合肥中锐学校高中部23-24学年度第一学期期末考试
高三数学答案和解析
一、单选题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B B B A C A D B
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分（若正确选项有两个，选对一个得3分，若正确选项有三个，选对一个得2分，选对2个得4分），如果有选错的得0分
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15 （13分）.【答案】证明：由，得，
因为数列的各项均为正数，故，
，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列．
，
即
由得，
，
，
，
则，，
即．
【解析】本题考查等差数列的判定或证明， 裂项相消法求和，属于中档题．
将递推式变形为，消去即可证明，再根据
等差数列的通项公式求解即可
变形得，利用裂项相消法计算，再观察即可得结果．
16.（15分）【答案】解：因为，
由正弦定理，得．
所以，即．
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，，
设，则由可得：点的轨迹方程为，
即，
当时，的最大值为．
【解析】本题考查了正弦定理，三角形面积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用正弦定理可得：，可得答案；
由题意得到点的轨迹方程为，再由三角形的面积公式求解．
17.（15分）【答案】证明：平面平面，，
平面，
，
，
，
平面，
C.
建立如图所示的坐标系．
设，，
则，，，．，，．
设为面的一个法向量，，
则，取．
同理可得平面的一个法向量为．
．
【解析】由，利用面面垂直的性质定理可得平面，可得，进而得出，平面，即可证明．
建立如图所示的坐标系设，设为面的一个法向量，，
同理可得平面的一个法向量为利用，即可得出．
本题考查了空间位置关系与空间角、线面面面垂直的判定性质定理、法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.（17分）【答案】解：由题意可知，，其中将向左的概率看成成功概率，
则，
列表如下：
小球落入袋的概率，
小球落入袋中的概率，
所以小球落入袋和袋中的概率分别为和．
【解析】本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，二项分布，是基础题．
易得，根据二项分布可得出答案；
小球落入袋则小球一直向左或一直向右，从而可求出小球落入袋的概率，再利用对立事件的概率公式可求得小球落入袋的概率．
19.（17分）【答案】解：当时，，
的定义域为
则当时，；
当时，．
故在单调递增，在单调递减．
的定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；
当时，．
故在单调递增，在单调递减．
由知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，
当时，，
当时，所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，
所以当时，，
从而当时，，
即．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的思想，考查转化能力，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
当时，求的单调区间，易解；
分、情况讨论与的大小关系可得结论；
利用导数证明不等式，要转化成函数求最值问题解决进行证明．合肥中锐学校高中部 23-24 学年度第一学期期末考试
高三数学试卷
满分:150分 时间：120分钟
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 2, 1,1,2}， = { | 11 0}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. { 2, 1} C. { 1,1,2} D. { 2, 1,1}
2.直线 + 3 + 1 = 0 的倾斜角为( )
A. B. 5 C. D. 2 6 6 3 3
3.圆心在 轴上，且过点(3,1)的圆与 轴相切，则该圆的方程是 ( )
A. 2 + 2 + 10 = 0 B. 2 + 2 10 = 0
C. 2 + 2 + 10 = 0 D. 2 + 2 10 = 0
4.已知向量 = 3,1 ， = 3,2 ， = 1,4 ，则 cos , =( )
A. 5 B. 5 C. 5 55 3 10 D. 5
5 = .已知钝角三角形 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 3， = 7， = 3，则△ 的面积
为 ( )
A. 3 3 B. 3 3 3 3 3 3 3 38 2 C. 4 D. 2 或 4
6.如图，已知圆锥的母线长 = 3，一只蚂蚁从 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 的最短距离为3 3，
则该圆锥的底面半径为 ( )
A. 1 B. 2
C. 2 D. 3
7.已知 1， 2是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 1 ⊥ 2，且∠ 2 1 = 60 ，则 的离心率为
( )
A. 1 32 B. 2 3 C.
3 1
2 D. 3 1
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8.函数 ( ) = 1 22 + ( 6)ln 在区间[1,3]上单调递减，则 的取值范围为
A. ∞, 67 B. ∞,
6
7 C. ( ∞,6) D. ( ∞,6]
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部
选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.(多选)设复数 满足 (4 + 3 ) = 2 (其中 是虚数单位)，则下列说法正确的是
( )
A. 2的虚部为 5 B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. + = 25 D. | | =
1
5
10.设数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 1， +1 = 3 ，则( )
A. 2 = 4 B. 2023 = 16 2021 C. { }是等比数列 D. { }是等比数列
11 .在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，点 1(cos , sin )， 2(cos( + 3 ), sin( + 3 ))， 3(cos(
6 ), sin(
6 ))，则下列说法正确的是
( )
A.线段 2与 3的长均为 1
B.线段 2 3的长为 1
C.若点 1， 2关于 轴对称，则 =
3 + ( ∈ )
D.当 = 13 12 时，点 1， 3关于 轴对称
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 (2,1,1)，且两平面的一个法向量 = ( 1,0,1)，则两平面间
的距离是 ．
13.函数 = sin 1 2 + 3 , ∈ 2 , 2 的单调递增区间是__________．
+ 2, 为奇数14.已知数列{ }满足首项 1 = 1， +1 = ，则数列{ }的前 2 项的和为_____________．
3 , 为偶数
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
数列{ }的各项均为正数， 1 = 1，当 ≥ 2 时， 1 = + 1．
(1)证明：{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式；
(2)设 1 1 = 4 1，数列{ }前 项和为 ，证明： < 2．
16.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知sin2 sin sin 2sin2 = 0．
(1) 求 的值;
(2)若 = 4，求三角形 面积的最大值．
17.(本小题 15 分)
如图，在斜三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ， ⊥ ， 1 ⊥ 1 ， = ．
(1)求证： 1 ⊥ 1 ;
(2)若 1 = 1 ，求二面角 1 1的余弦值．
第 3页，共 15页
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18.(本小题 17 分)
将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇
到黑色障碍物 3 次，最后落入 袋或 袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是
2 1
3，3 .设小球向左的次数为随机变量 ．
(1)求随机变量 的概率分布列；
(2)分别求出小球落入 袋和 袋中的概率．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 + (2 + 1) ．
(1)当 = 1 时，求 ( )的单调区间
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)当 < 0 时，证明 ( ) 34 2．
第 4页，共 15页
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