2023-2024学年湖南省常德高一（上）期末数学试卷（PDF版含答案）

常德市2023 年下学期高一年级期末考试试卷 6. 已知 k Z，则“函数 f (x) sin(2x )

为偶函数”是“ 2k ”的
2
数 学 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( 时量：120 分钟 满分：150 分 命题人： 7. 已知 a log6 2，b log 0.2， c 0.60.30.5 ，则 a，b， c的大小关系为
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 A. b2．请将答案正确填写在答题卡上 2x 1 1, x 2 2
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 8. 已知函数 f x 若关于 x的方程 f x a 8 f x a 0有6个不同的
log2 x 2 , x 2
要求的．
实数根，则实数 a的取值范围为
1. 已知集合 A x 3 x 7 ， B x 2 x 10 ，则 A B 4, 15 15 ,0 4,0 4, 7A. B.

C. D.4 4

2,7 2 A. B. 3,7 C. 2,10 D. 3,10
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
2. 命题“ x R,sin x 1”的否定为
部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
A. x R,sin x 1 B. x R,sin x 1 C. x0 R,sin x0 1 D. x0 R,sin x0 1 9.下列命题为真命题的是
3．1837 年，德国数学家狄利克雷（P.G.Dirichlet，1805—1859）认为“如果对于 x的每一个值， y总 A．复数 2 i在复平面内对应的点在第二象限 B．若 i为虚数单位，n 为正整数，则 i4n 3 i
有一个完全确定的值与之对应，那么 y是 x的函数.”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：
C．若复数 z a bi(a,b R)为纯虚数，则 a 0，b 0 D．复数 2 i 的虚部为－1
1, x 0,
1, x为有理数， 10. 若 x， y 0．且 x 2y 1D x ，则 自此，人们对函数的本质有了深刻的理解，设 F x 0, x 0,则 F D ln 2
0, x

为无理数，
1, x 0, 1 2
xy 1 x 2y 2 10 x2 4y2 1A. B. C. D.
A．1 B．0 C．-1 D． ln 2 8 x y 2
4．下列函数中是同一函数的是 11．已知函数 f (x) A sin( x )（ A 0， 0， | | ）的部分图象如图所示，
2
2
A． = ， = B． = 2， = 下列说法正确的是
C． = lg 2， = 2lg D． = lne ， = A． 2
4
5．函数 = 的图象大致为 B．函数 y f x
π
为偶函数
2+1 6
C．函数 y f (x)
5π
的图象关于直线 x 对称
12
π π
D．函数 y f (x)在 , 上的最小值为 3 3 12
A. B. C. D.
1
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12. 设函数 f x 的定义域为 R， f x 1 为奇函数， f x 1 为偶函数，当 x 1,1 时， 19.（本小题满分 12 分）已知角 满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件
分别作答，按第一个解答计分）．
f x x2 1，则下列结论正确的是
3 3
7 3 条件①：角
的终边与单位圆的交点为M x, ；条件②：角 满足 sin ； 5 5
A. f B. f x 7 为奇函数
2 4
条件③：角 满足17sin2 8cos2 1．
C. f x 在 6,8 上为减函数 D. 方程 f x lgx 0仅有 6个实数解
（1）求 tan 的值；（2）求 sin cos sin2 1的值．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2 m 2
13. 若幂函数 f x m 4m 4 x 在 0, 上单调递增，则m ________
x x
14. 若扇形的周长为12cm，面积为8cm2 ，则其圆心角的弧度数是 20.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 2 a 2 .
a 1 x a, x 2 (1)若 f (x)是奇函数，求实数 a的值；
15. 已知函数 f x 1, 是 上的减函数，则实数
a的取值范围是
loga x 1 ,1 x 2
(2)若 f (2) 17 求 f (x)在[ 1,2]上的值域.
16．如图是某斜拉式大桥的部分平面结构模型，其中桥塔 AB，CD与桥面 AC垂直，且 AB 1米，CD 2 4
米， AC 7米. P为 AC上的一点，则当角 BPD达到最大时， PC的长度为 米.
21．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 1 2 3sin xcos x 2sin 2 x, x R ．
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)若把 f x 向右平移 个单位得到函数 g x ，求 g x ,0 在区间 上的值域．
四、解答题：本题共有 6 个小题，共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 6 2
17.（本小题满分 10 分）计算：
1 1
（1） π0 2 1 273； ax 12 1 22.（本小题满分 12 分）已知函数 f x log2 ,a R．x
5 1 log 2
（2） lg 2lg2 3 3 ． （1）已知 a 1，函数 g x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0时， g x f x ，求 g x 的解析式；
2
（2）若函数 h x f x log 22 x 有且只有一个零点，求 a的值；
18.（本小题满分 12 分）已知全集为 R ，集合 A x |1 x 3 ，B x | 2x 3 x 4 0 ．
1
（3）设 a 0，若对任意 t ,1 ，函数 f x 在 t, t 1 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a的 2
（1）求 A B， RA B；
取值范围．
（2）若C x |m 1 x 2 m ，且 A C C，求实数m的取值范围．
2
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2
常德市一中 2023 年下学期高一年级期末考试试卷 Δ a 8 4a 0
1 a 8 3 15
数学参考答案 所以， 2 ，解得 4 a .
g
1 2a 7 0
4
选择题
g 3 4a 15 0
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
故选：A.
答案 B C B D B B C A CD ABD ACD BD
12.【解析】因为 f x 1 为奇函数，所以 f x 1 f x 1 ，所 f x f x 2 .
填空题
因为 f x 1 为偶函数，所以 f x 1 f x 1 ，所以 f x f x 2 .

13. 3 14. 1或 4 15. 0,
2
16. 4. 3 所以有 f x 2 f x 2 ，所以 f x 2 f x 6 ，
7 1．【解析】 log0.5 0.2 log 1 5 log2 2 5 log2 4 2，即b 2， 所以 f x 2 f x 6 ，即有 f x 8 f x ，所以 f x 的一个周期为 8.
0 log61 log6 2 log 6
1
6 ，即0 a
1
， 2
2 2 对于 A项，因为 f x 2 f x 2 ，且 f 1 1 3 1 .
1 0.60 0.3
2 2 4
0.6 0.50.3 0.51 1 1 ，即 c 1，
2 2
3 7 1 3
所以b c a；故选：C 令 x ，有 f
2
f ，故 A错误；
2 2 4
8．【解析】令 t f x ，作出函数 t f x 的图象如下图所示：
对于B项，因为 f x 1 为奇函数，f x 的周期为 8.故 f x 7 f x 1 ，f x 7 f x 1 .
所以 f x 7 f x 1 f x 1 f x 7 ，从而 f x 7 为奇函数，故 B正确；
对于 C项，f x x2 1在区间 1,0 上是增函数，且 f x 的图象关于点 1,0 对称，所以 f x
在 2,0 上单调递增，又 f x 周期为 8，故 f x 在 6,8 上单调递增，故 C项错误；
对于 D项，作出 f x 与 y lgx的大致图象，如图所示.
因为关于 x的方程 f 2 x a 8 f x a 0有6个不同的实数根，
2
则关于 t的方程 t a 8 t a 0在 1,3 内有两个不等的实根，
g t t2设 a 8 t a，则函数 g t t2 a 8 t a在 1,3 内有两个不等的零点，
其中 y lgx单调递减且 lg12 1，所以两函数图象有 6个交点，故方程 f x lgx 0仅有 6个
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实数解，故 D正确. 故选 BD 【详解】（1）由题意 ，
16【. 解析】设 AP x(0 x 7)，求出 APB和 CPD的正切值，根据两角和的正切公式，可得 tan BPD .
， ， ；
利用换元法和基本不等式，即可求出 BPD最大时 AP的值，进而求出 PC .
1 2
【详解】设 AP x(0 x 7)，则 tan APB ， tan CPD ， （2） ， ，
x 7 x
1 2

tan BPD tan( APB CPD) x 7 x x 71 2 2 ， ，令 ， ，1 x 7x 2
x 7 x
1
令 t x 7 (7,14)
令 ， ，
，则 x t 7， tan BPD
t
2 100t 21t 100 t 21 t
1
1
t 100
设 ，
100 ，当且仅当 ，即 t 10时，等号成立，2 t 21 t
t
3
x 3，即 AP 3米， PC 4米时， BPD最大，最大值为 .故答案为：4. ，
4
解答题（本题共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17(本小题满分 l0 分） ，
1
【答案】（1）4 （2）
2 在 上单调递减，
18(本小题满分 l2 分）
，即 ，
【答案】（1） A B x |1 x 4 ， RA B x | 3 x 4 （2） 0,
19(本小题满分 l2 分) 同理可证 在 上单调递增，
【答案】（1） tan
3

4 ，即 ，
3 28 3 4
（2） tan 时，原式 ； tan 时，原式 ；
4 25 4 25
综上， 在 上的值域 .
20(本小题满分 l2 分)
21(本小题满分 l2 分)
【答案】(1) (2)
【答案】(1) ；(2) 2,1 .
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【详解】(1) f (x) 1 2 3 sin x cos x 2sin2 x 2 3 sin x cos x 1 2sin2 x 因为 h x 有且只有一个零点，所以方程 ax2 x 1 0有且只有一根或两相等根，
1

3 sin 2x cos 2x 2 3 sin 2x 1
a x 2
cos 2x 2sin
2x 当 a 0时， x 1，符合题意，当 a 0时，只需 1 4a 0所以 ，此时 ，符合题意 2 2 ， 4 6 1
综上， a 或 a 0．
2 4
所以函数 f x 的最小正周期T 2 .
【小问 3详解】
(2)由题意知： g(x) 2sin
2 x

2sin 2x

， 1 1 1 1
6 6 6

在 0, 上任取 x1, x2 ，且 x1 x2，则 a a , log2 a log2 ax1 x
．
2 x1 x2
7 1 sin 2x 1由 x 0得 2x 0，所以 2x ，所以 ，
2 6 6 6 6 2 所以 f x1 f x2 ，所以 f x 在 0, 上单调递减．
所以 2 g x 1，即 g x 在区间 ,0

上的值域为 2,1 . 2 所以函数 f x 在 t, t 1 上的最大值与最小值分别为 f t ， f t 1 ．
2
22(本小题满分 l2 分) f t f t 1 log 1 a
at a 1 t 1
所以 2 log
1 a 2 log2 1，
t t 1 at2 a 1 t

log
x 1
2 , x 0x at2 a 1 t 1 0 1 1 2 即 ，对任意 t ,1 成立．
【答案】（1） g(x) 0, x 0 ； （2） a 或a 0； （3）4
, ． 2
3


log x
2
, x 0
x 1 因为 a 0，所以函数 y at
2 a 1 t 1 a 1的图象开口向上，对称轴 t 0，
2a
【详解】 所以函数 y at2 a 1 t 1在 0, 上单调递增，
g x f x log x 1【小问 1 详解】由题知，当 x 0 ， 2 ，设 x 0 ．则 x 0 ，所以x t 1 3 a 1 3 1 2所以当 时，y有最小值 ，所以 a 0，解得 a ．
g x log x 1 x 1 x 2 4 2 4 2 3 2 log2 ，因为 g x 是奇函数，所以 g x log2 ，又因为 g 0 0 ,所以 x x x 1 2
x 1 所以 a的取值范围为
, ． log , x 0
3
2
x
．
g(x) 0, x 0 ；

log x
2
, x 0
x 1
【小问 2详解】
令h x log 12 a

log2 x2 0，整理得x ax
2 x 1 0，

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