湖南省常德市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省常德市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 659.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 14:53:40 | ||
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文档简介
常德市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数 学
（时量：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．1837年，德国数学家狄利克雷（P. G. Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．下列函数中是同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．复数的虚部为
10．若，．且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上的最小值为
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若幂函数在上单调递增，则__________．
14．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是__________．
15．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________．
16．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米．为上的一点，则当角达到最大时，的长度为__________米．
四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）已知全集为，集合，．
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知角满足__________．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；
条件③：角满足．
（1）求的值；（2）求的值．
20．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）若求在上的值域．
21．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的值域．
22．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）已知，函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）若函数有且只有一个零点，求的值；
（3）设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
常德市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D B B C A CD ABD ACD BD
二、填空题
13．3 14．1或4 15． 16．4．
7．【解析】，即，
，即，
，即，
所以；故选：C．
8．【解析】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有6个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得．
故选：A．
12．【解析】因为为奇函数，所以，所．
因为为偶函数，所以，所以．
所以有，所以，
所以，即有，所以的一个周期为8．
对于A项，因为，且．
令，有，故A错误；
对于B项，因为为奇函数，的周期为8．故，．
所以，从而为奇函数，故B正确；
对于C项，在区间上是增函数，且的图象关于点对称，
所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C项错误；
对于D项，作出与的大致图象，如图所示．
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确．
故选BD．
16【解析】设，求出和的正切值，根据两角和的正切公式，可得．利用换元法和基本不等式，即可求出最大时的值，进而求出．
【详解】设，则，，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
，即米，米时，最大，最大值为．故答案为：4．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本小题满分10分）
【答案】（1）4 （2）
18（本小题满分12分）
【答案】（1）， （2）
19（本小题满分12分）
【答案】（1）
（2）时，原式；时，原式；
20（本小题满分12分）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由题意，
，，；
（2），，，
令，，令，，
设，，，
在上单调递减，，即，
同理可证在上单调递增，
，即，
综上，在上的值域．
21（本小题满分12分）
【答案】（1）； （2）．
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期．
（2）由题意知：，
由得，所以，所以，
所以，即在区间上的值域为．
22（本小题满分12分）
【答案】（1）； （2）或； （3）．
【详解】
【小问1详解】由题知，当，，
设．则，所以，
因为是奇函数，所以，又因为，所以；
【小问2详解】
令，整理得，
因为有且只有一个零点，所以方程有且只有一根或两相等根，
当时，，符合题意，当时，只需，所以，此时，符合题意
综上，或．
【小问3详解】
在上任取，，且，则，．
所以，所以在上单调递减．
所以函数在上的最大值与最小值分别为，．
所以，
即，对任意成立．
因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以当时，有最小值，所以，解得．
所以的取值范围为．
数 学
（时量：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．1837年，德国数学家狄利克雷（P. G. Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，那么是的函数．”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设则（ ）
A．1 B．0 C． D．
4．下列函数中是同一函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数在复平面内对应的点在第二象限
B．若为虚数单位，为正整数，则
C．若复数为纯虚数，则，
D．复数的虚部为
10．若，．且，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为偶函数
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在上的最小值为
12．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为奇函数
C．在上为减函数 D．方程仅有6个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若幂函数在上单调递增，则__________．
14．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是__________．
15．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________．
16．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔，与桥面垂直，且米，米，米．为上的一点，则当角达到最大时，的长度为__________米．
四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）计算：
（1）；
（2）．
18．（本小题满分12分）已知全集为，集合，．
（1）求，；
（2）若，且，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）已知角满足__________．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．
条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；
条件③：角满足．
（1）求的值；（2）求的值．
20．（本小题满分12分）已知函数．
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）若求在上的值域．
21．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若把向右平移个单位得到函数，求在区间上的值域．
22．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）已知，函数是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式；
（2）若函数有且只有一个零点，求的值；
（3）设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围．
常德市第一高级中学2023-2024学年高一上学期期末考试
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C B D B B C A CD ABD ACD BD
二、填空题
13．3 14．1或4 15． 16．4．
7．【解析】，即，
，即，
，即，
所以；故选：C．
8．【解析】令，作出函数的图象如下图所示：
因为关于的方程有6个不同的实数根，
则关于的方程在内有两个不等的实根，
设，则函数在内有两个不等的零点，
所以，，解得．
故选：A．
12．【解析】因为为奇函数，所以，所．
因为为偶函数，所以，所以．
所以有，所以，
所以，即有，所以的一个周期为8．
对于A项，因为，且．
令，有，故A错误；
对于B项，因为为奇函数，的周期为8．故，．
所以，从而为奇函数，故B正确；
对于C项，在区间上是增函数，且的图象关于点对称，
所以在上单调递增，又周期为8，故在上单调递增，故C项错误；
对于D项，作出与的大致图象，如图所示．
其中单调递减且，所以两函数图象有6个交点，故方程仅有6个实数解，故D正确．
故选BD．
16【解析】设，求出和的正切值，根据两角和的正切公式，可得．利用换元法和基本不等式，即可求出最大时的值，进而求出．
【详解】设，则，，
，
令，则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
，即米，米时，最大，最大值为．故答案为：4．
三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（本小题满分10分）
【答案】（1）4 （2）
18（本小题满分12分）
【答案】（1）， （2）
19（本小题满分12分）
【答案】（1）
（2）时，原式；时，原式；
20（本小题满分12分）
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由题意，
，，；
（2），，，
令，，令，，
设，，，
在上单调递减，，即，
同理可证在上单调递增，
，即，
综上，在上的值域．
21（本小题满分12分）
【答案】（1）； （2）．
【详解】（1）
，
所以函数的最小正周期．
（2）由题意知：，
由得，所以，所以，
所以，即在区间上的值域为．
22（本小题满分12分）
【答案】（1）； （2）或； （3）．
【详解】
【小问1详解】由题知，当，，
设．则，所以，
因为是奇函数，所以，又因为，所以；
【小问2详解】
令，整理得，
因为有且只有一个零点，所以方程有且只有一根或两相等根，
当时，，符合题意，当时，只需，所以，此时，符合题意
综上，或．
【小问3详解】
在上任取，，且，则，．
所以，所以在上单调递减．
所以函数在上的最大值与最小值分别为，．
所以，
即，对任意成立．
因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递增，
所以当时，有最小值，所以，解得．
所以的取值范围为．
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