福建省福州第十八中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷（含解析）

福州第十八中学 2023-2024 学年第一学期期末考试
高二年段数学试卷
满分：150 分 时间：120 分钟
一．单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卷中）．
1．已知集合 = { ∈ || 1| < 3}， = { | 2 + 2 3 ≤ 0},则 P Q =（ ）
A．( 2,1] B．[ 3, 4 ) C．{ 1,1} D．{ 1,0,1}
2.如图所示，空间四边形 OABC中， = ， = ， = ，点 M，N分别为 OB，AC上的
O
点，且 = 1 3 ，N为 AC中点，则 等于（ ） M
1 1 1 1
A． + B． + 1 + 1 2 3 2 2 3 2 B C
1 1C． + 1 1D． 1 1 N 2 3 2 2 3 2 A
3．若在复平面上的一个点 A 对应复数为 z ，其中复数 z 满足 z (1+i)(1 2i)=2，则点 A 在复平
面内对应坐标为（ ）
A．( 1,5) B．(5, 1) C．( 1, 1) D．(1, 1)
4．等差数列{an}的前 n项和为 Sn，公差 d = 2，S5 =15，则 a1 =（ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
4 1
5．已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 + = 1 + 5，则 + 的最小值为（ ）
3 5 3
A．9 B． C． D．
2 4 4
6．已知 f ′(x)是函数 f (x)(x∈R)的导数，且 x∈R ， f ′(x) >1， f (3) = 2，则不等式 f (x) > x 1的
解集为（ ）
A． ( ∞, 2) B． (2,+∞) C． ( ∞,3) D． (3,+∞)
x2 y2
7.已知双曲线C : 2 2 =1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为 F1, F2，Oa b
π
为坐标原点，倾斜角为 3 的直线 l 过左焦点 F1且与双曲线的左支交于

x 轴下方的 M点，若 (F1M + F1F2 ) MF2 = 0，则双曲线的离心率为（ ）
A． 3 +1 3 +1 B． 3 C． D． 5
2
1
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
8．已知边长为2√3的正方体 ABCD A1B1C1D1，点Q为 1 1内一个动点，且满足 1 = 2√2，
则点Q的轨迹长度为（ ）
π 3π
A． B． π C． D． 2π
2 2
二、多项选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的给 5 分，部分选对的给 2 分，有选错的给 0 分。
9. 已知直线 l：√3 + + = 0(c≠0)，点 P(1， √3)，则（ ）
A．直线 l 的倾斜角为 120o B．若 P到直线 l 的距离为 1，则 c＝2
C．过 P且与直线 l 平行的直线方程为√3 + = 0
D．过 P且与直线 l 垂直的直线方程为 √3 + 4 = 0
10.已知等差数列{an}的前n项和为 Sn , S3 = 87,an+1 an = 2，则（ ）
A．an = 2n 33 B．{Sn}中的最小值为 S16
C．使 Sn < 0的 n的最大值为 32 D． a1 + a2 + a3 + + a20 = 262
11. 下列给出的命题正确的是（ ）
A.若{ , , }为空间的一组基底，则{ + , + , }也是空间的一组基底
1 2
B. 点 P为平面 ABC上的一点，且 = + (x,y∈R)，则 x-y=
3 3
C.若直线 l 的方向向量为 = (3,1,0)，平面α的法向量 = ( 1,3,1)，则 l//α
D.两个不重合的平面 α,β的法向量分别是 = ( 1,3,1)， = (3,1,0)，则α⊥β
12. 已知函数 f (x) = ax + ex , x∈R，则（ ）
A．当 a > 0时，函数 f (x)在 R上一定单调递增 B．当 a = 3时，函数 f (x)有两个零点
C．当 a < 0
1
时，方程 f (x) = a 一定有解 D．当
a = 0时， f (x) ln x > 2在 (0,+∞)上恒成立
三．填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把正确答案写在题中横线上）．
13.已知 = (3,2,1)， = (1,2,2)，则 在 上的投影向量的坐标为_____________.
14．曲线 y = ex 在点 (0,1)处的切线方程为___________．
15.已知数列{an}
a
满足 a1 =1
n
，a *n+1 = a 1，(n∈N )+ ，则数列{an}的通项公式 an=______________ n
16.已知直线 l: x+y+m=0 和圆 C:x2+y2-4y=0 相交于 M，N 两点，当⊿CMN 的面积最大时，
m＝_____________
2
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
四．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c，√3 cos = √3 sin
（1）求 B；
（2）若 = 2， 面积为 3√3，求 的周长.
18. 已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且 Sn +1= 2an .
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn = nan，求数列{bn}的前 n项和Tn .
19．我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰福建舰下水试航，实现了中国航空母舰建造史上的巨大
技术跨越，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生国防意识，组织
了一次国防知识竞赛活动，其中成绩在[130,150]内的属于优秀．为了解本次竞赛活动的成绩，随机抽取了
100 位学生的成绩（均在[90,150]内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图，求样本的中位数，并
估计本次竞赛学生成绩的优秀率；（结果保留两位
小数）
（2）从样本成绩在[120,130)，[130,140)的两组
学生中，用分层抽样的方法抽取 5 名学生，再从
这 5 名学生中随机选出 2 人，求这 2 人中至少有
一个来自[130,140)组的概率.
3
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20. 如图所示，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=2，点 E是
PB的中点.
(1)证明： AE ⊥ PC ；
(2)求平面 CDE与平面 PDE所成角α（α为锐角）的余弦值.
21．已知双曲线 C 的右焦点为 F2(2，0)，其渐近线方程为 y=±√3 ，
（1）求双曲线 C 的方程
（2）已知斜率为 k 的直线 l 经过点 F2(2，0)与曲线双曲线 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，
若 OA⊥OB,求 k 的值．
22.已知函数 f (x) = (x 2)ex + a (x 1)2 (x 1)2
（1）若 a=1，求函数 f (x)的单调区间；
（2）若函数 f (x)有两个零点，求 a 的取值范围.
4
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福州第十八中学 2023-2024 学年第一学期期末考试
参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卷中）．
1．【答案】D
【分析】首先解绝对值不等式和一元二次不等式，再利用交集概念求答案即可.
【详解】由题意得， = 1,0,1,2,3 ， = 3 ≤ ≤ 1 ，所以 P Q 1,0,1
故选：D.
2.【答案】A
【解析】因为 = 1 ，N为 AC 中点，所以 = = 1 OA + OC 1
3 2 3
= 1 + 1 = 1 1 + 1 ，
2 3 2 3 2
O
故选：A．
3．【答案】B M
【分析】根据题意结合复数的运算可得 = 5 ，结合复数的几何意义分
析求解. B C
【详解】由 z (1+i)(1 2i)=2，则 z= 2 +(1+i)(1 2i)=2+(3 i)=5 i N
所以点 A在复平面内对应坐标为(5, 1). A
故选：B.
4．【答案】A
【分析】由前 n项和公式代入 d 2得 a1 .
5 4
【详解】由题意得 S5 5a1 2 15，则 a1 1 .2
故选：A.
5．【答案】B
【分析】先通过等差数列的性质得到 + = 6，再利用基本不等式中 1 的妙用来求解最值.
【详解】根据等差数列性质可得 + = 6，
1
则 + = 1，
6
∴ 4 + 1 = 1 4 + 1 1 4 + 1 4 + = 4 + + 1 ≥ 2 + 5 9 3= = ，
6 6 6 6 2
当且仅当 4 2 = 2，即 = 2， = 4时，取“ ”号．
故选：B．
6．【答案】D
【详解】 g x f x x 1，因为 f 3 2，所以 g 3 f 3 3 1 0，
对函数 g x 求导，得 g x f x 1，因为 f x 1，所以 g x 0，
1
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
所以函数 g x f x x 1是实数集上的增函数，
因此由 f x x 1 f x x 1 0 g x 0 g 3 x 3，故选：D
7.
【答案】C

【分析】由向量的运算将 F1M F1F2 MF2 0转化为 F1F2 F1M 2c，利用几何性质求得点
M ( 2c, 3c)，代入双曲线方程得a,b,c的等量关系，求解离心率即可.

【详解】因为 F1M F1F2 MF2 F1M F1F2 F1F2 F1M
2 2 2 2
F1F2 F1M F1F2 F1M 0，

所以 F1F2 F1M 2c，则 F1F2M F1MF2，
π
过M 作MH x轴，垂足为H，由题意知 MF1H 3
π π
故 F1F2M ， F1MF2 ，6 6
在 Rt MHF 31中，MH 2c
1
3c ,FH 2c c ，
2 1 2
x2 y2
故M ( 2c, 3c)，又点M 在双曲线C : 2 1 a 0,b 0 上，a b2
4c2 3c2
则 2 2 1a b ，将b
2 c2 a2代入整理得4c4 8a2c2 a4 0，
2
则 4e4 8e2 3 1 1 0，解得 e2 2 3

，且 e 1
3 1
，解得 e ，
2 4 2
3 1
故双曲线的离心率为 .故选：C.
2
8.【答案】B
【分析】由 1 = 2 2，则点Q在以点B1为球心，2 2为半径的球面与平面 A1BC1的交线；结合点到平面
的距离判断球面与平面的相交的小圆的半径与内切圆半径的大小，结合圆的性质即可求解.
【详解】设点 B1到平面 A1BC1的距离为d ，
1 1
由VC A B V ，则 S BC S d，1 1 1B B1 A1C1B 3 A1B1B 1 1 3 A1C1B
1 1
即 × × 2 3 × 2 3 × 2 3 = 1 × 1 × 2 6 × 3 2 ×
3 2 3 2
则 = 2
以点 B1为球心，2 2为半径的球面与平面 A1BC1相交的圆半径为 (2 2)2 22 = 2；
2
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
等边 1 1的内切圆半径为 2 < 2
设 1 1的中心为O,Q轨迹与 A1B、BC1分别交于M ,N两点，如图，弧长MN的三倍即为所求；
π 3π
sin ONC |OK | 2 ，所以 ONC1 ，可得 ONB , MON
3π π π 2π 2

，1 ON 2 4 4 4 3 6

故交线长为 × 2 × 3 = π6
故选：B
二、多项选择题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的给 5 分，部分选对的给 2 分，有选错的给 0 分。
9.【答案】AC
【解析】直线 l 斜率 k= 3，得倾斜角为 120o，故 A 正确；
P | 3 3+c| |c| c 2由点 到直线 l 的距离公式得 d= = = 1，得 ，所以 c 2，故B错误；
3+1 2
设与直线 l 平行的直线方程为 3 + + = 0，
因为平行直线方程经过点 P(1， 3)，所以 n 0，即平行直线方程为 3 + = 0，故C正确；
设与直线 l 垂直的直线方程为 3 + = 0,
因为垂直直线方程经过点 P(1， 3)，所以 m=-4，即垂直直线方程为 3 4 = 0，故 D
错误.故选：AC.
10.【答案】AB
【详解】依题意，等差数列 an 的公差 d 2，由 S3 87，得3a2 87，解得 a2 29，
数列 an 的通项 an 29 (n 2)2 2n 33，A正确；
显然等差数列 an 是递增数列，且 a16 0,a17 0，则 Sn 中的最小值为 S16 ，B正确；
S ( 31 2n 33)n 2n
2 64n
又 n n
2 32n 0，得0 n 32， n的最大值为 31，C错误；
2 2
a a a a S 2S ( 31 7) 20 ( 31 1) 161 2 3 20 20 16 2 272，D错误.故选：AB2 2
11.【答案】BD
【解析】对于 A， = + （ + ），所以 + , + , 共面，所以{ + , + ,
3
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
}不是空间的一组基底，A错误；
1
对于 B，因为 P、A、B、C四点共面，且 = + 1(x,y∈R)，所以 + = 1，
3 3
2
所以 x-y= ，B正确；对于 C， = 0，所以 l//α或 l α，所以 C错误
3
对于 D， = 0， ⊥ ，所以 D正确
12.【答案】ABD
【详解】对于 A，a>0时， f x a ex 0，所以 f (x)在 R上一定单调递增，故选项 A正确
对于 B，当 a 3时， f x 3x ex , f x 3 ex，令 f x 0，得 x ln 3，故 f x 在区间 , ln 3 上
单调递减， ln 3, 上单调递增， f x f ln 3 3ln 3 3 3 ln 3 1 0min ，又 f(0)=1>0，f(2)>0，所
以 f(x)在（0，ln3），(ln3,2)上有两个零点，故选项 B正确；
对于 C，取 a 2 x，则 f x e 2x， f x ex 2，
当 x ln2时， f x 0，当 x ln2时， f (x)> 0，
故 f x 2 1有唯一的极小值点 x ln2，所以 f x f ln 2 2 ln 2 e min ，故选项 C错误.2
对于 D，当 a 0 f x ex时， ，此时 f x lnx ex lnx，令 g x ex ln x g x e x 1， g x 在 (0, )
x
g 1
1
递增， e
1
2 0， g 1 e 0 x，由零点定理，在 ,1 上存在点 x 02 2 0，使
g x0 e 0①，
x0
1
从而 g（x x x）在（0，x0）递减， x0 , 递增，所以 g x e 0 ln x0，由① e 0 ， ln x xmin x 0 0 ，所以0
g x e x 10 lnx x 2 1 min 0 ,1x 0 （因为 x0在 上，所以等号不成立），故选项 D正确.0 2
故选：ABD
三．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分，把正确答案写在题中横线上）．
13. cos < , > = =3×1+2×2+1×2解： 在 上的投影向量为
|
(1,2,2)= (1,2,2)
| | |2 12+22+22
14.【答案】 x y 1 0
【详解】由题意可知： y ex ，切点 0,1 ，所以 k=1，切线方程为 x y 1 0 .故答案为： x y 1 0 .
15.【答案】 1
n
a an 1 an 1 1 1 1 1【详解】 n 1 ，即 ，可得 1 a 1an 1 an 1 an an an 1 a
，又 1 ，
n
1 1 1
即有数列 是首项为 1，公差为 1的等差数列，可得 1 n 1 n，即 an
an an n
4
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
16. 2 2 |2+m|【解法一】圆 C:x +y -4y=0，圆心为(0,2)，半径为 r 2，则圆心到直线 l:x+y+m=0的距离为 d= ，2
S 1 o⊿CMN= ∠ = 2 ∠ ，所以当∠MCN=90 时, ⊿CMN的面积最大2
|2+m|
此时 d=
2 =
2 r = 2，所以|2+m|=2，解得 m=0或 m=-4
2
|2+m|
【解法二】圆 C:x2+y2-4y=0，圆心为(0,2)，半径为 r 2，则圆心到直线 l:x+y+m=0的距离为 d= ，
2
2
则弦长为|MN|=2 2 2 = 2 4 ( +2) ，
2
为 S =1 = 1 × |2+m| × 2 4 ( +2)
2 4
⊿CMN = 2( + 2)2 ( +2)
2 2 2 2 4
t2
令( + 2)2 = ， t 0 1，则 S CMN 2t ( t 4)
2 4，
4 4
则当 t 4时， S 2 CMN 取得最大值，此时( + 2) = 4，解得 m=0或 m=-4.
四．解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1） （2）8+2 7·3
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得
3 + ，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积公式和余弦定理求边长，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知 中， 3 cos = 3 sin ，
故 3 cos = 3 sin ，即 3 cos = 3sin ( + ) sin
即 3 cos = 3( sin + ) sin
∴ 3 sin sin = 0
又∵ ∈ （0，π） ∴ sin ≠ 0 ∴ 3cos sin = 0即 tan = 3又∵ ∈ （0，π），
∴ = 3；
（2） 1由 =
= 1 × 2 × × 3=3 3，得 = 6
2 3 2 2
由 2 = 2 + 2 2 = 22 + 62 2 2 6 1 = 28 ∴ = 2 7
2
∴ 的周长为 + + = 8 + 2 7.
18.【解】（1）当 n 1时，由 S1 1 2a1，得 a1 1；
当 n 2时，因为 Sn 2an 1，所以 Sn 1 2an 1 1，
则 an Sn Sn 1 2an 2an 1 ，可得an 2an 1 .
n 1 n 1
故 an 是以 1为首项，2为公比的等比数列，所以 an 1 2 2 .
2 b n 1 0 1（ ） n n 2 ，则Tn 1 2 2 2 3 2
2 n 2n 1，
5
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
两边都乘以 2，得 2Tn 1 2 2 2
2 3 23 n 2n，
以上两个式子相减，可得：
n
Tn 1 2 2
2 23 24 2n 1) 1 2 n 2n n 2n 2n 1 n 1
1 2
T 2n故 n n 1 1 .
19． (1)中位数为 116.67，22%(2) 7 .
10
【详解】（1）由频率分布直方图可知 2 + 0.020 + 0.030 + 0.018 + 0.012 × 10 = 1
解得 x 0.010，
样本中数学成绩在 90,100 内的频率 P1 0.10，在 100,110 内的频率 2 =0.20，
在 110,120 内的频率为 3 =0.30，
∴ 1 + 2 = 0.10 + 0.20 = 0.30 < 0.5
1 + 2 + 3 = 0.10 + 0.20 + 0.30 = 0.60 > 0.5
∴样本的中位数落在[110，120)内，
设样本的中位数为 110+m，则 0.30 + × 0.030 = 0.5
解得：m ≈ 6.67
∴样本的中位数=110+m= 116.67
由样本估计总体，得本次竞赛成绩的优秀率约为 0.12 0.10 100% 22%；
（2）由频率分布直方图可知，设事件 A为这 2人中至少有一个来自 130,140 组
按分层抽样的方法，抽取 5名学生中成绩在 120,130 内的有 3名，分别记为 a，b，c，
在 130,140 内的有 2名，分别记为 1，2，
则从 5人中抽取 2人的所有抽取情况有 ab，ac，a1，a2，bc，b1，b2，c1，c2，12，共 10种，
其中至少有一个来自 130,140 组的有 a1，a2，b1，b2，c1，c2，12，共 7种，
7
故所求概率 = .
10
所以这 2人中至少有一个来自 130,140 7组的概率为 .
10
20.（1）证明：如图建立空间直角坐标系 A-xyz
则 A（0，0，0），E（1，0，1），D（0，2，0）
P（0，0，2），C（2，2，0）
所以AE = 1，0，1 ，PC = （ 2， 2，2）
所以AE PC=-2+0+2=0
所以AE ⊥ PC
（2）由（1）得DE=（1，-2，1），DP=（0，-2，2），
DC=（2，0，0）
6
{#{QQABTQSAogCoQBBAAAhCQwWoCgGQkBGAAAoGRBAMsAAAiQNABAA=}#}
设n = (x, y, z)为平面 CDE的一个法向量
= 2 = 0
则
= 2 + = 0 z
取 y=1，则 z=2，x=0
所以n = (0,1,2)
设 = ( , , )为平面 PDE的一个法向量
= 2 + 2 = 0
则
= 2 + = 0 y
取 y=1，则 z=1，x=1
所以m = (1,1,1)

0+1+2 15
所以 cosα=|cos< , >|= = =
| | | | 5 3 5 x
15
所以平面 CDE与平面 PDE所成角α的余弦值为
5
2 2
21. 【详解】（1）设双曲线 C 的方程为 2 2 = 1,

则 = 3，c=2，a2+b2=c2

所以 a=1，b= 3
y2
得双曲线 C 的方程为 x2 1．
3
（2）证明：设直线 l 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2)
2
x2 y = 1
联立方程，得 3 消去 y 并整理，得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0，
y = k(x 2)
则3 k 2 0，且Δ=16k4+4(3-k2)(4k2+3)>0,
x +x = 4k
2 4k2+3
所以 1 2
k2
，x1x2=
3 k2 3
2
所以 y1y2= k2(x1-2)(x -2)= k22 [x1x2-2(x1+x2)+4]= 9k
k2 3

因为OA OB ,所以OA OB 0，即 x1x2 y1y2 0 ,
4k2+3 + 9k
2
= 0 3所以 2 2 ，所以
2 = ，所以 =± 15
k 3 k 3 5 5
22.解：（1）a=1时， f x x 2 ex， f x ex x 2 ex ex x 1
令 f x 0，得 x>1；令 f x 0，得 x<1
所以函数 f x 在 ,1 上单调递减；在 1, 上单调递增.
（2） f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)-2（x-1）=(x-1)(ex+2a-2).
①若 a=1,则 f(x)=(x-2)ex,函数 f(x)只有一个零点.
②若 a>1,则当 x∈(-∞,1)时,f'(x)<0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递减;
7
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当 x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
所以函数 f(x)在 x=1处取得极小值也是最小值 f(1)=-e<0.
因为 f(2)=a-1>0,取 b满足 b<0, b< ln a 1且 ,
2
则 f(b)> 1(b-2)+（a-1）(b-1)2= a 1 2- 3（ ） >0,
2 2
所以函数 f(x)存在两个零点.
③若 a<1,令 f'(x)=0,
解得 x=1或 x=ln(2-2a).
e
若 a≥2- ,则 ln(2-2a)≤1,
2
故当 x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
因为当 x≤1时,f(x)<0,
所以 f(x)不存在两个零点.
若 a<2-e,则 ln(2-2a)>1,
2
故当 x∈(1,ln(2-2a))时,f'(x)<0;
当 x∈(ln(2-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此函数 f(x)在区间(1,ln(2-2a))上单调递减,在区间(ln(2-2a),+∞)上单调递增.
又当 x≤1时,f(x)<0,
所以函数 f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(1,+∞).
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