合肥市普通高中六校联盟 2024 届高三第一学期期末考试
数学试卷
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.每小题只有一个正确答案，请把正
确答案涂在答题卡上）
1．已知集合 A {1, 2,3}， B {x | (x 1)(x 2) 0, x Z}，则 A B （ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{ 1，0，1，2，3}
2．若复数 z满足 i z 3 4i，则 z （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．已知向量a
1,m ，b 3, 2 ，且 (a b ) b，则 m=（ ）
A． 8 B． 6 C．6 D．8
4．已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两
相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若将函数 y=2sin2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
12
A． x
k
(k Z ) x k B． (k Z )
2 6 2 6
C． x
k
(k Z ) k D． x (k Z )
2 12 2 12
6．函数 y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
高三年级数学试卷 第 1页，共 4页
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7．若 2x 2 y 3 x 3 y ，则（ ）
A． ln(y x 1) 0 B． ln(y x 1) 0 C． ln | x y | 0 D． ln | x y | 0
8 x x．已知函数 f x 的定义域为R，y f x e 是偶函数，y f x 3e 是奇函数，则 f x
的最小值为（ ）
A． e B． 2 2 C． 2 3 D． 2e
二、多选题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分)
9．已知 a,b,c R，则（ ）
1 1
A．若 a b 0，则 B．若 2 2 ，则 a c b c
a b ac bc
a b
C．若a b 0，则 a ab b D．若 a b 1，则 a 1 b 1
10
．已知函数 f x Asin x A 0, 0,0 的部分图象如图所示，则下列结
2
论中正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为 B． f x f x
12 12
f x C． 在 ,
上单调递增 D． f x
为奇函数
2 6
11．已知直线 l : ax by r2 0与圆C : x2 y 2 r 2 ，点 A(a,b)，则下列说法正确的是（ ）
A.若点 A在圆 C上，则直线 l与圆 C相切 B.若点 A在圆 C内，则直线 l与圆 C相离
C.若点 A在圆 C外，则直线 l与圆 C相离 D.若点 A在直线 l上，则直线 l与圆 C相切
12．已知 an 是等差数列，公差d 不为零，前 n项和是 Sn，若a3，a4， a8成等比数列，则
（ ）
A． a1d 0 B． a1d 0 C． dS4 0 D． dS4 0
高三年级数学试卷 第 2页，共 4页
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三、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
2
13．在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 x2 y
b2
1(b 0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐
近线方程是 .
x2 4, x 2
14．已知 a R，函数 f (x) 若 f f 6 3，则a . x 3 a, x 2,
15．若 sin sin 3 (cos cos ),且 (0, ), (0, ) ，则 ______ .
3
16．已知∠ACB=90°，M为平面 ABC外一点，MC= 3，点 M到∠ACB两边 AC，BC的距
离均为 2，那么 M到平面 ABC的距离为 ．
四、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本小题 10分）在 ABC中，a，b，c分别为角 A,B,C的对边，且满足
(a c)sinC (a b)(sin A sin B) .
(1)求角 B；
(2)若b 2, ABC 的面积为 3，求 ABC的周长.
18.（本小题 12分）已知函数 f (x) x(aex 1)， a R．
(1)若 a 1，求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
(2)若 f (x) x2在[0, )上恒成立，求实数 a的取值范围.
19.（本小题 12分）如图，圆柱的轴截面 ABCD是边长为 6的正方形，下底面圆的一条弦 EF
交CD于点G，其中DG 2,DE DF．
高三年级数学试卷 第 3页，共 4页
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(1)证明：平面 AEF 平面 ABCD ;
(2)判断母线 BC上是否存在点 P，使得直线 PE与平面 AEF 所成的角的正弦值为 4 ．若存在，
5
求CP的长；若不存在，请说明理由．
20.（本小题 12分）已知函数 f x 2sin 2x 2 3sinxcosx 1．
(1)求函数 f x 的最小正周期；
(2)将函数 f x π π 2图象向右平移 个单位长度得到 g x 的图象，若 g ，6 2 12 7
(0, )，求 sin 的值．
2
21. 2（本小题 12分）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 1， 2Sn an an ,n N .
(1)求数列 an 的通项公式；
(n 1)2n
(2)设bn ，求数列 ba a n 的前 n项和Tn .n n 1
22.（本小题 12分）已知函数 f x x aln 1 x ， a R .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)证明：对于任意正整数 n，都有1 1 1 1 1 ln(2 n 1) .
3 5 2n 1 2
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数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B D B B A A B BC ABD ABD BD
13.【答案】 y 2x 14.【答案】2
2
15.【答案】 16.【答案】1
3
17.（本小题 10分）在 ABC中，a，b，c分别为角 A,B,C的对边，且满足
(a c)sinC (a b)(sin A sin B) .
（1）求角 B；
（2）若b 2,△ABC 的面积为 3，求DABC的周长.
解：（1）因为 (a c)sinC (a b)(sin A sin B)，
所以 (a c)c (a b)(a b)，化简得 c2 b2 a2 ac，…………………………2分
2 2
cos B c a b
2 1
所以 ，………………………………………………………3分
2ac 2
因为 B 0, ，
所以 B ；……………………………………………………………………………5分
3
（2） S 1ABC acsin B 3, ac 4………………………………………………………6分△ 2
2
而由余弦定理得b2 a2 c2 2ac cos B，即 a c2 8，……………………………8分
则 (a c)2 2ac 8，
从而有 (a c)2 16，则 a c 4，
故DABC的周长为b a c 6 .……………………………………………………10 分
1
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18.（本小题 12分）已知函数 f (x) x(aex 1)， a R．
(1)若 a 1，求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
(2)若 f (x) x2在[0, )上恒成立，求实数 a的取值范围.
解：（1）根据题意可得，当 a 1时， f (x) (x 1)ex 1， f (0) 0，………………………2分
则 f (0) 2，……………………………………………………………………………………3分
所以曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y 2x .……………………………………5分
（2） x [0, )，由 f (x) x2 a x 1，得 .………………………………………………7分
ex
x 1 '
设g(x)= x ，则 g (x)=
2 x
x ，……………………………………………………………8分e e
易知函数g(x)在 (0, 2)上单调递增，在 (2, )上单调递减. ……………………………10分
故g(x)max g(2)=e
2
，
故b的取值范围是 e 2 , . …………………………………………………………………12分
19.（本小题 12分）如图，圆柱的轴截面 ABCD是边长为 6的正方形，下底面圆的一条弦 EF
交CD于点G，其中DG 2,DE DF．
(1)证明：平面 AEF 平面 ABCD ;
(2)判断母线 BC上是否存在点 P，使得直线 PE与平面 AEF 所成的角的正弦值为 4 ．若存在，
5
求CP的长；若不存在，请说明理由．
解（1）证明：由题意可知，在下底面圆中，CD为直径．
因为DE DF
所以G为弦 EF 的中点，且 EF CD．………………………………………………………2分
因为 EF AD, AD CD D, AD、CD 平面 ABCD．
所以 EF 平面 ABCD．………………………………………………………………………4分
因为 EF 平面 AEF ．
所以平面 AEF 平面 ABCD．………………………………………………………………6分
2
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（2）分别以下底面垂直于DG的直线、DG、DA为 x、y、z轴建立空间直角坐标系如图所示．
因为DG 2，底面圆半径为 3，所以 EG FG 2 2．……………………………………7分
则 A(0,0,6),E(2 2, 2,0),F ( 2 2, 2,0)，设 P(0,6,m)(0 m 6)．
所以 AE (2 2 , 2, 6), AF ( 2 2, 2, 6), EP ( 2 2, 4,m)，…………………………8分
设平面 AEF 的一个法向量为m (x1, y1, z1)．
m AE 0 2 2x1 2 y1 6z1 0 x由 ，得 ，即 1
0
m
AF 0 2 2x1 2 y 6z 0 y1 1 1 3z1
令 z1 1
，则m (0,3,1)．……………………………………………………………………10分
设直线 PE与平面 AEF 所成的角为 ，
则 sin cos m,EP m EP 12 m 4 ，解得m 4
m EP 10 8 16 m2 5
所以存在点 P，使得直线 PE与平面 AEF 所成的角的正弦值为 4 ，CP的长为 4．……12分
5
20. 12 f x 2sin 2（本小题 分）已知函数 x 2 3sinxcosx 1．
(1)求函数 f x 的最小正周期；
π π 2
(2)将函数 f x 图象向右平移 个单位长度得到 g x 的图象，若 g
6
，
2 12 7
π 0, ，求 sin 的值．
2
解：（1）因为 f x 2sin 2x 2 3sinxcosx 1
1 cos 2x 3sin2x 1………………………………………………………………………2分
2 1 cos 2x 3
sin2x2 2
2sin 2x
π
，………………………………………………………………………………4分
6
所以 f x 的最小正周期T 2π π .……………………………………………………………5分
2
（2）将函数 f x 图象向右平移 π个单位长度得到
6
g x 2sin 2 x π π π 2sin
2x 2cos 2x， ………………………………6分
6 6 2
3
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则 g π 2cos 2 π π 2
2 12
2cos ，
2 12 6 7
所以 cos π 1 ，…………………………………………………………………………8分
6 7
因为 π π π 2π π 4 3 0, ，所以
, ，所以 sin
，………………………10分
2 6 6 3 6
7
所以 sin π π π π π π sin sin cos cos6 6 6 6
sin
6 6
4 3 3 1 1 11
. …………………………………………………………………12分
7 2 7 2 14
21.（本小题 12分）已知正项数列 an 的前 n项和为 Sn， a1 1 2S 2， n an an ,n N .
（1）求数列 an 的通项公式；
b (n 1)2
n
（2）设 n ，求数列 bn 的前 n项和Ta a n .n n 1
2 2 2
解：（1）当 n 2时， 2Sn 1 an 1 an 1，则 2an an an an 1 an 1，…………1分
化简可得 (an an 1 1)(an an 1) 0 ，……………………………………………………3分
又 an 0，所以an an 1 1 0，即 an an 1 1,n 2 .…………………………………5分
所以数列 an 是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以 an n .………………………6分
b (n 1)2
n 2n 1 2n
（2）由（1）知， n . ……………………………………………9分n(n 1) n 1 n
所以Tn b1 b2 bn
22 21 23( ) ( 2
2 n 1 n
) ( 2 2 )
2 1 3 2 n 1 n
2n 1
2……………………………………………………………………………11分
n 1
n 1
所以T 2n 2 . …………………………………………………………………………12分n 1
22.（本小题 12分）已知函数 f x x aln 1 x ， a R .
4
{#{QQABTQQEogCgQAIAAQhCQwWYCgKQkBEACIoGAAAMsAAASQNABAA=}#}
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)证明：对于任意正整数 n，都有1 1 1 1 1 ln(2 n 1) .
3 5 2n 1 2
解：（1）由题设知 f x 的定义域为 1, ， f x a x 1 a 1 ……………… 1分
x 1 x 1
①若 a 0，当 x 1, 时， f (x) > 0，所以 f x 在 1, 上单调递增；…………3分
②若 a 0，当 x ( 1,a 1)时， f x 0；
当 x a 1, 时， f (x) > 0，
所以 f x 在 1,a 1 上单调递减，在 a 1, 上单调递增. …………………………5分
综上所述， a 0时， f x 在 1, 上单调递增；
a 0时， f x 在 1,a 1 上单调递减，在 a 1, 上单调递增. ……………………6分
（2）由（1）知当 a 1时， f x 在 1, 0 上单调递减，在 (0, )上单调递增.
所以 f x f (0) 0，即当 x 1, 时， x ln 1 xmin 0 .……………………………8分
2 2
对于任意正整数 n，令 x 2 ，有 ln( 1) ln(2n 1) ln(2n 1)，……10分
2n 1 2n 1 2n 1
所以 2(1 1 1 1 ) ln 3 ln1 ln 5 ln 3 ln(2n 1) ln(2n 1)
3 5 2n 1
即 2(1 1 1 1 ) ln(2n 1)，得证. ………………………………………………12分
3 5 2n 1
5
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