高二数学B
参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号
1
2
x
5
6
7
答案
D
A
B
C
C
B
A
【解析】
1.A因为A=(-3,3),B=[-1,0],所以A∩B=[-1,0]
2.D=(1-i03-i)=2-4i,则|3==√22+(-4y=25
3.A因为b-c=(2,-2),所以cos(a,b-c)=ab--3x2+1x-2-5
lab-c1o×22
5
4.B因为f)=20241=(224+日是偶函数，所以224日1，得公=2024.
5.C如图，延长EF交DA,DC分别于1，J两点，连接DI,DJ,交AA1,CC分别于H,
G两点.则五边形DHEG即为，易知AH=CG=号，AH=CG=号，EF=巨，所以
有HE=GF=P+图-雪，DH=DG=2+-2正，故n的周长为
2x厘+2×2厘+=23+V2.
3
D
B
6.C由题意有F0,设Ma,a),则N号引，直线oM的斜率为日，易得直线P的
方程为y-号=-ar-)令y=0,得x=“,即P1,0,由抛物线的定义易得
2
MF=a+子，所以2loP-Mr=2x-(a+-子
7.B sin(a+)tan(aB)=sin(a+B)sin(aB)=sin(a+)sin(a-B)
其中
cos(a-B)
cosacosB+sinasin B'
sin(a+B)sin(a-B)=(sinacos B)2-(cosasin B)2=sin2 a(1-sin2B)-cos2 asin2B=sin2a-sin2B
,则有
cocsp+4sin2B=1,即coscosB=11sin2B,亦即cosa=1 1sin BtanB,所以
15sin2B
数学试题B·参考答案与评分细则第1页共7页
tatap=&i品a-
4
8.A可令f)=-2cos受，故f2024=-2.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
题号
9
10
11
12
答案
ACD
ABD
BD
ACD
【解析】
9.A、C选项显然符合题意；B选项：f(x)不满足在(0，+0)上单调递增；D选项：注意到
f(x)=1og2(W4x2+1+2x)=log2
1
f(-x)=logz
所以有
√4x2+1-2.x
N4x2+1+2x
f(x)+f(-x)=0,故D选项符合题意
10.A选项：因为均值为2，所以P(X≥0)=1-P(X≥4)=0.7，故A选项符合题意；B选
项：因为7×80%=5.6，所以第80%分位数为第6个数，即9，故B选项符合题意；C
选项：相关系数r的绝对值接近于0，两个随机变量没有线性相关性，故C选项不符合
题意：D选项：会的系数为CcC(-2PC=60,故D选项符合题意。
11,由题意有2m≤2π≤m,解得2≤0≤3，故B选项符合题意；因为
3
0
f得)=cog+}=0,所以碧+晋=受+kmk∈Z,解得o=2+6k,又2≤o≤月
n
得动≤k≤立子又k∈Z,nN,所以
3n4
【n2,则0=多，故A选项不符合题
意：f)=co侵x+},易得C选项不符合题意，D选项符合题意.
12.如图，E,F分别为棱BB1,CC的中点，A选项：不难证明平面DEF∥A1DP,则Q的
轨迹为线段EF,故A选项符合题意：B选项Me=%4=含×分×1x1x1=名，故B
选项不符合题意；C选项：不难证明A1C⊥平面ADB1,故平面AB1D1与B1Q的夹角的
正弦值等于A1C与B1Q的夹角的余弦值，当Q在BB,(或CC)上时，A1C与BQ的夹
角的余弦值为-号，当Q位于BC上时，AC与BQ的夹角的余弦值为兰：6
33
根据对称性，平面AB,D1与BQ的夹角的正弦值的取值范围为
故C选项符
33
合题意：D选项：因为DGL平面B,CC,所以DG⊥C0,则D,Q=D,C+Cg=5
2
解得C,Q=三，即Q得轨迹是以G为圆心，半径为二，圆心角为罗的圆弧，所以2
2
的轨迹长度为×2m×=平，故D选项符合题意.
2
4
数学试题B·参考答案与评分细则第2页共7页秘密 ★ 启用前【2024 年 1 月】 试卷类型：B
2023-2024 学年度江西省部分重点中学高二期末联考
数 学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案
写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第一册至选择性必修第一册。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．记集合 A ={x | x2 < 9}， B ={x | x2 + x≤0}，则 A∩B = （ ）
A． [ 1,3) B． ( 3,0] C．[ 1,0] D． ( 3,3)
2．若复数 z1 =1+ i ， z2 = z1(3 i)（i 是虚数单位），则 z2 = （ ）
A．2 B． 2 2 C． 10 D． 2 5
3．已知向量 a = (3,1) ， b = (3,2) ， c = (1,4) ，则 cos a,b c = （ ）
A． 55 B．
5
5 C．
5
3 D．
5
10
x
4．若函数 f (x) = 2024 +1 2
ax
（a≠0）是偶函数，则 a = （ ）
A．2023 B．2024 C．2 D． 4
5．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E，F 分别是 AB，BC D1 C1
的中点，过点 D1，E，F 的平面截该正方体所得的截面多边形记为 A1 B1
Ω，则 Ω的周长为 （ ）
A． 4 2 + 4 5 B． 4 3 + 2 D C
F
C． 2 + 2 13 D． 4 13 + 2 A E B
6．已知抛物线 y2 = x的焦点为 F，点 M 在抛物线上（异于顶点 O），过 OM 的中点 N 作直
线 OM 的垂线交 x 轴于点 P，则 2 OP MF = （ ）
A． 7 B． 9 C． 3 D． 54 4 4 4
7．若 sinα = 4sin β， sin(α + β) tan(α β) =1，则 tanα tan β = （ ）
A． 4 111 B．11 C．4 D．1
8．函数 f(x)的定义域为 R，对于任意 x，y∈R， f (x +1) f (y +1) = f (x + y) f (x y) ，若
f (0) ≠ 0，则 f (2024) = （ ）
A．－2 B．－4 C．2 D．4
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二、选择题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求。全选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0分。
9．若定义域为 D 的奇函数 f (x) 在 (0,+∞)上单调递增，且不等式 f (x) < 0有解，则下面函数
中满足上述条件的是 （ ）
x
A． f (x) = x3 B． f (x) = (12 ) 2x
C． f (x) = 2x 1 2x D． f (x) = log2 ( 4x +1 + 2x)
10．下列说法正确的是 （ ）
A．若随机变量 X 服从正态分布 N (2,σ2 )， P(X ≥ 4) = 0.3，则 P(X ≥0) = 0.7
B．数据 3，5，6，7，7，9，11 的第 80%分位数为 9
C．相关系数 r 的绝对值接近于 0，两个随机变量没有相关性
6 4
D． (a 2b +1) 的展开式中， ab2 的系数为 60
11．设函数 f (x) = cos (ωx + π )（ω＞0）的最小正周期为 T，且 2nπ4 3 ≤T ≤ nπ（n∈N+）．若
x = π6 为 f (x) 的零点，则 （ ）
A．ω < 3 2 32n 1 B． n ≤ω≤ n
C． x = π2 为 f (x) 的零点 D． x =
7π
6 为 f (x) 的一条对称轴
12．在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为棱 BB1 的中点，Q 为正方形 BB1C1C 内一
动点（含边界），则下列说法中正确的是 （ ）
A．若 D1Q∥A1PQ，则 Q 的轨迹是一条线段
B．三棱锥 D-AA1Q 的体积为 13
C AB D B Q 3 , 6 ．平面 1 1 与 1 的夹角的正弦值的取值范围为
3 3
D．若 D1Q =
6
2 ，则 Q 的轨迹长度为
2
4 π
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． ( 4 45 +1) + ( 5 1) = ▲ ．
14．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不
全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正
方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个
三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个
有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相
等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．则
得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为 ▲ ．
15．若 a > b >1，且 a + 3b = 5 ，则 ab b2 a + b的最大值为 ▲ ．
数学试题 B 第 2 页 共 4 页
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2 y216．已知 P 为椭圆 x
a2
+ =1（a＞b＞0）上的点，F ，F 分别为 C 的左、右焦点，C 的离
b2 1 2
1 PF心率为 2 ，∠F1PF
1
2 的平分线交 F1F1 于点 Q，则 = ▲ ． QF1
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知 m，n，k∈N+，m≥k≥n．
（1）证明：Ck Cn n km m k = CmCm n ；
（2）证明：Ck Cnm k = CnmCk nm n ．
18．（12 分）
已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b + ca = cosC + 3 sin C ．
（1）求 A；
（2）点 D 为 AC 的中点，且 BD = 3 ，求b + 2c 的最大值．
19．（12 分）
如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC = 90°，∠BAC = 30°，
AA1 = A1C = AC = 4，E，F 分别是 AC，A1B1的中点．
（1）证明：EF⊥BC；
（2）求二面角 C1-A1C-B 的正弦值．
20．（12 分）
已知机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输
入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行
测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为 80%，若出现语法错误，则
应答被采纳的概率为 30%．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 10%．
（1）求一个问题的应答被采纳的概率；
（2）在某次测试中，输入了 8 个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应
答被采纳的个数为 X，求当 P(X = k)最大时 k 的值．
21．（12 分）
如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA ⊥平面 ABC，E 是线段 PC 的中点，F 是线段 BC 上一
P
点， PA = AC = 12 BC =1， PB = 6 ．
（1）证明：平面 AEF⊥平面 PBC；
（2）若平面 AEF 与平面 ABC 的夹角为 π3 ，求 CF．
E
A B
F
数学试题 B 第 3 页 共 4 页 C
{#{QQABaQQEogioQBAAAQgCQw2qCAMQkBEACIoGhBAAsAAACBFABAA=}#}
22．（12 分）
y2 2
在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： x2 2 =1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为a b
2x ± 3y = 0 ，焦距为 2 7 ．
（1）求 C 的方程；
（2）如图，点 A 为 C 的下顶点，点 P 在 y 轴上（位于原点与上顶点之间），过 P 作 x 轴
的平行线 l，过 P 的另一条直线交 C 于 G，H 两点，直线 AG，AH 分别交 l 于 M，N 两点，
若∠ANM + ∠AOM = π，求 P 的坐标．
y
G
N P l
M x
O
A H
数学试题 B 第 4 页 共 4 页
{#{QQABaQQEogioQBAAAQgCQw2qCAMQkBEACIoGhBAAsAAACBFABAA=}#}
