2023-2024学年江苏省宿迁市宿城区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省宿迁市宿城区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面四个图标中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是( )
A. B. C. D.
3.平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，已知≌，且，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5.中，，，所对的边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B. ，，
C. ：：：： D.
6.一个正方形的面积是，估计它的边长大小在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
7.已知点在第三象限，则直线图象大致是下列的( )
A. B. C. D.
8.如图，，平分，且若点，分别在，上，且为等边三角形，则满足上述条件的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.______．
10.用四舍五入法把精确到，所得到的近似数为______ ．
11.若正比例函数的图象经过点，则的值为______ ．
12.在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为______．
13.已知的三边长分别为、、，则最长边上的中线长为______ ．
14.已知点和点是一次函数图象上的两点，则 ______ 填“”、“”或“”
15.在中，，且，则的度数为______．
16.如图，一次函数与的图象相交于点，若点的纵坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为______ ．
17.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，将沿直线折叠，使得点落在点处，与交于点，则所在直线的解析式为______．
18.如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为______ ．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
计算：；
已知，求的值．
20.本小题分
已知：如图，在和中，点，，，依次在一条直线上，若，，，求证：．
21.本小题分
图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
22.本小题分
如图，三个顶点的坐标分别是，，．
画出关于轴对称的；
在轴上求作一点，使的周长最小，并求出的面积．
23.本小题分
已知实数的一个平方根是，的立方根是．
求、的值．
求的算术平方根．
24.本小题分
如图所示，和分别垂直平分和．
若的周长为，求的长；
，求的度数．
25.本小题分
如图，已知中，，．
请用尺规作图法，在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
若，，求的面积．
26.本小题分
为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知只型节能灯和只型节能灯共需元，只型节能灯和只型节能灯共需元．
求只型节能灯和只型节能灯的售价各是多少元；
学校准备购买这两种型号的节能灯共只，要求购买型号的节能灯只，记购买两种型号的节能灯的总费用为元．
求与的函数关系式；
当时，求购买两种型号的节能灯的总费用是多少？
27.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动设点的运动时间为秒．
的长为______ ；用含的代数式表示
若点在的角平分线上，求的值；
在整个运动中，求出是等腰三角形时的值．
28.本小题分
定义：在平面直角坐标系中，对于任意一次函数的图象，作该图象在直线的右侧部分关于直线的轴对称图形，与原图象在直线的右侧部分及与直线的交点共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“型函数”例如：图就是一次函数关于直线的“型函数”图象．
请在图中画出函数关于直线的“型函数”图象．
若函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，则 ______ ．
如图，点，以为斜边在轴上方作等腰，当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、图形是轴对称图形，符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义，找到对称轴是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：当这个角是顶角时，底角；
当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故选C．
题中没有指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
3.【答案】
【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特征进行判断即可．
本题考查关于轴对称点的坐标特征，掌握关于轴对称点的坐标特征，即横坐标不变，纵坐标互为相反数是正确解答的关键．
4.【答案】
【解析】解：≌，
，
，
．
故选：．
由≌，推出，即可求出．
本题考查全等三角形的性质，关键是由≌，得到．
5.【答案】
【解析】解：、，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、：：：：，
最大角，
是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理即可判断和；根据三角形的内角和定理即可判断和．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一个正方形的面积是，
它的边长是，
，
．
估计它的边长大小在和之间．
故选：．
先根据正方形的面积求出正方形的边长，再求出每个数的平方，即可得出答案．
本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出的取值范围．
7.【答案】
【解析】解：点在第三象限，
，，
直线在二、三、四象限．
故选：．
根据点在第三象限可得出，，结合一次函数图象与系数的关系可得出直线在二、三、四象限，此题得解．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在二、三、四象限”是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，过点作于，于．
平分，于，于，
，，．
．
此时，是等边三角形．
当向方向移动，向方向移动，．
．
在和中，
，
≌．
．
是等边三角形．
当向方向移动，向方向移动，，
是等边三角形．
同理：当向方向移动，向方向移动，也存在无数个满足条件等边．
综上：满足条件的有无数个．
故选：．
如图，过点作于，于根据角平分线的性质，由平分，于，于，得，，，那么此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论．
本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根是，即．
故答案为：．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：精确到，所得到的近似数为．
故答案为：．
把千分位上的数字进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确度”是近似数的常用表现形式．
11.【答案】
【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：．
故填．
因为正比例函数的图象经过点，代入解析式，解之即可求得．
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
12.【答案】
【解析】解：点在轴上，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用在轴上点的坐标特点，横坐标为零，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握轴上点的坐标特点是解题关键．
13.【答案】
【解析】解：的三边长分别为、、，，
是直角三角形，
最长边上的中线长．
故答案为：．
先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：把，代入一次函数得：
，
得：，
，
故答案为：．
把，代入一次函数得两个二元一次方程，把两个方程相减，求出的值，进行判断即可．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握比较两数大小的几种常用方法．
15.【答案】
【解析】解：
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先利用等腰三角形的性质求得的度数，然后求得的度数，最后利用三角形的内角和求得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等，属于基础性题目，比较简单．
16.【答案】
【解析】解：一次函数与的图象相交于点，且点的纵坐标为，
，
解得：，
点坐标为，
关于，的二元一次方程组的解为．
故答案为：．
对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，先利用直线确定点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标得到答案．
本题考查一次函数与二元一次方程组方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，解题的关键是先利用直线确定点坐标．
17.【答案】
【解析】解：，，，，
四边形为矩形，
．
又，
，
．
设点的坐标为，则，，
在中，，，，
，
，
点的坐标为．
设所在直线的解析式为，
将点代入中，
，解得：，
所在直线的解析式为
故答案为
根据矩形的性质结合折叠的性质可得出，进而可得出，设点的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出值，再根据点的坐标，利用待定系数法即可求出所在直线的解析式．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点的坐标是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，连接，过点作交的延长线于，
，且，
，
点关于对称的点为，点关于对称的点为，
，，，
，
，
的面积为，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为，
的面积的最小值为，
故答案为：．
连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得．
本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键．
19.【答案】解：
；
移项得，，
开平方得，，
解得或．
【解析】此题考查了实数的运算与平方根，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确的计算．
先计算开方、负整数指数幂、零次幂，再计算加减；
先移项，然后求平方根即可解答本题．
20.【答案】证明：
，
，
，即，
，
≌，
．
【解析】根据推，再根据，推，再加已知条件，根据证明≌，得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质的应用，平行线的性质的应用是解题关键．
21.【答案】解：在中，，
在中，，
，
，
．
故该车符合安全标准．
【解析】在中，由勾股定理求出，在中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键．
22.【答案】解：三个顶点的坐标分别是，，作图如图所示：
即为所求．
如图所示，点即为所求，
．
【解析】分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
作点关于轴的对称点，再连接，与轴的交点即为所求的点，用长方形等面积减去周围个小直角三角形的面积即可求出的面积．
本题主要考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
23.【答案】解：实数的一个平方根是，
，
解得，
的立方根是，
，即，
解得，
，；
，
即的算术平方根是．
【解析】根据平方根、立方根以及算术平方根的定义解决此题．
本题考查平方根、立方根、算术平方根，掌握平方根、算术平方根的区别是解题的关键．
24.【答案】解：
和分别垂直平分和，
，，
的周长，
的周长为，
；
，，
，，
，
，
．
【解析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解；
根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可．
25.【答案】解：如图，点即为所求作．
设，则，
，
，
在中，，
由勾股定理得，
即，
解得 ，
故．
【解析】作线段的垂直平分线，与线段交于点，再连接和，即为所求；
设，则，在中，由勾股定理即可得到的值，进而得到的值，即可求解的面积．
本题主要考查了作图线段的垂直平分线的画法，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解题关键是会画线段的垂直平分线及掌握其性质，熟练掌握勾股定理等．
26.【答案】解：设只型节能灯的售价是元，只型节能灯的售价是元，
由题意得：，
解得：，
答：只型节能灯的售价是元，只型节能灯的售价是元；
设购买型号的节能灯只，则购买型号的节能灯只，费用为元，
，
答：购买两种型号的节能灯的总费用与的函数关系式为；
当时，元．
答：购买两种型号的节能灯的总费用是元．
【解析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
根据总费用等于两种型号节能灯的费用之和可以得到费用与购买型号节能灯的关系式．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出与的函数关系式．
27.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
过点作于点，如图所示：
，，，
，
，
，
点在的角平分线上，，
，
又，
≌，
，
，
，则，，
在中，，
，
解得：，
即若点在的角平分线上，则的值为．
当作为底边时，如图所示：
则，设，则，
在中，，
，
解得：；
当作为腰时，如图所示：
，此时；
时，
，
，
此时，
综上分析可知，的值为或或．
根据路程速度时间即可解答；
根据角平分线的性质解答即可；
分作为底和腰两种情况讨论即可．
本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
28.【答案】
【解析】解：函数关于直线的“型函数”图象如图所示，
；
令，则，
解得，
函数关于直线的“型函数”图象与轴只有一个交点，
，
故答案为：；
在等腰中，点，
，
点，
直线的解析式为，
解方程得，
由知直线与轴的交点为，
当时，函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点，如图，
直线与的边已经有两个交点，
函数关于直线的“型函数”图象与的边不能再有交点，即在点的左侧，
；
与点关于对称，
时，函数关于直线的“型函数”图象经过点，
当函数关于直线的“型函数”图象与的边只有两个交点时，的取值范围为或．
根据题意作出图象即可；
求得直线与轴的交点坐标即可求解；
分两种情况求解，直线在、，以及“型函数”图象在直线与轴的交点的左侧，据此求解即可．
本题考查一次函数的综合应用；理解并运用新定义“型函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
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