四川省巴中市2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年四川省巴中市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，由，两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是( )
A. 灯亮，灯不亮
B. 灯不亮，灯亮
C. ，两盏灯均亮
D. ，两盏灯均不亮
2.经过两点，的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
3.在等差数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的焦点在轴上，，，则其标准方程为( )
A. B. C. D.
5.若点在空间直角坐标平面内的射影为点，则，两点的中点坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
7.已知点，平面的法向量，若平面，则下列各点中在平面内的是( )
A. B. C. D.
8.若曲线与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列为单调递增数列
C. 数列是等比数列 D.
10.已知点在双曲线的右支上，，是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A. B. 离心率
C. 渐近线方程为 D. 点到渐近线的距离为
11.若圆：上恰有四个点到直线：的距离为，则实数的取值可以为下列( )
A. B. C. D.
12.在正方体中，若棱长为，点，分别为线段，上的动点不包括端点，则下列结论正确的是( )
A. 平面
B. 异面直线与所成角的余弦值范围为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线与平面所成的角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线：，，若，则的值为______ ．
14.若空间向量，，且，则实数 ______ ．
15.某学校举行乒乓球比赛，采取五局三胜制，甲、乙两位同学角逐冠亚军若甲发球甲获胜的概率为，乙发球甲获胜的概率为，要求甲先发球后交替进行，则打满局甲一举夺冠的概率为______ ．
16.已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为，离心率，若点为椭圆上任意一点，则的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
记为等比数列的前项和，已知公比，且，．
求数列的通项公式；
求，并判断，，是否成等差数列，说明理由．
18.本小题分
新高考科目设置采用“”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临选择物理还是历史的问题，某校进行了大数据统计，在名学生的问卷调查中，发现有名学生选择了物理，名学生选择了历史．
从这名学生中按选科比例选出五名学生将选科信息录入系统，同时在这五名学生中抽取两名学生作为组长，写出样本空间；
求出中两名组长出自不同选科的概率．
19.本小题分
如图，四面体的所有棱长均为，，分别为，的中点，且点为的三等点靠近点．
设向量，，，用，，表示向量；
求点到平面的距离．
20.本小题分
已知过点的直线与直线：平行，圆：．
若直线为圆的切线，求直线的方程；
若直线与圆交于，两点，求面积的最大值，并求此时实数的值．
21.本小题分
在平面平面，；，；平面，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．
问题：如图，在四棱锥中，底面是梯形，点在上，，，，且_____．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为点，点在第一象限，且在抛物线上，若，且点到轴的距离，延长交抛物线点．
求抛物线的方程及线段的长；
直线与抛物线交于，两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，当时，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，这是一个并联电路，当闭合开关时，电流会经过开关，
然后分别流经灯和灯，因此，灯和灯都会亮，
所以，必然事件是两盏灯均亮．
故选：．
根据电路闭合的原理，即可判断．
本题考查必然事件的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为经过两点，的直线与轴垂直，
故直线的倾斜角为．
故选：．
先判断出直线与轴垂直，进而可求直线的倾斜角．
本题主要考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，
．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知：椭圆的焦点在轴上，，，
由，
椭圆的标准方程为：．
故选：．
由题意可知：，椭圆的离心率，求得，求出，即可求得椭圆的标准方程；
本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆标准方程的求法，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：点在空间直角坐标平面内的射影点为，
则，两点的中点坐标为．
故选：．
由已知求出点，进而可得，两点的中点坐标．
本题考查空间中的点的坐标，属于基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，属于基础题．
求出两圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和与差的关系，判断圆与圆的位置关系．
【解答】
解：圆：的圆心为，半径，
圆：的标准方程为，圆心为，半径，
两圆的圆心距，，
故两圆相交．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，设要判断的点为，依次分析选项：
对于，若的坐标为，则，，该点不在平面内，
对于，若的坐标为，则，，该点不在平面内，
对于，若的坐标为，则，，该点不在平面内，
对于，若的坐标为，则，，该点在平面内，
故选：．
根据题意，设要判断的点为，依次分析选项，求出的坐标，验证的值是否为，即可得答案．
本题考查空间向量数量积的计算，注意涉及空间向量的坐标，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由曲线，得，
所以曲线是以为圆心，为半径的右半圆；
由曲线：，得或，
所以曲线是两条直线；
因为曲线与曲线有四个不同的交点，
易知直线与曲线有个交点，，，
故直线与曲线有个交点，而直线过定点，
当直线过点时恰好有个交点，此时，但是曲线与曲线有个交点，
当直线与曲线相切时，，解得，或舍，
所以实数的取值范围是．
故选：．
根据曲线的方程判断曲线的形状，曲线是以为圆心，为半径的右半圆；所以曲线是两条直线；然后画图判断直线与曲线有个交点的临界状态，即可求出结果．
本题考查曲线与方程，直线与圆的位置关系，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，当时，有，A正确；
对于，当时，，
符合，故；
数列为单调递增数列，B正确；
对于，数列的通项公式为，易得数列是等比数列，C正确；
对于，数列的通项公式为，D错误．
故选：．
根据题意，分析数列的通项公式，由此分析选项可得答案．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前项和，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：双曲线的方程为，
，，，且焦点在轴上，
，选项正确；
离心率，选项正确；
渐近线方程为，选项错误；
又，渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，选项正确．
故选：．
根据双曲线的几何性质即可分别求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于圆：，圆心为，半径，
因为圆上恰有四个点到直线：的距离为，
所以点到直线的距离，解得．
观察各个选项，可知项不满足条件，、、均满足条件．
故选：．
根据题意，可得圆的圆心为，半径，若圆上有个点到直线的距离等于，则点到直线的距离小于，由此列式算出的取值范围，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其应用、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，因为，，且，，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，选项A正确；
对于，建立空间直角坐标系，如图所示：设，，
则，，，，，
所以，，
所以，所以，，
时，点与重合，与不是异面直线，
所以异面直线与所成角的余弦值范围是，选项B错误；
对于，由，得出平面，所以点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，选项C正确；
对于，由为上的动点，长不确定，到平面的距离为定值，
则与面所成角的正弦值不为定值，选项D错误．
故选：．
中，由四边形是平行四边形得出，平面；
中，建立空间直角坐标系，用坐标表示向量和，计算，即可；
中，由平面，得出点到平面的距离为定值，且的面积为定值，由此得三棱锥的体积为定值；
中，由为上的动点，长不确定，到平面的距离为定值，判断与平面所成角的正弦值不为定值．
本题考查了空间线面平行和垂直的判断和性质，以及等积法和线面角的求法，也考查了空间想象能力和运算能力，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为直线：，，
若，则，即．
故答案为：．
由已知结合直线垂直的条件即可求解．
本题主要考查了直线垂直条件的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：空间向量，，
若，则，
即，
解得，．
故答案为：．
根据空间向量共线定理，列方程组求出的值．
本题考查了共线向量的坐标表示与应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，打满局甲一举夺冠，即甲连胜三局，
第一局甲先发球，甲获胜的概率，
第二局乙先发球，甲获胜的概率，
第三局甲先发球，甲获胜的概率，
故打满局甲一举夺冠的概率．
故答案为：．
根据题意，打满局甲一举夺冠，即甲连胜三局，分析计算第一局、第二局、第三局甲获胜的概率，由相互独立事件的概率公式计算可得答案．
本题考查相互独立事件的概率，注意分析甲获胜的情况，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为椭圆的上顶点到焦点的距离为，所以．
因为离心率，所以，
则椭圆的方程为，
所以点的坐标为，点的坐标为．
设，
则．
由椭圆的方程得，所以．
因为，所以．
故答案为：．
由题意求出椭圆方程，设，得到，从而求得范围得解．
本题考查椭圆几何性质求椭圆方程及向量数量积范围，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意，等比数列中，，，
则有，解可得或，
又由，则，
故，
由的结论，，，
则，
则，
，
，
易得，，成等差数列．
【解析】根据题意，由等比数列的通项公式可得，求出的值，进而计算可得答案；
根据题意，先求出，进而由等差数列的定义分析可得，，成等差数列，即可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，涉及等差数列的判断，属于基础题．
18.【答案】解：在名学生的问卷调查中，发现有名学生选择了物理，名学生选择了历史，
按照：：抽取五名学生，则选择物理的人，选择历史的人，
记选择物理的四个人分别为，，，，选择历史的一个人为，
则五个人中抽取两个人的样本空间，，，，，，，，，，共个样本点；
由得，抽出的两个人来自不同选科的情况有，，，共个样本点，
则两名组长出自不同选科的概率为．
【解析】根据已知利用列举法求解即可；
根据古典概型的概率公式计算即可．
本题考查古典概型的应用，属于基础题．
19.【答案】解：，，，
，．
点为的中点，为的三等分点靠近点，
，，
；
四面体的所有棱长都是，
它的四个面都为全等的等边三角形．
又，分别为，的中点，
，，，
平面，又为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，
点到平面的距离等于．
【解析】根据题意及向量的线性运算，即可求解；
根据平面，再转化顶点，即可求解．
本题考查向量的线性运算，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．
20.【答案】解：因为过点的直线与直线：平行，所以直线的方程为．
圆：，化成标准方程得，所以圆心为，半径．
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解之得，
可得直线的方程为，即；
由直线与圆相交于，两点，形成的三角形面积，且，为半径，
因此当最大时，即时，最大，此时，的最大为．
所以圆心到直线的距离，
由得直线的方程为，则圆心到直线的距离，解之或．
综上所述，的最大为，相应的实数或．
【解析】根据平行直线与方程的关系，得出直线：，然后根据切线到圆心的距离等于半径，列式算出的值，可得答案；
由三角形的面积公式，得出时，的最大，从而利用点到直线的距离公式与圆的性质算出面积的最大值，以及相应的实数的值．
本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及其应用等知识，属于中档题．
21.【答案】解：证明：选：因为平面平面，，，平面平面，
所以平面，因为，平面，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，则，，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，得，，所以，
因为，所以平面平面；
选：因为，，底面是梯形，，
所以与相交，所以平面，
因为平面，所以．
又，所以，，两两垂直．以后同选．
选：因为平面，平面，所以，
又因为，所以，因为，，
所以，，两两垂直．以后同选．
因为，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，，所以，
由题知，平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】选择一个条件，利用面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理和定义，证明，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由法向量垂直即可证明；
求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式计算即可．
本题考查面面垂直的证明和平面与平面夹角的求法，属于中档题．
22.【答案】解：，且点到轴的距离，
由抛物线的定义得，即，解得．
抛物线的方程为．
抛物线的焦点又点到轴的距离为，且在抛物线上，
点的横坐标为直线的方程为．
联立，解之得或，
点在第一象限，，，
；
设，，
，，
同理可得：，
，
整理得，
设直线的方程为，
联立方程，消去，则，，
由韦达定理得，，将其代入式得，解得，
直线的方程为，
当时，，
直线过定点．
【解析】由抛物线定义即可得抛物线的方程，从而再得到、的坐标，即可得线段的长；
设出、两点坐标，结合抛物线方程与，可得，再设出直线的方程，联立曲线结合韦达定理，可得，故，从而得到直线所过定点．
本题考查了抛物线方程及性质，考查了联立直线与抛物线方程求解综合问题，考查了方程思想，属于中档题．
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