山东省烟台市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平诊断数学试题（含答案)
文档属性
| 名称 | 山东省烟台市2023-2024学年高二上学期1月期末学业水平诊断数学试题（含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 820.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 15:11:47 | ||
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文档简介
2023～2024学年度第一学期期末学业水平诊断
高二数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知数列的前几项为：，4，，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知等比数列中，，，则（ ）
A.2 B. C. D.4
3.已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A.2 B.4 C. D.6
4.已知椭圆经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
5.抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.最小
10.已知曲线，则（ ）
A.可能是等轴双曲线 B.若表示焦点在y轴上的椭圆，则
C.可能是半径为的圆 D.若表示焦点在x轴上的双曲线，则
11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A.的最大值为5 B.的内切圆面积最大值为
C.为定值1 D.若Q为中点，则l的方程为
12.若正整数数列：满足：若对任意的正整数，都有，则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有（ ）
A.若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组有3个
B.若数列1，m，n，8为“数列”，则的最大值为6
C.若数列为“数列”，则使的n的最大值为16
D.若数列为“数列”，且，则满足的n的最大值为10
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为______.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为______.
15.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为______.
16.已知数列满足：；；，，其中.数列的通项公式______，令，则数列的前n项和______.（本小题第一空2分，第二空3分.）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知为数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
19.（12分）已知点F是抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程.
20.（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）.
（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？
参考数据：，，，，.
21.（12分）设数列，的前n项和分别为，，，，且，.
（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知点P在圆上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设，，过点作直线与交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.
（i）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ii）设直线，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
2023～2024学年度第一学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案
一、选择题
CADB DCBC
二、选择题
9.BC 10.BCD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13.120 14. 15.
16.，
四、解答题
17.解：（1）由，得，
两式相减得.
即，所以，
以上各式相乘，得，
经检验也适合上式，故.
（2）由题意，数列的前n项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，
18.解：（1）设双曲线的方程，
由已知，，
所以，.
所以双曲线方程为.
（2）联立方程，得，
，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
19.（1）证明：抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，联立得，，
设点，，则，.
因为，所以.
又，，，
所以
所以O，Q，M三点共线.
（2）因为，所以.
于是，即.
所以.
所以直线l的方程为.
20.解：（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列.
B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列.
设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，，则
（万元）
（万元），故，
所以，A品牌化妆品的前10年总利润更大.
（2）可得，，，
所以，
则，
令，得到，
令，得到.
由参考数据，，，
知，，所以.
所以，第7年时两种化妆品在同一年的利润差额最大.
21.解：（1）由已知得，，
当时，，
两式相减得，即.
又，即，且，所以，
所以，亦满足.
所以，数列为等比数列，.
所以，，
即，
所以，数列是以为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，，即.
所以
，
两式相减得，
所以.
由已知条件，可得：
，即.
即，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
22.解：（1）设，因为点P为的中点，所以.
因为点P在圆上，所以，
化简得，
所以，求点Q的轨迹的方程为.
（2）（i）设过点的直线方程为，
联立，得：，
设点，，则，.
因为直线，直线，
所以，
注意到，
于是
所以，解得，所以点G在直线上，
（ii）因为点G在上，令，可得.
同理，点H直线上，且，.
因为，，
所以，
将，，代入得：.
所以的面积之积为定值3.
高二数学
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知数列的前几项为：，4，，10，…，则该数列的一个通项公式可能为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知等比数列中，，，则（ ）
A.2 B. C. D.4
3.已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ）
A.2 B.4 C. D.6
4.已知椭圆经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
5.抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点F发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6.三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
7.已知数列的各项均为正整数，，若，则的所有可能取值组成的集合为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.最小
10.已知曲线，则（ ）
A.可能是等轴双曲线 B.若表示焦点在y轴上的椭圆，则
C.可能是半径为的圆 D.若表示焦点在x轴上的双曲线，则
11.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），的内切圆与切于点M，过点的直线l与C交于A，B两点，则（ ）
A.的最大值为5 B.的内切圆面积最大值为
C.为定值1 D.若Q为中点，则l的方程为
12.若正整数数列：满足：若对任意的正整数，都有，则称该数列为“数列”.下列关于“数列”的说法中正确的有（ ）
A.若数列8，x，4，y，8为“数列”，则有序数组有3个
B.若数列1，m，n，8为“数列”，则的最大值为6
C.若数列为“数列”，则使的n的最大值为16
D.若数列为“数列”，且，则满足的n的最大值为10
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为______.
14.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为______.
15.已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为______.
16.已知数列满足：；；，，其中.数列的通项公式______，令，则数列的前n项和______.（本小题第一空2分，第二空3分.）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知为数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
18.（12分）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
19.（12分）已知点F是抛物线的焦点，过点F的直线l交抛物线C于P，Q两点，过点P作C的准线的垂线，垂足为M，O为坐标原点.
（1）证明：Q，O，M三点共线；
（2）若，求直线l的方程.
20.（12分）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）.
（1）试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小；
（2）问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？
参考数据：，，，，.
21.（12分）设数列，的前n项和分别为，，，，且，.
（1）求的通项公式，并证明：是等差数列；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知点P在圆上，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，Q为线段的中点，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设，，过点作直线与交于不同的两点M，N（异于A，B），直线，的交点为G.
（i）证明：点G在一条平行于x轴的直线上；
（ii）设直线，交点为H，试问：与的面积之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
2023～2024学年度第一学期期末学业水平诊断
高二数学参考答案
一、选择题
CADB DCBC
二、选择题
9.BC 10.BCD 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13.120 14. 15.
16.，
四、解答题
17.解：（1）由，得，
两式相减得.
即，所以，
以上各式相乘，得，
经检验也适合上式，故.
（2）由题意，数列的前n项和，
所以，当时，，
当时，，
综上，
18.解：（1）设双曲线的方程，
由已知，，
所以，.
所以双曲线方程为.
（2）联立方程，得，
，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
19.（1）证明：抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，联立得，，
设点，，则，.
因为，所以.
又，，，
所以
所以O，Q，M三点共线.
（2）因为，所以.
于是，即.
所以.
所以直线l的方程为.
20.解：（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列.
B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列.
设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，，则
（万元）
（万元），故，
所以，A品牌化妆品的前10年总利润更大.
（2）可得，，，
所以，
则，
令，得到，
令，得到.
由参考数据，，，
知，，所以.
所以，第7年时两种化妆品在同一年的利润差额最大.
21.解：（1）由已知得，，
当时，，
两式相减得，即.
又，即，且，所以，
所以，亦满足.
所以，数列为等比数列，.
所以，，
即，
所以，数列是以为首项、1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，，即.
所以
，
两式相减得，
所以.
由已知条件，可得：
，即.
即，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
22.解：（1）设，因为点P为的中点，所以.
因为点P在圆上，所以，
化简得，
所以，求点Q的轨迹的方程为.
（2）（i）设过点的直线方程为，
联立，得：，
设点，，则，.
因为直线，直线，
所以，
注意到，
于是
所以，解得，所以点G在直线上，
（ii）因为点G在上，令，可得.
同理，点H直线上，且，.
因为，，
所以，
将，，代入得：.
所以的面积之积为定值3.
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