中考压轴专题之二次函数与方程综合（含答案）

中考压轴专题之二次函数与方程综合 姓名
1.（08天津市卷26题）
已知抛物线，
（Ⅰ）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；
（Ⅲ）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．
（08天津市卷26题解析）解（Ⅰ）当，时，抛物线为，
方程的两个根为，． ∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 2分
（Ⅱ）当时，抛物线为，且与轴有公共点．
对于方程，判别式≥0，有≤． 3分
①当时，由方程，解得．
此时抛物线为与轴只有一个公共点． 4分
②当时， 时，，时，．
由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，
应有 即解得．
综上，或． 6分
（Ⅲ）对于二次函数，
由已知时，；时，，
又，∴．
于是．而，∴，即．∴． 7分
∵关于的一元二次方程的判别式，
∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 8分
又该抛物线的对称轴，
由，，，
得，
∴．
又由已知时，；时，，观察图象，
可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 10分
2. （08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求△ABC的面积；
（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
（08广东肇庆25题解析）（本小题满分10分）
解：（1）由5=0，（1分）得，．（2分）∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）． （3分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81）， （4分）
分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有
=S - - =-- =5（个单位面积）
（3）如：．事实上， =45a2+36a．
3（）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． （9分）
∴． （10分）
3.(08浙江杭州24) 在直角坐标系xOy中，设点A（0，t），点Q（t，b）。平移二次函数的图象，得到的抛物线F满足两个条件：①顶点为Q；②与x轴相交于B，C两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A，B。
（1）是否存在这样的抛物线F，使得？请你作出判断，并说明理由；
（2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=，求抛物线F对应的二次函数的解析式。
（08浙江杭州24题解析）∵ 平移的图象得到的抛物线的顶点为,
∴ 抛物线对应的解析式为:. --- 2分
∵ 抛物线与x轴有两个交点，∴. --- 1分
令, 得，,
∴ )( )| ,
即, 所以当时, 存在抛物线使得.-- 2分
(2) ∵, ∴ , 得: ,
解得. --- 1分
在中,
1) 当时,由 , 得,
当时, 由, 解得,
此时, 二次函数解析式为; --- 2分
当时, 由, 解得,
此时，二次函数解析式为 + +. --- 2分
2) 当时, 由 , 将代, 可得, ,
（也可由代，代得到）
所以二次函数解析式为 + –或. --- 2分.
4、（08浙江丽水）24．如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标为（2，4），直线与轴相交于点，连结，抛物线从点沿方向平移，与直线交于点，顶点到点时停止移动．
（1）求线段所在直线的函数解析式；
（2）设抛物线顶点的横坐标为,
①用的代数式表示点的坐标；
②当为何值时，线段最短；
（3）当线段最短时，相应的抛物线上是否存在点，使△
的面积与△的面积相等，若存在，请求出点的坐标；若
不存在，请说明理由．
（08浙江丽水24题解析）24．（本题14分）
解：（1）设所在直线的函数解析式为，
∵（2，4），
∴, ,
∴所在直线的函数解析式为.…………………………………（3分）
（2）①∵顶点M的横坐标为，且在线段上移动，
∴（0≤≤2）.∴顶点的坐标为(,).∴抛物线函数解析式为.
∴当时，（0≤≤2）.
∴点的坐标是（2，）.…………………………………（3分）
② ∵==， 又∵0≤≤2，
∴当时，PB最短. ……………………………………………（3分）
（3）当线段最短时，此时抛物线的解析式为.……………（1分）
假设在抛物线上存在点，使.
设点的坐标为（，）.
①当点落在直线的下方时，过作直线//，交轴于点，
∵，，∴，∴，∴点的坐标是（0，）.
∵点的坐标是（2，3），∴直线的函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.
∴=.
解得，即点（2，3）.
∴点与点重合.
∴此时抛物线上不存在点，使△与
△的面积相等.………………………（2分）
②当点落在直线的上方时，作点关于点的对称称点，过作直线//，交轴于点，
∵，∴，∴、的坐标分别是（0，1），（2，5），
∴直线函数解析式为.
∵，∴点落在直线上.∴=.
解得：，.代入，得，.
∴此时抛物线上存在点，
使△与△的面积相等. …………………………………（2分）
综上所述，抛物线上存在点，
使△与△的面积相等.
5、（2008山东烟台）如图，抛物线交轴于A、B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C、D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
答案：
6、 （2008新疆建设兵团）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？
答案：解：（1）设抛物线的表达式为
点在抛物线的图象上．
∴
∴抛物线的表达式为
（2）设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）
已知窗户高1.6m，∴
（舍去）
∴（m）
又设最多可安装n扇窗户
∴
．
答：最多可安装4扇窗户．（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）
7.（08江西南昌）24．如图，抛物线相交于两点．（1）求值；（2）设与轴分别交于两点（点在点的左边），与轴分别交于两点（点在点的左边），观察四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设两点的横坐标分别记为，若在轴上有一动点，且，过作一条垂直于轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？
（08江西南昌24题解析）24．解：（1）点在抛物线
上，
， 2分
解得． 3分
（2）由（1）知，抛物线，． 5分
当时，解得，．
点在点的左边，，． 6分
当时，解得，．
点在点的左边，，． 7分
，，
点与点对称，点与点对称． 8分
（3）．
抛物线开口向下，抛物线开口向上． 9分
根据题意，得
． 11分
，当时，有最大值． 12分
x
C
Q
D
B
O
A
P
x
y
F
N
E
M
B
B
O
A
P
x
y
B
B
O
A
P
x
y
B
O
A
P
M
（第24题）
D
O
A
B
P
M
C
E
PAGE
7