时间速度”利用分段函数定义，建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数S和时间t的函数关系式.
20．【答案】（1）解：当时，为偶函数.
理由如下：∵为偶函数，∴
，∴.
∵，∴.
（2）解：当时，
∴
（3）解：∵，∴
即，
∵，∴，，∴即
∴有两个不相等的实数根.
【知识点】奇函数与偶函数的性质；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】 (1)由偶函数定义得 求出a的值；
(2) 代入 后配方根据二次函数性质证明 ；
(3) 由求出a的取值范围，再利用判别式证明有两个不相等的实数根.
21．【答案】（1）解：设，则，
由已知，
又为定义在区间上的偶函数，得，所以.
（2）解：由（1）可得函数图象如图所示.
所以的单调增区间是，单调减区间是
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)由偶函数定义求出 时 解析式；
(2) 根据函数解析式画出函数图象，再利用图象写出函数单调性.
22．【答案】（1）解：由，，得，，
所以．
（2）解：由题得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以不等的解集为．
（3）解：是奇函数，
由题得，
所以x<－1或x>1，
所以F（x）的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数F（x）是奇函数．
【知识点】函数的奇偶性；有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数解析式代入法、指数与对数的互化公式以及指数幂的运算法则，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断并证出函数F(x)的奇偶性。
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