2023-2024学年内蒙古高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年内蒙古高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线与两坐标轴所围成三角形的面积为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
4.若数列满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的焦点为，，为上一点，且点不在直线上，则“”是“的周长大于”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
6.如图，在三棱柱中，为的中点，设，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.现有一根米长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第天时，共截掉了米，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的离心率为，当时，在数列中，满足为有理数的的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列，，的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
10.已知是空间的一个单位正交基底，则( )
A.
B. 构成空间的一个基底
C.
D. 构成空间的一个基底
11.已知公比为的正项等比数列的前项积为，，则( )
A.
B. 当时，
C.
D. 当，且取得最小值时，只能等于
12.已知椭圆：，直线与交于，两点，若，则实数的取值可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在等比数列中，，则 ______ ．
14.若点到抛物线的准线的距离为，请写出一个的标准方程：______ ．
15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，与的顶点不重合，，分别为，的中点，为坐标原点，且，则的焦距为______ ．
16.在数列中，，则 ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在等差数列中，，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知椭圆：的焦距为，短半轴长为．
求椭圆的方程；
已知直线交椭圆于，两点，且的中点为，求直线的方程．
19.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，．
证明：平面平面．
求平面和平面的夹角的余弦值．
21.本小题分
已知数列的前项和为，，且为定值．
求的通项公式；
求数列的前项和．
22.本小题分
设双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为，一条渐近线方程为．
求双曲线的方程；
已知是直线上一点，直线交双曲线于，两点，其中在第一象限，为坐标原点，过点作直线的平行线，与直线交于点，与轴交于点，证明：点为线段的中点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：令，则；令，则；
所以两坐标轴所围成三角形的面积为．
故选：．
求出直线与坐标轴的交点，即可得求所围成三角形的面积．
本题主要考查直线的截距式方程，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在等差数列中，，
由题意得．
故选：．
利用等差数列前项和公式、通项公式直接求解．
本题考查等差数列前项和公式、通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意及抛物线的几何性质可得：
，，抛物线方程为，
令，得，为，又，
直线的斜率为．
故选：．
根据抛物线的几何性质，斜率公式，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属基础题．
4.【答案】
【解析】解：数列满足，
，
是周期为的数列，
又，
故．
故选：．
根据已知的递推关系式求得数列的前几项，进而得到数列的周期，即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为椭圆：的焦点为，，所以，所以．
又，所以的周长为．
若，则．
若，则．
所以“”是“的周长大于”的必要不充分条件．
故选：．
利用椭圆的性质，结合三角形的周长，推出的范围，即可判断充要条件关系．
本题考查椭圆的简单性质的应用，充要条件的判断，的中档题．
6.【答案】
【解析】解：连接，如下图所示，
因为，，
所以，
所以．
故选：．
先得到，然后将表示出来并代入的表示中，由此可得结果．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，设第天截掉的木头长度为，则是首项为，公比为的等比数列，
则该等比数列的前项和．
由，得，得．
故选：．
根据题意，归纳出截掉的长度和天数成等比数列，根据等比数列求解即可．
本题考查等比数列的定义，涉及等比数列的求和，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由双曲线，
得，，则，
离心率．
，，当时，为有理数．
又，满足条件的的最大值为．
故选：．
由已知结合双曲线的离心率可得，进一步求得满足为有理数的的最大值．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：数列，，的通项公式可能是或，故AC正确；
对于，，不满足题意，故B错误；
对于，，不满足题意，故D错误．
故选：．
结合数列的规律，即可求解．
本题主要考查数列的表示法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为是空间的一个单位正交基底，所以均为单位向量且两两垂直，
所以，A正确；
，C正确；
因为，所以不能构成空间的一个基底，B错误；
假设存在实数，，使得，
则，该方程组无解，所以构成空间的一个基底，D正确．
故选：．
根据单位正交基底的定义判断；利用空间向量基本定理判断；利用向量的运算判断．
本题考查了单位正交基底的定义和空间向量基本定理，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，根据题意得，A正确；
对于，当时，由，得到，可得，故B正确；
对于，因为，所以C正确；
对于，当时，因为，所以，则的最小值为或，故D错误．
故选：．
根据题意，利用等比数列的通项与性质，对各项依次加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查等比数列的通项与性质及其应用，考查了计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：由，得．
因为点，在椭圆上，
所以，
消去得，解得．
因为直线斜率存在为，所以，所以，显然，解得．
故选：．
将点和点代入椭圆方程组成方程组，利用和点、在直线上消去多余未知数，化简得到用表示的关系式，因为表示过定点斜率为的直线，所以直线不与轴重合，因为点在椭圆上，根据椭圆性质得到，从而解得范围选出答案．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：由题意得，
则．
故答案为：．
根据等比数列的性质进行求解即可．
本题主要考查等比数列的性质的应用，比较基础．
14.【答案】本题答案不唯一，，，，任选一个即可
【解析】解：由题意得抛物线的准线可能为直线，，，，
所以的标准方程可能为，，，．
故答案为：答案不唯一，，，，中任选一个即可．
由抛物线的定义即可得抛物线方程．
本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，分别是椭圆的左、右焦点，为上一点，与的顶点不重合，
，分别为，的中点，为坐标原点，且，
得，得，则的焦距为．
故答案为：．
利用已知条件，结合椭圆的定义，求解，然后求解焦距即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意得，
则，
所以．
故答案为：．
利用累乘法求解．
本题主要考查了数列的递推式，属于基础题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，，
解得：，，
．
，
数列的前项和．
【解析】设等差数列的公差为，由，，利用通项公式即可得出结论．
，利用求和公式即可得出数列的前项和．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：因为，，
所以，
故椭圆的方程为；
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则，两式相减得，
整理得，
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即．
【解析】根据椭圆的几何性质直接求解即可；
根据点差法即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
19.【答案】解：由题意，当时，，
当时，由，
可得，
，可得，
即，
当时，也符合，
，．
由题意，可得
，
．
【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可推导出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再利用裂项相消求和可得答案．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
20.【答案】解：证明：因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
过点作，交于点，过点作，与交于点，
在中，，
则，
所以，
以为坐标原点，向量的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
所以，
由知，是平面的一个法向量，
所以，
所以平面和平面的夹角的余弦值为．
【解析】由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得答案．
过点作，交于点，过点作，与交于点，由余弦定理可得，则以为坐标原点，向量的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，由知，是平面的一个法向量，
计算，，即可得出答案．
本题考查直线与平面的位置关系，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，且为定值，
．
，
两式相减得，即，故，
是首项为，公比为的等比数列，
；
由知，
则，
，
两式相减得，
故．
【解析】，且为定值可得，从而，两式相减并整理可得，进一步可得是首项为，公比为的等比数列，最后利用等比数列的通项公式即可求出；
先求出，再利用错位相减求和法即可求出．
本题考查等比数列的概念及错位相减求和法，考查学生逻辑推理与数学运算的能力，属于中档题．
22.【答案】解：因为焦距为，所以因为一条渐近线方程为，所以．
因为，所以，，所以双曲线的方程为．
证明：由知，的横坐标为，
设直线的方程为，则．
联立方程组，得．
设，，则．
因为，所以直线的方程为．
直线的方程为，
联立方程组，得，
由两式相除，得，则，
所以．
因为，所以，故为线段的中点．
【解析】利用焦距求出，再利用渐近线的斜率建立，的方程，结合求解即可；
设直线的方程为，，，与双曲线方程联立，韦达定理，联立与的方程求解，求得，即可证明．
本题考查直线与双曲线的位置关系，考查方程思想，考查运算求解能力，属中档题．
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