北京市延庆区2023-2024学年高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市延庆区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知双曲线的一个焦点是，渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
4.已知是椭圆上的动点，则到椭圆的两个焦点的距离之和为( )
A. B. C. D.
5.到定点的距离比到轴的距离大的动点的轨迹方程是( )
A. B. C. D.
6.正方体的棱长为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
7.已知圆上一点和圆上一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若不论为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，点，，，是圆：上一点，是边上一点，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.椭圆的长轴长为______ ．
12.双曲线：的渐近线方程是______．
13.已知圆：，则过点的圆的切线方程是______．
14.已知方程，求的取值范围______ ．
15.若曲线上的两点，满足且，则称这两点为曲线上的一对“双胞点”下列曲线中：；；；存在“双胞点”的曲线序号是______ ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
根据下列条件，分别求出曲线的标准方程：
Ⅰ焦距是，过点，焦点在轴上的椭圆；
Ⅱ一个焦点是，一条渐近线方程为的双曲线；
Ⅲ焦点到准线的距离是，而且焦点在轴上的抛物线．
17.本小题分
已知过点的直线被圆：所截得的弦长为．
Ⅰ写出圆的标准方程及圆心坐标、半径；
Ⅱ求直线的方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，点为棱的中点，，．
Ⅰ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅱ若为棱的中点，则棱上是否存在一点，使得平面若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知抛物线：，过焦点的直线与抛物线交于，两点，定点．
Ⅰ若直线的斜率为，求的面积；
Ⅱ若是以为直角顶点的直角三角形，求直线的方程．
20.本小题分
已知椭圆：的短半轴长为，焦距为．
Ⅰ求椭圆的离心率；
Ⅱ设椭圆的右顶点为，过点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，直线，分别与直线交于点，求的取值范围．
21.本小题分
给定正整数，设集合，，，，，对于集合中的任意元素和，记设，且集合，，，，，对于中任意元素，，若，则称具有性质．
判断集合，，是否具有性质，说明理由；
判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，
所以．
故选：．
化简，再由集合并集的运算即可得解．
本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意可得，
解得，，，
双曲线的离心率为．
故选：．
根据双曲线的几何性质直接求解．
本题考查双曲线的几何性质，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：复数，
，
的虚部为．
故选：．
先求出复数，再利用虚部的定义求解．
本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：椭圆，则，所以，
因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为．
故选：．
首先求出，再根据椭圆的定义得解．
本题主要考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为平面内到定点的距离比到轴的距离大的动点，
所以平面内到定点的距离与到直线的距离相等，
即动点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
则动点的轨迹为或．
故选：．
将距离大于转化为距离相等，当点不在直线上时，由抛物线的定义可得为抛物线，点在直线上时为射线；
本题考查抛物线的定义，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：如图，
是正方体，平面，可得，
又四边形是正方形，，而，
平面，则点到平面的距离为．
故选：．
由题意画出图形，证明直线与平面垂直，即可求得点到平面的距离．
本题考查空间中点到平面距离的计算，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，可得圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，，
所以两圆的圆心距，由，可知两圆相交．
因此，在圆上取点，在圆上取点，则的最大值为．
故选：．
先判求出两圆的圆心与半径，判断出两圆的位置关系，进而求出、两点距离的最大值，可得答案．
本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系及其应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：若方程表示椭圆，则，
解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．
故选：．
由椭圆的标准方程可知，进而求出的取值范围，再结合充分条件和必要条件的定义判断．
本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：直线恒过点，则
不论为何值，直线与曲线总有公共点，
在圆内或圆上，
．
故选：．
直线恒过点，不论为何值，直线与曲线总有公共点，在圆内或圆上，即可求出的取值范围
本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数量积运算性质、三角函数求值、圆的参数方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
设，，，当时，有可能取得最大值．当点不动时且时，与尽可能大，即时，即点与重合时，有最大值令，，再利用三角函数的性质即可得出最大值．
【解答】
解：设，，
由题意可知，，，
且，
所以当取最大值时，
当点不动，且时，，尽可能大，
的值越大，
所以时，即与重合时，
有最大值，
且最大值为，
因为点在圆上，
所以，，
所以
，
因为，所以
所以当，即时，
取最大值，且最大值为．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：椭圆的标准方程，
，
椭圆的长轴长．
故答案为：．
先把椭圆化为标准方程，再由椭圆的性质能求出椭圆的长轴长．
本题考查椭圆的长轴长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
12.【答案】
【解析】解：已知双曲线
令：
即得到渐近线方程为：
故答案为：
直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于求出渐近线的方程．
本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的求法．
13.【答案】
【解析】解：由圆，得到圆心的坐标为，圆的半径，
而，所以在圆上，则过作圆的切线与所在的直线垂直，
又，得到所在直线的斜率为，所以切线的斜率为，
则切线方程为：即．
故答案为：．
由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出与圆心的距离判断出在圆上即为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和的坐标求出确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为，求出切线的斜率，根据坐标和求出的斜率写出切线方程即可．
此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．
14.【答案】或
【解析】解：由题意时，方程显然不成立，
所以，，
所以或．
故答案为：或
先判断的范围，然后用含的式子表示，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了函数与方程，还考查了基本不等式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，对于，在第三象限单调递减，满足题意；
对于，，在第一、第三象限单调递增，不满足题意；
对于，单调递增，不满足题意；
对于，，存在“双胞点”比如，，满足题意．
故答案为：．
利用新定义，分别验证，即可得出结论．
本题考查新定义，考查学生的逻辑推理能力，是基础题．
16.【答案】解：Ⅰ焦距是，，，
焦点在轴上的椭圆，过点，
则，，
则椭圆方程为；
Ⅱ一个焦点是，，
焦点在轴上，其一条渐近线方程为，
则，结合，可得，，
则双曲线方程为；
Ⅲ焦点到准线的距离是，，
焦点在轴上的抛物线方程为或．
【解析】Ⅰ根据椭圆的特点求其标准方程；Ⅱ根据双曲线的特点求其标准方程；Ⅲ根据抛物线的特点求其标准方程．
本题考查圆锥曲线标准方程，属于基础题．
17.【答案】解：整理圆的方程得，
圆心，半径；
由圆：得圆心坐标为，半径为
又直线被圆截得的线段长为，直线与圆心的距离为，
当直线斜率存在时，设的斜率是，过，设直线：，即；
直线与圆的圆心相距为，，解得，此时直线的方程为；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也符合题意．
故所求直线的方程为或．
【解析】整理出圆的标准方程，确定圆的圆心与半径；
分类讨论，利用直线被圆截得的线段长为，可得直线与圆心的距离为，由此可得结论．
本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ因为底面是矩形，所以．
因为平面，，平面，
所以，．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，则，，所以是平面的一个法向量．
因为，，且，所以平面，
所以是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
Ⅱ因为为的中点，所以，所以，
又因为，所以，所以与不垂直，
因为平面，所以棱上不存在点，使得平面．
【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量法求夹角即可；
Ⅱ由向量的坐标运算证得与不垂直，结合线面垂直的定义即可求得．
本题考查二面角的求法，直线与平面垂直的应用，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ由题意，当的斜率为时，：，
代入抛物线方程得，
设，，，，
点到直线的距离，
的面积；
Ⅱ易知直线轴时不符合题意．
可设焦点弦方程为，，，
代入抛物线方程得，
则，，．
，，，
，
．
故的方程为．
【解析】本题主要考查了抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
Ⅰ的斜率为时，：，代入抛物线方程得，求出，点到直线的距离，即可求的面积；
Ⅱ设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去，根据韦达定理表示出，，，由，，求得值，进而得出结论．
20.【答案】解：Ⅰ因为椭圆的短半轴长为，焦距为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为，
故椭圆的离心率；
Ⅱ由Ⅰ知，
不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得且，
由韦达定理得，
不妨设，，
易知，
因为，
所以，
则
，
因为且，
所以，
故的取值范围为．
【解析】Ⅰ由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出，，的值，再代入离心率公式中即可求解；
Ⅱ设的方程为，将表示为关于的函数，根据的取值范围可得结果．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：对于，，，
则，
同理，
而，
同理，
所以具有性质．
假设存在集合具有性质，易知集合有个元素且，
若，则，不符合个元素，舍去；
若，则，，，，
又因为，所以不满足，舍去；
若，
则，，，，，，
又因为
，
所以这组每组至多只能有一个包含于，所以至多只有个元素，矛盾，舍去；
若，则，，，，
又因为，所以不满足，舍去；
若，则，只有一个元素，舍去，
综上可知，不存在具有性质的集合．
【解析】根据题目直接运算判断即可；
对进行分类讨论，逐个验证是否符合该性质．
本题考查集合与元素的关系，数列的应用，属难题．
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