宣城市２０２３—２０２４学年度第一学期期末调研测试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分?在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题
目要求的?
题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
答 案 Ｄ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ
二、多选题（本题共４小题，每小题５分，共２０分?在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求?
全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分?）
题 号 ９ １０ １１ １２
答 案 ＡＢＤ ＡＤ ＢＣＤ ＡＣ
三、填空题
１３?４ １４?槡２ １５?ｘ＋ｙ＋ｚ－３＝０ １６?３＋２槡２
四、解答题
１７?（１）解：因为ａｎ＋２＝２ａｎ＋１－ａｎ，所以ａｎ＋２－ａｎ＋１＝ａｎ＋１－ａｎ
故数列｛ａｎ｝为等差数列，设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， …………………………… ２分
又因为ａ１＝１，ａ２＝３，所以公差ｄ＝２
所以ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝１＋２（ｎ－１）＝２ｎ－１………………………………… ５分
２ ｂ＝ ２ ２ １ １（）记 ｎ ａｎａ
＝
ｎ＋１ （２ｎ－１）（２ｎ＋１
＝
） ２ｎ－１－２ｎ＋１………………………………… ７分
Ｓｎ＝ｂ１＋ｂ２＋ｂ＋
１ １ １ １ １
３ …＋ｂｎ＝(１－３)＋(３－５)＋(５－７)＋…＋(
１
２ｎ－１－
１
２ｎ＋１)
＝１－ １ ＝ ２ｎ２ｎ＋１ ２ｎ＋１………………………………………………………………… １０分
１８?（１）证明：连接 Ａ１Ｃ交 ＡＣ１于 Ｏ，连接 ＯＭ?在三角形
Ａ１ＢＣ中，ＯＭ是三角形 Ａ１ＢＣ的中位线，所以
ＯＭ∥Ａ１Ｂ，又因为 ＯＭ?平面 ＡＭＣ１，所以 Ａ１Ｂ
∥平面ＡＭＣ１?…………………………… ５分
（２）由ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１是直三棱柱，且∠ＡＢＣ＝９０°，故 ＢＡ，
ＢＣ，ＢＢ１两两垂直，如图建立空间直角坐标系?则 Ｂ
（０，０，０），Ｃ（，２，０，０），Ａ（０，２，０），Ｍ（１，０，０），Ｃ１（２，
０，１），Ｂ１（０，０，１），Ａ１（０，２，１） ………………… ６分
设平面ＡＭＣ →１的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）?则有
→ｎ Ｃ→· １Ｍ＝０ ｘ－２ｙ＝０
Ａ→Ａ１＝（０，０，１），Ａ
→Ｍ＝（１ －２０ →， ，），Ｃ１Ｍ＝（－１，０，－１），{ 即→ {ｎ·Ａ→Ｍ＝０ －ｘ－ｚ＝０
令ｘ＝２ →，得 ｎ＝（２，１，－２），………………………………………………………… ９分
宣城市高二数学参考答案第１页（共４页）
{#{QQABJQ4AggAoQAIAAAhCQwUqCgKQkAGAAIoGhAAMoAAAiQFABAA=}#}
Ａ→Ａ１＝（０，０，１），设点Ａ１到平面ＡＭＣ１的距离为ｄ，
Ａ→Ａ →
ｄ＝ １
·ｎ
＝ ０×２＋０×１＋１×（－２）则 ＝２３ ……………………………… １２分｜→ｎ｜ 槡４＋１＋４
１９?解：（１）因为 ＥＦ１ － ＥＦ２ ＝２，且Ｆ１（－２，０），Ｆ２（２，０），
所以点Ｅ的轨迹是双曲线的右支，
又２ｃ＝４，ｃ＝２，２ａ＝２，ａ＝１，ｂ２＝ｃ２－ａ２＝３
２
２ ｙ
所以其轨迹方程为ｘ－３＝１（ｘ≥１）；………………………………………… ４分
（２）由题意可知，直线ｌ的斜率不为０，设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋２
ｘ＝ｍｙ＋２
２ ２
联立方程{ ｙ２２ ｘ （３ｍ －１）ｙ＋１２ｍｙ＋９＝０ｘ－３＝１消去 得
由题意３ｍ２－１≠０
设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）
ｙ＋ｙ＝－１２ｍ ９则 １ ２ ２ ，ｙ１ｙ３ｍ －１ ２
＝
３ｍ２－１
∵Ｍ→Ｆ２＝２Ｆ→２Ｎ ∴（２－ｘ１，－ｙ１）＝２（ｘ２－２，ｙ２）
∴－ｙ１＝２ｙ２
∴ｙ＝ １２ｍ２ ２ 且－２ｙ
２＝ ９
３ｍ －１ ２ ３ｍ２－１
２
∴－２× １４４ｍ ９ 槡３５２ ２＝ ２ ∴ｍ＝±３５∴直线ｌ的方程３５ｘ±槡３５ｙ－７０＝０（３ｍ －１） ３ｍ －１
２０?（１）证明：∵ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ⊥ＢＣ，ＢＣ∩ＢＤ＝Ｂ，∴ＡＣ⊥平面ＢＣＤ，
∵ＡＣ?平面ＡＢＣ，∴平面ＡＢＣ⊥平面ＢＣＤ，
取ＢＣ的中点Ｏ，ＡＢ的中点Ｈ，连接ＯＤ、ＯＨ、ＥＨ，
∵ＢＤ＝ＣＤ，∴ＤＯ⊥ＢＣ，
又ＤＯ?平面ＢＣＤ，平面ＡＢＣ⊥平面ＢＣＤ，平面ＢＣＤ∩平面ＡＢＣ＝ＢＣ，
∴ＤＯ⊥平面ＡＢＣ，
１ １
又ＯＨ∥ＡＣ，ＯＨ＝２ＡＣ，ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝２ＡＣ，所以，ＯＨ∥ＤＥ且ＯＨ＝ＤＥ，
∴四边形ＯＨＥＤ为平行四边形，∴ＥＨ∥ＯＤ，
∵ＤＯ⊥面ＡＢＣ，则ＥＨ⊥平面ＡＢＣ，
又∵ＥＨ?面ＡＢＥ，所以平面ＡＢＣ⊥平面ＡＢＣ?……………………………… ６分
（２）因为ＡＣ⊥ＢＣ，ＯＨ∥ＡＣ，则ＯＨ⊥ＢＣ，
因为ＯＤ⊥平面ＡＢＣ，以点Ｏ为坐标原点，ＯＨ、ＯＢ、ＯＤ所在直线分别为ｘ、ｙ、ｚ轴建立如
下图所示的空间直角坐标系，
则Ａ（２，－１，０）、Ｂ（０，１，０）、Ｃ（０，－１，０）、Ｅ（１，０，槡２）、Ｈ（１，０，０），
Ｈ→Ｅ＝（０，０，槡２），Ａ
→Ｂ＝（－２，２，０），
→ｍ·Ｈ→Ｅ＝槡２ｚ１＝０
设平面ＡＢＥ →的法向量为ｍ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），则{→ｍ Ａ→ ，· Ｂ＝－２ｘ１＋２ｙ１＝０
宣城市高二数学参考答案第２页（共４页）
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取ｘ１＝１
→
，可得ｍ＝（１，１，０），
设在线段ＢＣ上存在点Ｆ（０，ｔ，０）（－１≤ｔ≤１），使
５３
得平面ＡＥＦ与平面ＡＢＥ夹角的余弦值等于 槡９，
设平面ＡＥＦ →的法向量为 ｎ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），Ａ
→Ｆ＝（－
２，ｔ＋１ →，０），ＡＥ＝（－１，１，槡２），
→ｎ·Ａ→Ｆ＝－２ｘ２＋（ｔ＋１）ｙ２＝０
由{ → ，取 ｘ２＝槡２（ｔ＋→ｎ·ＡＥ＝－ｘ２＋ｙ２＋槡２ｚ２＝０
１ →），可得 ｎ＝（槡２（ｔ＋１），２槡２，ｔ－１），
由题意可得，
→ →
ｃｏｓ＜→ｍ → ｍ·ｎ，ｎ＞ ＝ ＝ 槡２（ｔ＋３） ＝５槡３
→ｍ →ｎ ２ ９槡２槡３ｔ＋２ｔ＋１１
３ｔ２－７ｔ＋２＝０ ｔ＝１整理可得 ，解得 ３或ｔ＝２（舍去），
∴Ｆ０１ ２（，３，０），则ＢＦ＝３，∴
ＢＦ＝１ＢＣ ３
ＢＦ １
综上所述：在线段ＢＣ上存在点 Ｆ，满足ＢＣ＝３，使得平面 ＡＥＦ与平面 ＡＢＥ夹角的余
５３
弦值等于 槡９?……………………………………………………………………… １２分
２１? １ ａ＋ ａ＋ ＋ ａ＝ｎ（ｎ＋１）（）解：因为槡 １ 槡 ２ … 槡 ｎ ２
ａ＋ ａ＋ ＋ ｎ ＝（ｎ－１）ｎ所以槡 １ 槡 ２ … 槡 ｎ－１ ２ （ｎ≥２）
２
两式相减有槡ａｎ＝ｎ（ｎ≥２），即ａｎ＝ｎ（ｎ≥２）………………………………… ３分
因为槡ａ１＋
ｎ（ｎ－１）
槡ａ２＋…＋槡ａｎ＝ ２ ，令 ｎ＝１有槡ａ１＝１，所以 ａ１＝１，满足上式
所以ａｎ＝ｎ
２（ｎ∈Ｎ?） …………………………………………………………… ５分
{ｎ，ｎ为奇数，（２）由（１）得ｂｎ＝ ｎ …………………………………………………… ６分ｎ·２，ｎ为偶数，
ｎ ２ ４ ｎ当 为偶数时，Ｓｎ＝ｂ１＋ｂ２＋…＋ｂｎ－１＋ｂｎ＝１＋２×２＋３＋４×２＋…＋（ｎ－１）＋ｎ·２
＝［１＋３＋…（ｎ－１）］＋（２×２２＋４×２４＋…＋ｎ·２ｎ） …………………………… ７分
ｎ
（１＋ｎ－１） ２
令Ａ＝［１＋３＋…＋（ｎ－１）］，则Ａ＝２ ＝ｎ２ ４
令Ｂ＝２×２２＋４×２４＋…＋ｎ·２ｎ，所以４Ｂ＝２×２４＋４×２６＋…＋ｎ·２ｎ＋２，
２ ４ ６ ｎ
两式相减得，－３Ｂ＝２×２＋２×２＋２×２＋…＋２·２－ｎ·２ｎ＋２
＝８－８·２
ｎ
－ｎ·２ｎ＋２－３
Ｂ＝８所以 ９－
８ ｎ
９·２
ｎ＋３·２
ｎ＋２
宣城市高二数学参考答案第３页（共４页）
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２ ２
Ｓ＝ｎ＋８－８ ２ｎ＋ｎ· ·２ｎ＋２＝ｎ＋８＋１２ｎ－８ ｎ所以 ｎ ４ ９ ９ ３ ４ ９ ９ ·２ …………………… ９分
２
当ｎ为奇数时，Ｓｎ ＝Ｓ
（ｎ＋１） ８ １２（ｎ＋１）－８
ｎ＋１－ｂｎ＋１＝ ４ ＋９＋ ９ ·２
ｎ＋１－（ｎ＋１）·２ｎ＋１
（ｎ＋１）２＝ ４ ＋
８
９＋
３ｎ－５
９ ·２
ｎ＋１
………………………………… １１分
ｎ２＋８＋１２ｎ－８·２ｎ４ ９ ９ ，ｎ为偶数
所以Ｓｎ＝{ ２ ………………………………… １２分（ｎ＋１）＋８＋３ｎ－５ ｎ＋１４ ９ ９ ·２ ，ｎ为奇数
２２?（１）解：由椭圆的定义得 ＰＦ１ ＋ ＰＦ２ ＝２ａ，且 ＰＦ２ ＝３ ＰＦ
ａ
１ ，得到 ＰＦ１ ＝２，
ＰＦ２ ＝
３ａ
２，
因为ＰＦ１⊥Ｆ１Ｆ２，所以 ＰＦ
２
１ ＋ ＦＦ
２
１ ２ ＝ ＰＦ
２
２ ，
２
解得ａ＝８，
２
所以ｂ＝ａ２－ｃ２＝４
ｘ２ ｙ２
故所求的椭圆方程为８＋４＝１?……………………………………………… ５分
（２）由题意得Ａ（０，２），Ｂ（０，－２），
直线ＭＮ的方程ｙ＝ｋｘ＋３，设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），
ｙ＝ｋｘ＋３
{ｘ２ ｙ２ ， ｙ， （１＋２ｋ２）ｘ２联立 消去 整理得 ＋１２ｋｘ＋１０＝０８＋４＝１
△＝６４ｋ２－４０＞０，ｘ１＋ｘ２＝－
１２ｋ
，ｘｘ＝ １０ ………………………………… ６分
１＋２ｋ２ １ ２ １＋２ｋ２
ｙ－２ ｙ
ＡＮ ｙ－２＝２ ｘ ＢＭ ｙ＋２＝１
＋２
直线 的方程为 ｘ ，直线 的方程为 ｘ，２ ｘ１
ｙ－２
ｙ－２＝２ ｘ
{ ｘ２联立 ，ｙ＋２ｙ＋２＝１ｘ ｘ１
ｙ－２ （ｙ２－２）ｘ１ （ｋｘ２＋３－２）ｘ１ ｋｘ１ｘ２＋ｘ
得ｙ＋２＝ ＝ ＝
１
………………………………… ８分
（ｙ１＋２）ｘ２ （ｋｘ１＋３＋２）ｘ２ ｋｘ１ｘ２＋５ｘ２
ｋｘ１ｘ２＋ｘ１＋ｘ２－ｘ２ ｋｘ１ｘ２＋（ｘ＝ １
＋ｘ２）－ｘ２
ｋｘ１ｘ２＋５ｘ
＝
２ ｋｘ１ｘ２＋５ｘ２
ｋ １０ ＋ － １２ｋ －ｘ
＝ １＋２ｋ
２ ( １＋２ｋ２) ２＝－１
ｋ １０ ＋５ｘ ５
……………………………………………… １０分
１＋２ｋ２ ２
解得ｙ＝４３，即直线ＢＭ与ＡＭ
４
的交点Ｇ在定直线ｙ＝３上?…………………… １２分
宣城市高二数学参考答案第４页（共４页）
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