2024 年 1 月高一期末考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C C B D A
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD ABC ABD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
3
13． ；14．1；15．0；16． ( 2 ，0]．
4
四、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（1）由题意可知 A ={x | 3 x 4}．
当m = 3时， B ={x | 2 x 7}，
所以 A B ={x | 2 x 4}，
A B ={x | 3 x 7}．
（2）因为 x A是 x B的充分不必要条件，
3m 2≥ 4所以 A B ，则 ，解得m≥4．
1 m 3
18．【解析】
A+ B = 3， A =1，
（1）因为 A 0 ，由题意可得 解得
A+ B =1， B = 2.
（2）由（1）得 f (x) = sin(x + ) + 2，所以 g(x) = sin(x ) + 2，
6 6
由 + 2k x + 2k ，得 + 2k x + 2k ，
2 6 2 3 3
所以 g(x)的单调递减区间为[ + 2k ， + 2k (k Z) ．
3 3
- 1 -
{#{QQABLQQAggigQgAAAAgCQw2ICACQkAGACAoGQBAMsAAACANABAA=}#}
19．【解析】
（1）设 f (x) 的定义域为 I ，
因为 f (x) 为偶函数，所以 x I ，都有 f ( x) = f (x) ，
即 log x x2 (2 + a 2 ) = log2 (2
x + a 2 x ) 对 x I 都成立，
2 x等价于 + a 2
x = 2x + a 2 x 对 x I 都成立，
整理得 x I ， (a 1)(2x 2 x ) = 0 都成立，
所以 a 1= 0，解得 a =1．
所以 a的值为1．
（2）由题意 log (2x + 2 x ) + x 1， 2
移项得 log x x2 (2 + 2 ) 1 x ，
所以 log2 (2
x + 2 x ) log 1 x2 2 ，
所以 2x + 2 x 21 x，
整理得 4x +1 2，即 4x 1，
解得 x 0 ，
所以 不等式的解集为：{x | x 0}．
20．【解析】
（1）因为 △OAB为等腰直角三角形，OA = 2 ，M 为线段 AB 的中点，
所以 OM =1， AOM = ，OM ⊥ AB .
4
因为 点 P 在线段 AM 上运动，所以 [0， ]．
4
因为 AOP = ，所以 POM = ， PM =OM tan POM = tan( ) ，
4 4
所以 f ( ) = tan( )， [0， ] .
4 4
（2）因为 POQ = ，所以 QOM = ，QM =OM tan QOM = tan ，
4
所以 PQ = PM +QM = tan( ) + tan ，
4
1 1 1 1 tan
所以 S△OPQ = PQ OM = [tan( ) + tan ] = ( + tan )
2 2 4 2 1+ tan
- 2 -
{#{QQABLQQAggigQgAAAAgCQw2ICACQkAGACAoGQBAMsAAACANABAA=}#}
1 2 1 2 1
= ( + tan 1) = ( +1+ tan 2)≥ (2 2 2) = 2 1 ，
2 1+ tan 2 1+ tan 2
当且仅当 tan = 2 1， = 时，等号成立，
8
所以 △OPQ 面积的最小值为 2 1．
21．【解析】
（1）选择② y = kax + b(k 0，0 a 1，x 0)作为函数模型．
对于模型①，当 x = 0 时，函数无意义，故而排除；
对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；
对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；
故应选择模型②．
95 = k + b， a = 0.9，
将前 2min 的数据带入，得 88 = ka + b， 解得 k = 70，
81.7 = ka2
+ b， b = 25，
所以 所求函数解析式为 y = 70 0.9x + 25 ．
x 3 3
（2）由（1）中模型可得 70 0.9x + 25 = 55，即0.9 = ，所以 x = log0.9 ，
7 7
lg3 lg 7 lg 7 lg3 0.845 0.477 0.368
即 x = = = = 8 ，
lg 0.9 1 2lg3 1 2 0.477 0.046
所以 刚泡好的红茶放置8min 能达到最佳饮用口感．
22．【解析】
a
（1） f (x) 的对称轴 x = ，
2
a a
由题意可知 0或 ≥2 ，
2 2
解得 a 4或 a≥0 ．
（ 22）（i）当 a = 0时， g(x) =| x + b | ，
所以 M (b) =max{g(0)，g(2)} =max{| b |，| 4+b |}，
当b 2时， | b |≥| 4+ b |，M (b) =| b |= b≥2 ，
当且仅当b = 2时，等号成立；
当b 2时， | b | | 4+b | ，M (b) =| 4+b |= 4+ b 2；
所以 M (b) 的最小值为 2．
- 3 -
{#{QQABLQQAggigQgAAAAgCQw2ICACQkAGACAoGQBAMsAAACANABAA=}#}
（ii）下面根据对称轴对 a进行讨论：
a
当 0时， a≥0 ，M (a，b) =max{g(0)，g(2)}=max{| b |，| 4+ 2a +b |}，
2
1 1
①若 | b |≥ ，显然M (a，b)≥ ；
2 2
1 1 1
②若 | b | ，则M (a，b) = | 4 + 2a + b | = 4 + 2a + b 4 + 0 ．
2 2 2
a
当 ≥2 时，a 4，则M (a，b) =max{g(0)，g(2)}=max{| b |，| 4+ 2a +b |}，
2
1 1
①若 | b |≥ ，显然M (a，b)≥ ；
2 2
1 1 1
②若 | b | ，则M (a，b) = | 4 + 2a + b | = 4 2a b 4+ 8 ．
2 2 2
a
当 0 2时， 4 a 0，
2
a2a
则M (a，b) = max{g(0)，g( )，g(2)} = max{| b |，| + b |，| 4 + 2a + b |}．
2 4
1 1
①若 | b |≥ ，显然M (a，b)≥ ；
2 2
2
1 a
②若 | b | ，记 N = max{| + b |，| 4 + 2a + b |}，则M (a，b)≥N ，
2 4
a2 a2 1 1
当 4 a 2 时， ≥1，则 | + b | ，所以M (a，b)≥N ；
4 4 2 2
3 1 1
当 a 0 时， 4+ 2a≥1，则 | 4 + 2a + b | ，所以M (a，b)≥N ；
2 2 2
a23
当 2 a 时，易知 + b 4 + 2a + b 恒成立，
2 4
a2
下面再讨论b 与 a 2的大小关系：
8
a2 a2
当 b a 2 时， | + b |≥ | 4 + 2a + b |，
8 4
a2 a2 a2 1 1
N = | + b | | a 2 | = + a + 2 = (a + 4)2 ；
4 8 8 8 2
a2 a2
当 b a 2 时， | + b | | 4 + 2a + b |，
8 4
a2 a2 1 1
N = | 4 + 2a + b | | + a + 2 | = + a + 2 = (a + 4)2 ，
8 8 8 2
1
综上所述，M (a，b) ．
2
- 4 -
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数学试题
本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟，
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.函数：)-十lm的定义域为
A.[0,1)U(1,+∞)
B.(0,1)U(1,+∞)
C.(-∞，1)U(1,+∞)
D.(0,十∞)
2.sin65°cos35"-cos65°cos55°=
A-司
B、3
2
c
3.命题“Hx∈R,x3-x一1>0”的否定是
A.3x∈R,x2-x-1≤0
B.3x∈R,x2-x-1>0
C.Hx∈R,x2-x10
D.3x∈R,x-x-1<0
4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为
子的扇环，其中扇环的外圆半径为30cm,内圆半径为10cm,某同学
准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料
A.15πcm
B.30πcm
C.300πcm
D.600x cm
x，x0,
5,已知函数f(x)=
则y=一f(x)的图象大致为
x
x0,
卡平牛
高一数学试题第1页（共4页）
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6.已知a=0.87,b-0.7.8,c=log.3π，则
A.abc
B.b>a>c
C.b>c>a
D.ca>b
7.如图所示，线段AB为半圆的直径，O为圆心，C,F为半圆弧上不与A,B重合的点，OF
⊥AB,作CD⊥AB于D,DE⊥OC于E,设AD=a,BD=b,则下列不等式中可以直
接表示CE≤DF的是
A。<
B.Vab
2
c.≤
a2+b2
2
2
D.2ab
a2+6
a+b
1
8.已知函数f(x)=cos2x一√3 sinwzcoswr十
(,>0)在区间0，]有且仅有2个零点，
则“的取值范围是
A学子)
B号当
c品0
n贵器
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是
A.若a>bc>d,则ac>bd
B.若a>b,c>d,则a-d>b-c
C.若ac2
D者a>6则日<古
10.已知函数f(x)=x-上，则
A.f(x)为奇函数
B.f(x)为增函数
C.f(x)的值域为R
D.对Ha∈R,方程f(x)一a=0有两个根
1.如图所示，已知角a,(0别为A,B,M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C,则
A.∠AOB=B-&
B.|OMI=cos月-&
2
C点C的坐标为(as”生，sin告
2
D点M的坐标为(eos生os8,sin士in2)
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