广东省广州市部分重点高中2023-2024学年高一上学期期末教学质量检测数学试卷（含解析）

广州市部分重点高中2023-2024学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学科
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第五章第4节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“存在一个五边形，它是轴对称图形”的否定是（ ）
A．存在无数个五边形，它是轴对称图形 B．存在一个五边形，它不是轴对称图形
C．任意一个五边形，它是轴对称图形 D．任意一个五边形，它不是轴对称图形
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知某扇形的面积为12，半径为4，则该扇形圆心角（正角）的弧度数为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上单调递增，则A的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过，则至少要经过（ ）（取）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．是奇函数
C．的图象关于直线轴对称 D．的值域为
10．已知，且，则函数与的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数满足，则的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数（且），下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数
B．的图象与直线一定没有交点
C．若的图象与直线有2个交点，则a的取值范围是
D．若的图象与直线交于A，B两点，则线段AB长度的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。
13．已知函数则_________．
14．已知是角终边上一点，则__________．
15．已知，则的最大值为__________．
16．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知集合．
（1）求；
（2）求．
18．（12分）
已知定义在上的函数为偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断在上的单调性，并根据定义证明．
19．（12分）
已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值及取最小值时x的集合．
20．（12分）
已知函数（且），且．
（1）求的解析式：
（2）若函数在上的最小值为0，求m的值．
21．（12分）
某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
x/元 1 2 3 4
Q/万件 3 2 1.5 1.2
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
22．（12分）
已知函数且．
（1）若，函数，求的定义域；
（2）若，求a的取值范围．
广州市部分重点高中2023-2024学年度第一学期期末教学质量检测
高一数学科参考答案
1．D 存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．A ，则．
3．C 设该扇形的圆心角为，则，解得．
4．B 因为，所以．因为，所以．故“”是“”的必要不充分条件．
5．C 函数的图象与直线没有交点．若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为．
6．C 因为，所以．
7．B 由题意可得解得．
8．A 的物块经过后的温度，的物块经过后的温度．要使得两块物体的温度之差不超过，则，解得．
9．AD 的最小正周期为，A正确．既不是奇函数，也不是偶函数，B错误．的图象不关于直线轴对称，C错误．的值域为，D正确．
10．BD 当时，，B符合．当时，，D符合．
11．BC 若显然不恒成立，A错误．
若，因为，所以，B正确．
若，因为当时，，所以，则，即，所以，C正确．
若，因为函数在上单调递减，函数是增函数，所以在上单调递减，且．
令，则，即，所以在上单调递增，与的单调性矛盾，D错误．
12．ABC ，所以是偶函数，A正确．
当时，在上单调递减，在上单调递增，，此时的图象与直线没有交点．当时，在上单调递增，在上单调递减，，此时的图象与直线没有交点，故的图象与直线一定没有交点，B正确．
令，则，即．若的图象与直线有2个交点，则，解得．又因为且，所以a的取值范围是，C正确．
由，解得，所以，D错误．
13． ．
14． 因为P是角终边上一点，所以，
故．
15．4 因为，所以，可得，即，所以的最大值为4，当且仅当时，等号成立．
16． 当时，．因为在上有且仅有2个零点，所以，，解得．
17．解：（1）． 5分
（2）， 8分
． 10分
18．解：（1）由题意可得， 1分
则， 2分
可得． 4分
（2）由（1）可得在上单调递减． 5分
证明如下：
令，则 6分
即， 11分
故在上单调递减． 12分
19．解：（1）的最小正周期． 4分
（2）． 7分
当取最小值时，，即． 10分
因为，所以或．
故的最小值为，取最小值时x的集合为． 12分
20．解：（1）因为，所以，解得或， 3分
所以． 4分
（2）． 5分
令（当且仅当时，等号成立）， 7分
因为函数在上单调递增，所以． 10分
因为在上的最小值为0，所以，解得．
综上，m的值为6． 12分
21．解：（1）若选择模型，将代入可得，即．
经验证，均不满足，故模型不合适． 2分
若选择模型，因为过点，所以模型不合适． 4分
若选择模型，将代入可得，即．经验证，均满足，故模型最合适，且． 6分
（2）． 7分
要使生产的产品可以获得利润，则． 9分
因为，所以，即．
因为，所以． 11分
故该产品的销售单价应该高于元． 12分
22．解：（1）， 2分
的定义域为． 4分
（2）．
因为且，所以恒成立． 6分
若，则函数是增函数．
因为，所以，即 8分
设要使时，恒成立，
只需或
解得．
故符合题意． 10分
若，则函数是减函数．
因为，所以，即．
结合二次函数的性质可得，当时，不等式不可能恒成立．
故不符合题意． 11分
综上，a的取值范围为 12分