2023-2024学年天津市重点校高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津市重点校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等比数列，且，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.三角形的三个顶点为，，，为中点，则的长为( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆相交，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线：的离心率为，右焦点为，动点在双曲线右支上，点，则最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
9.已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，线段的中点为，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知抛物线：，则抛物线焦点坐标为______ ．
11.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与成角的余弦值是______ ．
12.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则 ______ ．
13.若过点的直线和圆交于，两点，若弦长，则直线的方程为______ ．
14.在数列中，，若数列为等差数列，则 ______ ．
15.过双曲线的右焦点作圆的切线，切点为，直线交抛物线于点，若为坐标原点，则双曲线的离心率为______ ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
如图，在四棱锥，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且．
求证：平面；
求平面与平面所成夹角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
已知椭圆方程，左右焦点分别，，离心率，长轴长为．
求椭圆方程．
若斜率为的直线交椭圆于，两点，与以，为直径的圆交于，两点若，求直线的方程．
18.本小题分
已知数列，，，．
令，求证：数列是等比数列；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
已知点是椭圆：上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，，当，的面积为．
求椭圆的方程；
设过点直线和椭圆交于两点，，是否存在直线，使得与是坐标原点的面积比值为：若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
20.本小题分
设数列是公差不为零的等差数列，满足，数列的前项和为，且满足．
求数列和的通项公式；
求值；
在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，，成等差数列求
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力，属于基础题．
求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．
【解答】
解：直线的斜率为，倾斜角是，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由题意，，解得，．
故选：．
根据空间向量共线的坐标运算求解即可．
本题考查空间向量的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，数列是等比数列，设其公比为，
若，，则，则有，
则．
故选：．
根据题意，设等比数列的比为，由等比数列的通项公式可得的值，变形可得的值，又由，计算可得答案．
本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，，可知的中点的坐标为，即．
结合，得．
故选：．
由线段的中点坐标公式，算出点的坐标，再根据两点之间的距离公式，算出的长．
本题主要考查线段的中点坐标公式、两点之间的距离公式等知识，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：圆，即的圆心，半径，
，即的圆心，半径，
圆心距等于，
由两圆相交，得，
即，解得．
所以的取值范围．
故选：．
由条件分别求两个圆的圆心，半径，圆心距，根据圆与圆相交，列不等式求的取值范围．
本题考查的知识要点：圆与圆的位置关系式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：双曲线：的离心率为，
，解得，
则双曲线方程为，则．
如图，
设双曲线的左焦点为，则，即，
则．
故选：．
由已知求解值，设双曲线的左焦点为，结合双曲线的定义转化求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：由，得，
，
数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，
，
故选：．
由已知，可得，利用等比数列的通项公式即可得出．
变形利用等比数列的通项公式是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，椭圆的方程为，的离心率为：，
双曲线的方程为，的离心率为：，
与的离心率之积为，
，
，，
的渐近线方程为：，即
故选：
求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出，关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查，根据椭圆和双曲线离心率之间的关系建立方程是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，
由抛物线的性质可设：，，，，
因为，
所以由勾股定理可知：，
由梯形中位线的性质可得：，
由基本不等式可得：，当且仅当时取等号，
所以，即，当且仅当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以的最小值为．
故选：．
运用抛物线性质及基本不等式即可求解．
本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：抛物线：，
焦点在轴的负半轴上，
所以焦点坐标为．
故答案为：．
由抛物线的标准方程和性质直接求焦点坐标即可．
本题考查抛物线的标准方程与性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：以点为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，，
根据中点坐标公式，得，，
所以，，
可得直线和直线所成角的余弦值为．
故答案为：．
根据题意建立空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，然后利用空间向量的数量积与夹角公式，算出答案．
本题主要考查利用空间坐标系求异面直线所成角及其应用，考查了计算能力、空间想象能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题．
13.【答案】或
【解析】解：由圆，得，
圆心，半径，
设圆心到直线的距离为，
弦长，，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意，
当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
此时直线的方程为，
综上所述：直的方程为或．
故答案为：或．
求得圆心与半径，进而求得圆心到直线的距离为，分斜率是否存在，求得直线的方程即可．
本题考查直线与圆的方程，考查分类讨论思想，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：数列中，，
若数列为等差数列，
可得为首项为的等比数列，设公比为，，
则，即，
解得负的舍去，
则，即，
，
则．
故答案为：．
由数列为等差数列，可得为首项为的等比数列，解方程可得公比，再由等比数列的通项公式、求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式，以及求和公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：，是的中点．
设抛物线的左焦点为，则为，也是双曲线的焦点．
为的中位线．，．
，
，可得，
设，则，
于是有，，则点到的距离为．
由勾股定理得，即 ，
变形可得，两边同除以，可得，所以，负值已经舍去．
故答案为：．
说明是的中点．设抛物线的左焦点为，说明为的中位线．通过，可得，设，推出，利用双曲线定义结合勾股定理得，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，向量以及圆与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
16.【答案】证明：以为坐标原点，所成直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，，
，，，
，，，，
，平面．
设平面的法向量，由Ⅰ知，
设平面的法向量，
，，
，设，得，
，
二面角的正弦值为；
，平面的法向量，
点到平面的距离．
【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面；
求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，进一步可得平面与平面所成夹角的正弦值；
利用向量法求出点到平面的距离．
本题考查线面垂直的判定与性质、线面角的余弦值、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为椭圆的离心率，长轴长为，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
不妨设直线的方程为，，，
易知以为直径的圆的方程为，
所以圆心到直线的距离，
即，
此时，
联立，消去并整理得，
以为，
解得，
因为，
所以，
由韦达定理得，，
所以，
因为，
所以，
解得，
因为，
所以，
故直线的方程为或．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；
设出直线的方程，利用点到直线的距离求出的取值范围，根据圆的性质求出弦的长，将直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式得到，再列出等式进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：因为，，，
所以，即，
又，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得，
所以，
所以，
，
两式相减得，，
所以．
【解析】根据递推关系，可得，再由等比数列的定义，即可得证；
采用错位相减法，求解即可．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握等比数列的定义与通项公式，利用待定系数法求通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为，
解得，
因为，
所以，
因为，
所以，
则，
所以，
解得，
则，
故椭圆的方程为；
假设满足条件的直线存在，
当直线的斜率不存在时，不符合题意；
所以直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
因为，，
所以，
即，
因为，
所以，
又，
所以，
解得，
则直线的方程为，
故存在直线，使得与是坐标原点的面积比值为：．
【解析】由题意，根据题目所给信息，三角形面积公式以及，，之间的关系，列出等式进行求解即可；
设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到，，结合三角形的面积公式，将问题转化成求解直线的斜率，再列出等式进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设的公差为，，
则，解得，
所以，
由得，得，
，所以，
所以，即，所以；
，
；
依题意得，
，
所以
，
令，
则，
所以，
所以，
所以，
所以．
【解析】利用等差数列的通项公式和数列的递推式即可求解；
利用分组求和和裂项相消求和即可求解；
由题意得到，令，利用错位相减求和即可求解．
本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，属于难题．
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