山东省潍坊市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题（含答案）

高一数学
本试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（ ）
A．1 B．0 C． D．
2．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．设，命题“存在，使有实根”的否定是（ ）
A．任意，使无实根 B．任意，使有实根
C．存在，使无实根 D．存在，使有实根
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知关于x的不等式的解集是，则实数a的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B相等
8．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知实数a，b，c满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（ ）
A． B． C． D．
11．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7日，每天新增疑似病例不超过5人”．根据过去连续7天的新增疑似病例数据信息，下列各项中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．众数为1且中位数为4 B．平均数为3且极差小于或等于2
C．标准差为且平均数为2 D．平均数为2且中位数为3
12．已知函数若函数有三个零点，且，则（ ）
A． B．
C．函数的增区间为 D．的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．一组数据18，27，30，33，34，40，42的分位数为__________．
14．已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递诚．请写出一个满足上述条件的函数________．（答案不唯一）
15．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某扁打成后，甲先发球，则甲以获胜的概率为__________．
16．已知实数a，b满足，则_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知集合．
（1）求；
（2）若集合，且“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）
已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在互不相等的实数m，n使，求mn的值．
19．（12分）
甲、乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲、乙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品且甲机床加工的零件不是一等品的概率是．
（1）分别求甲、乙两台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲加工的零件中取两个，从乙加工的零件中取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
20．（12分）
已知函数．
（1）解关于x的不等式；
（2）若关于x的不等式的解集为．
（i）求的值；
（ii）求的最小值．
21．（12分）
某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示：
甲型芯片 乙型芯片
假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求指标在和内各1件的概率；
（3）根据检测结果确定该指标的一个临界值c，且，某科技公司准备用甲、乙两种型号的芯片生产A型手机、B型手机各1万部，有以下两种方案可供选择：
方案一：将甲型芯片应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值c的芯片会导致每部手机损失700元；将乙型芯片应用于B型手机，其中该指标大于临界值c的芯片会导致每部手机损失300元；
方案二：重新检测所用的全部芯片，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；请从科技公司的角度考虑，选择合理的方案，并说明理由，
22．（12分）
已知函数（且）为奇函数，且．
（1）求实数m的值；
（2）若对于函数，用将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．判断函数是否为上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．
高一数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1．C 2．B 3．A 4．D 5．B 6．B 7．C 8．D
二、多项选择题（每小题5分，共20分）
9．ACD 10．AC 11．BCD 12．ABD
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．40 14．（答案不唯一） 15． 16．2
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）由题意得，， 2分
所以． 4分
（2）因为“”是“”的必要不充分条件，
所以， 6分
所以 8分
解得， 9分
所以实数m的取值范围是． 10分
18．解：（1）由题意得，函数的图象恒过定点， 1分
所以， 2分
解得， 4分
所以． 5分
（2）由，得， 6分
所以或，
当时，由单调性知，，不符合题意；
当时，， 10分
所以． 12分
19．解：（1）记事件A：甲机床加工的零件是一等品，事件B：乙机床加工的零件是一等品，且A与B相互独立，由题意得，， 2分
所以 4分
解得． 6分
（2）记事件C：从甲加工的零件中取两个都不是一等品，事件D：抽取的三个零件至少有一个一等品，则
， 9分
所以． 12分
20．解：（1）不等式，整理得， 1分
当时，原不等式可化为，此时不等式的解为或； 3分
当时，原不等式可化为，此时不等式的解为， 5分
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为． 6分
（2）（i）若的解集为，则m，n分别是方程的两根，且，
由韦达定理可知 8分
所以． 9分
（i）由（i）知，，
所以， 10分
当且仅当，即时等号成立， 11分
所以的最小值为9． 12分
21．解：（1）由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值为：
． 3分
（2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为A和B，来自乙型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为和D， 4分
从中任取两件，样本空间可记为，
共包含15个样本点， 5分
记事件E：指标在和各1件，则共包含3个样本点， 6分
所以． 8分
（3）设将甲、乙两种型号芯片应用于A型、B型手机时，该科技公司损失为y（万元），
， 9分
所以当时，；
当时，；
当时，， 11分
综上，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一． 12分
22．解：（1）因为为奇函数，
所以当时，， 2分
化简得，所以． 4分
（2）是上的有界变差函数．证明如下：
因为，
所以为偶函数， 5分
（i）当时，
当时，单调递减，
所以，即在上单调递减，
所以在上单调递增． 6分
对区间任意划分，
因为，
所以．①
对区间任意划分，
因为，
所以
．②
由①②得，
所以存在常数M，使得，
所以M的最小值为． 8分
（ii）当时，
当时，单调递增，
所以，即在上单调递增，
所以在上单调递减， 9分
对区间任意划分，
因为，
所以
．①
对区间任意划分，
因为，
所以
．②
由①②得，
所以存在常数M，使得，
所以M的最小值为22， 11分
综上，当时，M的最小值为；当时，M的最小值为22． 12分