河南省信阳市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题（含解析)
文档属性
| 名称 | 河南省信阳市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量检测数学试题（含解析) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 17:12:51 | ||
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文档简介
2023－2024学年普通高中高二（上）期末教学质量检测
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线在轴上的截距为（ ）
A． 2024 B． 1012 C．1012 D．2024
2．已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2048
3．直线m，n的方向向量分别为，，平面的法向量为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．直线与平行，则的值为（ ）
A．0 B． C．或0 D．或 0
5．2023年9月第14届中国国际园林博览会在安徽合肥举行．某媒体甲、乙、丙三名记者去河南园、北京园、香港园进行现场报道，若每个地方恰有一名记者，则甲去河南园的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与抛物线交于A，B两点，则（为抛物线顶点）的值为（ ）
A． 6 B． 4 C．4 D．12
7．如图，在平行六面体中，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．10
8．已知，，分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于A，B，若，，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．方程（为常数）表示的曲线可能是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．如图，在正四棱柱中，是的中点，，则
A． B．平面
C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为
11．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（ ）
A． B．
C． D．成等比数列
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点B，，设的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．已知，平面的法向量．若，则________．
14．已知点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上的点，则周长的最小值为________．
15．圆与的位置关系为________；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为________．（本小题第一空2分，第二空3分）
16．已知数列满足，且，若，则________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知圆，直线．
（1）求的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱雉中，，都为等腰直角三角形，，，，，E为的中点．
（1）与平面是否平行？请说明理由；
（2）求与平面所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在第19届杭州亚运会上中国乒乓球队勇夺6金．比赛采用“11分制”规则：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位亚运选手进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束。
（1）求且甲获胜；
（2）求．
20．（本小题满分12分）
已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求与的标准方程；
（2）有心圆锥曲线（椭圆、圆、双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线MA，MB（A，B为切点），求的面积．
21．（本小题满分12分）
设为数列的前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）
已知双曲线过点，离心率为，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0．
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
2023—2024学年普通高中高二（上）期末教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D C A B A D ABC BCD AC ABD
1．B 解析：令，得．故选B．
2．B 解析：，故选B．
3．D 解析：若，则与垂直，即，其余均不正确，故选D．
4．C 解析：当时，两直线平行；
当时，由，解得．
综上得，或0．故选C．
5．A 解析：记河南园、北京园、香港园分别为1，2，3．则样本空间
，
共6种，甲去河南园有2种．甲去河南园的概率为．故选A．
6．B 解析：由，得，设，，则，
∴．故选B．
7．A 解析：设，，．
因为，，，．
∴，，，．
∴．故选A．
8．C 解析：依题意，设，则，，，
如题图，在中，，则，故或（舍去），所以，．
在中，有，∴，
即，∴，∴．
所以，双曲线的渐近线方程为．故选D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．ABC 解析：若，方程表示直线；若，方程表示椭圆；若，方程表示双曲线；，方程不表示任何曲线；由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线．故选ABC．
10．BCD 解析：以为坐标原点，以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，
，，，所以AM，CM不垂直，选项A错误；
∵，
所以，是平面的一个法向量，即平面．选项正确；
平面的一个法向量，
所以，，选项C正确；
到平面的距离．选项D正确．故选BCD．
11．AC 解析：，，，，，，，．所以，选项A，C正确；选项B错误；
当，，即，．
不是等比数列，选项D错误．故选AC．
12．ABD 解析：依题意，设，则，，
如图，在Rt中，，
则，故或（舍去），
所以，选项A正确；
由，，则，
在中，，即，选项B正确；
在Rt中，，选项C错误；
在中，，整理得，
故．选项D正确．故选ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．解析：因为，∴共线，即，
∴，，∴．
答案：
14．解析：如图，，设抛物线的准线为，分别过点P，A作，
，H，M为垂足，则，
，
所以周长．
答案：11
15．解析：依题意，圆心，半径，圆心，半径，，
所以，两圆内含．
设动圆的圆心，半径为，则，，．
依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，，
又，∴．
P的轨迹方程为．
答案：内含
16．解析：由，得，
所以，
，
故．
，的各项分别为 3，5， 7，9， 11，13，…，
∴．
答案：2024
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）圆的方程配方，得，………………2分
由，得．
故的取值范围为．………………4分
（2），
故当时，圆的面积最大，
此时，圆的方程为．………………7分
圆心到直线直线的距离，弦长为．
故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为．………………10分
18．解：（1）证法一：，都为等腰直角三角形，，
∴，，．
所以，平面．
又，，，．………………3分
，则，，，，．
，，平面的一个法向量为，
，所以，与平面不平行．………………6分
证法二：∵平面平面………………5分
这与平面平面相矛盾，∴CE与平面不平行．………………6分
（2），，
设平面的法向量为，则即
令，得平面的一个法向量为．………………8分
设直线与平面所成角为，
则，………………11分
．
故直线与平面所成角的余弦值为．………………12分
19．解：（1）“且甲获胜”就是平后，两人又打了2个球比赛结束，则这两个球均是甲得分．因此，（且甲获胜）．………………4分
（2）就是平后，两人又打了4个球比赛结束，4个球的得分情况是：前2个球甲、乙各得1分，后2个球均是甲得分，或均是乙得分．设事件“且甲获胜”，事件“且乙获胜”，则
．
．………………10分
．………………12分
20．解：（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点，
，∴．所以，的方程为．………………2分
由，，即，又，所以，．
椭圆的标准方程．………………4分
（2）设，，由上述结论知，过点A，B的椭圆的切线方程分别为，，………………5分
因为在两条切线上，所以，，
即，，
点A，B的坐标都满足方程，即直线的方程为．………………8分
联立可得，，
所以，，，………………10分
，
点到直线的距离，
所以，．………………12分
21．解：（1）因为，①
当时，，即．………………1分
当时，，②
① ②，得，
化简得：，即．………………4分
所以，，
当时，也满足上式，所以．………………7分
（2）因为，所以
，
，………………9分
两式相减得，
，
即．………………12分
22．解：（1）根据题意，得得．………………2分
∴双曲线的方程为．……………………4分
（2）设直线方程为，
联立得，
由，①
设，，由韦达定理可得，．………………6分
由，得，即，
整理，得．
有，
整理，得．
因为直线不过点，所以，故．………………10分
所以，直线，
假设存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，设的中点，
则，，即，
由，得，得，
代入①，不适合．故这样的直线不存在．………………12分
数学试题
本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线在轴上的截距为（ ）
A． 2024 B． 1012 C．1012 D．2024
2．已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2048
3．直线m，n的方向向量分别为，，平面的法向量为，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．直线与平行，则的值为（ ）
A．0 B． C．或0 D．或 0
5．2023年9月第14届中国国际园林博览会在安徽合肥举行．某媒体甲、乙、丙三名记者去河南园、北京园、香港园进行现场报道，若每个地方恰有一名记者，则甲去河南园的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与抛物线交于A，B两点，则（为抛物线顶点）的值为（ ）
A． 6 B． 4 C．4 D．12
7．如图，在平行六面体中，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．10
8．已知，，分别是双曲线的左、右焦点，如图，过的直线与的左支交于A，B，若，，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．方程（为常数）表示的曲线可能是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
10．如图，在正四棱柱中，是的中点，，则
A． B．平面
C．二面角的余弦值为 D．到平面的距离为
11．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一．假设环的数量为，解开连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（ ）
A． B．
C． D．成等比数列
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点B，，设的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．
13．已知，平面的法向量．若，则________．
14．已知点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上的点，则周长的最小值为________．
15．圆与的位置关系为________；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为________．（本小题第一空2分，第二空3分）
16．已知数列满足，且，若，则________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知圆，直线．
（1）求的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱雉中，，都为等腰直角三角形，，，，，E为的中点．
（1）与平面是否平行？请说明理由；
（2）求与平面所成角的余弦值．
19．（本小题满分12分）
在第19届杭州亚运会上中国乒乓球队勇夺6金．比赛采用“11分制”规则：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位亚运选手进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局双方平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束。
（1）求且甲获胜；
（2）求．
20．（本小题满分12分）
已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍．
（1）求与的标准方程；
（2）有心圆锥曲线（椭圆、圆、双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线MA，MB（A，B为切点），求的面积．
21．（本小题满分12分）
设为数列的前项和，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
22．（本小题满分12分）
已知双曲线过点，离心率为，斜率为的直线交双曲线于A，B两点，且直线PA，PB的斜率之和为0．
（1）求双曲线的方程；
（2）是否存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
2023—2024学年普通高中高二（上）期末教学质量检测
数学参考答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B B D C A B A D ABC BCD AC ABD
1．B 解析：令，得．故选B．
2．B 解析：，故选B．
3．D 解析：若，则与垂直，即，其余均不正确，故选D．
4．C 解析：当时，两直线平行；
当时，由，解得．
综上得，或0．故选C．
5．A 解析：记河南园、北京园、香港园分别为1，2，3．则样本空间
，
共6种，甲去河南园有2种．甲去河南园的概率为．故选A．
6．B 解析：由，得，设，，则，
∴．故选B．
7．A 解析：设，，．
因为，，，．
∴，，，．
∴．故选A．
8．C 解析：依题意，设，则，，，
如题图，在中，，则，故或（舍去），所以，．
在中，有，∴，
即，∴，∴．
所以，双曲线的渐近线方程为．故选D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
9．ABC 解析：若，方程表示直线；若，方程表示椭圆；若，方程表示双曲线；，方程不表示任何曲线；由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线．故选ABC．
10．BCD 解析：以为坐标原点，以DA，DC，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，
，，，所以AM，CM不垂直，选项A错误；
∵，
所以，是平面的一个法向量，即平面．选项正确；
平面的一个法向量，
所以，，选项C正确；
到平面的距离．选项D正确．故选BCD．
11．AC 解析：，，，，，，，．所以，选项A，C正确；选项B错误；
当，，即，．
不是等比数列，选项D错误．故选AC．
12．ABD 解析：依题意，设，则，，
如图，在Rt中，，
则，故或（舍去），
所以，选项A正确；
由，，则，
在中，，即，选项B正确；
在Rt中，，选项C错误；
在中，，整理得，
故．选项D正确．故选ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．解析：因为，∴共线，即，
∴，，∴．
答案：
14．解析：如图，，设抛物线的准线为，分别过点P，A作，
，H，M为垂足，则，
，
所以周长．
答案：11
15．解析：依题意，圆心，半径，圆心，半径，，
所以，两圆内含．
设动圆的圆心，半径为，则，，．
依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，，
又，∴．
P的轨迹方程为．
答案：内含
16．解析：由，得，
所以，
，
故．
，的各项分别为 3，5， 7，9， 11，13，…，
∴．
答案：2024
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）圆的方程配方，得，………………2分
由，得．
故的取值范围为．………………4分
（2），
故当时，圆的面积最大，
此时，圆的方程为．………………7分
圆心到直线直线的距离，弦长为．
故当圆的面积最大时，直线被圆截得的弦长为．………………10分
18．解：（1）证法一：，都为等腰直角三角形，，
∴，，．
所以，平面．
又，，，．………………3分
，则，，，，．
，，平面的一个法向量为，
，所以，与平面不平行．………………6分
证法二：∵平面平面………………5分
这与平面平面相矛盾，∴CE与平面不平行．………………6分
（2），，
设平面的法向量为，则即
令，得平面的一个法向量为．………………8分
设直线与平面所成角为，
则，………………11分
．
故直线与平面所成角的余弦值为．………………12分
19．解：（1）“且甲获胜”就是平后，两人又打了2个球比赛结束，则这两个球均是甲得分．因此，（且甲获胜）．………………4分
（2）就是平后，两人又打了4个球比赛结束，4个球的得分情况是：前2个球甲、乙各得1分，后2个球均是甲得分，或均是乙得分．设事件“且甲获胜”，事件“且乙获胜”，则
．
．………………10分
．………………12分
20．解：（1）由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点，
，∴．所以，的方程为．………………2分
由，，即，又，所以，．
椭圆的标准方程．………………4分
（2）设，，由上述结论知，过点A，B的椭圆的切线方程分别为，，………………5分
因为在两条切线上，所以，，
即，，
点A，B的坐标都满足方程，即直线的方程为．………………8分
联立可得，，
所以，，，………………10分
，
点到直线的距离，
所以，．………………12分
21．解：（1）因为，①
当时，，即．………………1分
当时，，②
① ②，得，
化简得：，即．………………4分
所以，，
当时，也满足上式，所以．………………7分
（2）因为，所以
，
，………………9分
两式相减得，
，
即．………………12分
22．解：（1）根据题意，得得．………………2分
∴双曲线的方程为．……………………4分
（2）设直线方程为，
联立得，
由，①
设，，由韦达定理可得，．………………6分
由，得，即，
整理，得．
有，
整理，得．
因为直线不过点，所以，故．………………10分
所以，直线，
假设存在直线，使得是以为顶点的等腰三角形，设的中点，
则，，即，
由，得，得，
代入①，不适合．故这样的直线不存在．………………12分
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