山西省太原市2023-2024学年高一上学期期末学业诊断数学试题（含答案）

太原市2023~2024学年第一学期高一年级期末学业诊断
数学试卷
（考试时间：上午8：00—9：30）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间90分钟，满分100分.
一 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.与角终边相同的角是（ ）
A. B. C. D.
2.已知，且，则角是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
4.是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
8.若满足，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期
B.的定义域为
C.的值域为
D.是奇函数
10.已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A.当时，在上是增函数
B.不等式的解集是
C.的图象过定点
D.当时，的图象与的图象有且只有一个公共点
11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.函数的最小正周期
B.函数图象关于直线对称
C.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象
D.在上恰有3个零点，则实数的取值范围是
12.已知函数，若方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13.已知扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为__________.
14.已知函数与互为反函数，则__________.
15.已知函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为__________.
16.已知实数满足，则__________.
四 解答题（本题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
（1）求的值；
（2）已知，试用表示.
18.（本小题满分10分）
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点.
（1）求的值；
（2）求的值.
19.（本小题满分10分）
已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
20.（本小题满分10分）
已知函数.
（1）判断的奇偶性，并说明理由；
（2）判断在上的单调性，并证明你的判断；
（3）对任意，若恒成立，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中.
（1）求使成立的取值范围；
（2）若函数，且对任意的，当时，都有成立，求实数的最小值.
2023-2024学年第一学期高一年级期末学业诊断数学试卷
参考答案及评分标准
一 单项选择题：
1-8DACD CBCA
二 多项选择题：
9.BD 10.AC 11.BC 12.ACD
三 填空题：
13. 14.9 15. 16.
四 解答题：
17.解：（1）原式
（2）
18.解：（1）角终边经过点
，
（2）原式
19.解：（1）为锐角，，
（2），
20.解：（1）由题意得，
函数的定义域为，关于原点对称，
又为偶函数：
（2）函数在上单调递减.
证明：，且，
函数在上单调递减：
（3）由题意得
①当时，则：
②当时，则，
（当且仅当时等号成立），；
综上，实数的取值范围为.
21.解：（1）由得，
原不等式的解集为；
（2）令，
则，
对任意的，都有成立，所以恒成立，即恒成立，
函数在单调递增：
由得，
，即实数的最小值为.