陕西省渭南市大荔县2023-2024学年高二上学期期末教学质量检测数学试题（含答案)

大荔县2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测试题
高二数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．下列有关样本相关系数的说法不正确的是（ ）
A．相关系数用来衡量与之间的线性相关程度
B．，且越接近0，相关程度越小
C．，且越接近1，相关程度越大
D．，且越接，1，相关程度越大
4．给出下列命题：
①若空间向量，满足，则与的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．根据大荔县历年气象统计资料，某年4月份的任一天刮东风的概率为，下雨的概率为，既刮东风又下雨的概率为．则4月8日这一天，在刮东风的条件下下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．数学对于一个国家的发展至关正要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求．现西安某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”、“世界数学通史”、“几何原本”、“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式在（ ）
A．60种 B．78种 C．84种 D．144种
7．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在“鳖臑”中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．若双曲线的两条渐近线与椭圆：（）的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆：和圆：相交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线的方程为
C．线段的长为 D．到直线的距离与到直线的距离之比为1:4
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．已知随机变量，满足，若，则，
C．有8名学生，其中5名男生，从中选出4名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望
D．离散型随机变量服从两点分布，且，则
11．如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，，，，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法不正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台 B．该几何体是棱柱，平面是底面
C． D．平面与平面的夹角为45°
12．已知双曲线：（，）的上焦点为，过焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为，并与另一条渐近线交于点，若，则的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线经过点，且斜率为2，则直线的一个方向向量为______．
14．展开式中项的系数为______．
15．已知向量，，，，则与的夹角为______．
16．《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等．已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离记为，双曲线的两条渐近线与直线，以及双曲线的右支围成的图形（如图中阴影部分所示）绕轴旋转一周所得几何体的体积为（其中），则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）（1）已知直线经过点，在两坐标轴上的截距都不等于零，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍，求该直线的方程；
（2）求以为圆心，且与圆相外切的圆的方程．
18．（12分）大荔县政务大厅某办事处有，，，四部热线电话．已知某一时刻电话，占线的概率均为0.5，电话，占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的分布列和数学期望．
19．（12分）已知椭圆：（）的左焦点为，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点、斜率为1的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，求的面积．
20．（12分）2023年12月大荔县某高中数学社团在宝塔文殊广场对人们的休闲方式进行了一次调查．共调查了124人，其中男性54人，女性70人．男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动；女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个列联表；
（2）判断性别与休闲方式是否有关系．
附：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12分）在长方体中，，，点在棱上移动．
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到平面的距离；
（3）取何值时，二面角的平面角为．
22．（12分）已知，，直线，相交于，且直线，的斜率之积为2．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设，是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线，在轴上的截距之比为1:2，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标．
高二数学试卷
答案解析部分
一、单选题
1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D
6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B
二、多选题
9．【答案】A，B，C 10．【答案】A，B，D 11．【答案】A，B，C 12．【答案】A，C
三、填空题
13．【答案】（答案不唯一） 14．【答案】240 15．【答案】 16．【答案】
四、解答题
17．【答案】（1）设直线的方程为，由该直线过点可得，
解得，所以该直线的方程为．
（2）设所求圆的方程为
因为两个圆的圆心距，所以两个圆外切时满足．
所以所求圆的方程为．
18．【答案】设随机变量的所有取值为0，1，2，3，4．
，
，
，
，
．
所以
19．【答案】（1）由题设知，所以，
于是椭圆的方程为；
（2）依题意，直线的方程为．
设．
由解得．
所以的面积．
20．【答案】（1）依题意建立列联表为
性别 看电视 运动 总计
女 43 27 70
男 21 33 54
总计 64 60
（2）计算．
因为，所以有的把握判断休闲方式与性别有关．
21．【答案】以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系．设，则．
（1）因为，所以，即．
（2）因为为的中点，则，从而，，．
设平面的法向量为，则，解得，令，则
所以点到平面的距离为．
（3）设平面的法向量．由（1）知，，
．由得，
令，则，则．
依题意，解得：（不符题意舍去），．
所以当时，二面角的平面角为．
22．【答案】（1）解：设，则直线的斜率是，
直线的斜率是，
所以，化简整理得：，
所以动点的轨迹方程是．
（2）证明：设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，
直线的方程为，即，直线的方程为，即，
又双曲线的渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，
直线与双曲线右支交于两点，
则有，且，于是，
由消去化简整理得：，
设点，则，解得，有，
由消去化简整理得：，
设点，则，解得，有，
，，
于是，设直线上任意一点，则，
显然，因此，即，
整理得，显然直线恒过定点，
所以直线经过定点．