漯河市2023-2024学年上学期期末质量监测
高三数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，
1.已知集合M={L,3,4,5,7,N={x|0
A.{13,4}
B.{13,4,5}
C.3,4,5}
D.1,3,4,5,7}
2.己知m,n,l是不重合的三条直线，Q,B,y是不重合的三个平面，则下列选项正确的是()
A.若mHn,mca,则n∥a
B.若l⊥B,mc,l⊥m,则aHB
C.若a上B,yLB,a∩y=l,则1上B
D.若mca,nca,m∥B,nlB,则a∥F
3.已知am0+4-2m0-7,则s血20=()
A.2
B.+2
p
4-5
4.将函数y=sin
2x-
4
]图象上的点P行向左平移>0)个单位长皮得到点P,
若P位于函数y=cos2x的图象上，则()
A.1=2
，的最小值为
8
B。t三s的最小值为
8
c.ts
之，的最小值为5知
D.f
2的最小值为3红·
5.设正实数x,乃，z满足x2-y+y少2-z=0,则夕的最大值为（)
2
A.4
B.2
C.3
D.1
高三数学第1页（共6页）
6.已知F,F2是椭圆C:
x2y2
+云京=1(a>b>0)的两个焦点，双曲线C:
x2y2
a2
m23m2
=1
的一条渐近线1与C交于A,B两点.若F引=AB,则C的离心率为()
4.②
C.V2-1
D.V3-1
2
2
7.一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者
两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数轴上
实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有()
A.22
B.24
C.26
D.28
8.a=tan,o=tan,c=v3
,则()
A.cB.aC.aD.b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.某同学用搜集到的六组数据(x,y,)i=1,2,…,6绘制了如下散点图，在这六个点中去掉
B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是(
)
y
。A
A.决定系数R2变小
.C
D
B.相关系数r的绝对值变大
B
E F
C.残差平方和变小
D.解释变量x与预报变量y相关性变弱
10.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面
BB,CC内（不含边界）的动点，则()
D
A.DO⊥AC
B
B.存在一点P,使得D,O∥BP
三棱锥A-DDP的体积为
v5
D.若DO⊥PO,则△CDP面积的最小值为
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高三数学参考答案
命题人：张俊良 杨伟强 审题人：陈彩霞 负责人：王雷鸣
（特别提醒：解答题解法不唯一，请阅卷老师根据考生实际作答情况酌情给分.）
一、单选题
1—5 BCDAD 6—8 DBB
二、多选题
9.BC 10.ACD 11.ABC 12.BC
三、填空题
13. 4 3 14. 1012 15. 2 6 16. 2e3, e2 1,2
3 2025 3
6 6 6( 6 1)
（注：15 题写成 3 或 3 同样给分。）
四、填空题
17. : 1解（Ⅰ）由题知，S△CDA CD DA sin
1
CDA 2 2 3sin CDA 6cos CDA ，
2 2
tan CDA 3, 0 CDA , 2 CDA , ……………3分
3
由余弦定理知， AC2 CD2 DA2 2CD DAcos CDA
22 (2 3)2 2 2 1 2 3 16 4 3，
2
AC 2 4 3 ． …………… 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， CDA BAD , BA∥CD．
如图所示，作CF AB,DG AB，垂足分别为F ,G，
则FG CD 2,DG DAsin 3, CF 3．
3
BCD 3 , ABC , BF 3， …………… 7分
4 4
BG BF FG 5 ，
tan ABD DG 3 ． …………… 8分
BG 5
高三数学参考答案 第 1页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
1 3
tan DBC tan ABC ABD 1 53 ． ……………10分1 1 4
5
（注：17题第（2）问不作辅助线也有多种做法.）
18.解：（1）解：∵4Sn 1 3Sn 9，
∴当n 2时，4Sn 3Sn 1 9，两式相减得4an 1 3an，n 2 . ……………1分
∵a
9 27
1 ，4S 3S4 2 1
9，所以4(a1 a2) 3a1 9 ，∴ a2 ，……………2分16
a2 3 a n 1 3∵ ，∴ n N*a 4 a 4 ， ……………3分1 n
9 3
∴数列 an 是以首项 ，公比为 的等比数列． ……………………4分4 4
9 3 n 1 na ∴ n 3
3
n N* ……………………5分
4 4 4
n
（2）∵3bn nan 0，∴b n
3
n ， ……………………6分
4
3 1 2 3T 1 3 3 3
n
∴ n 2
3
4 4
n ，
4 4
3 3 2 3 3 4 n n 1T 1 2 ∴ n 3
3
n 1
3 3
4
n ，
4 4 4 4 4
1 1T 3 3
2 3
3 3
n n 1
3
∴
4 n 4 4 4 4
n 4
3 n 1
3
4 4 3 n 1 3 n n 1
n 3 1
3 n
3
4 1 4 4
4
n n 1 n
∴Tn 12 1
3 4n 3
12 3n 12 3
4 4 4 ， ……………………9分
∵Tn bn 12对任意n N恒成立，
n n
∴12
3 3
3n 12 n
12，
4 4
高三数学参考答案 第 2页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
∴ 3n 12 n， ……………………10分
3 4 n 3 4 ∴ 1 n N* 恒成立， ……………………11分n n
4
∵ 1 1，∴ 3，
n
∴ 的取值范围是[ 3, ). ……………………12分
（注：对于数列{bn}的求和利用裂项相消也是可行的.请阅卷老师根据学生实际作答
情况酌情给分.）
19.解：（1）如图所示：
当点G为 AA1的中点时，FG//平面 A1DE， ……………………1分
证明如下：设H为DE中点，连接 FH , A1H .
因为在三棱柱 ABC - A1B1C1中， BB1 //CC1 //AA1 ，
D,E,F ,G分别为BB1,CC1,BC, AA1的中点， ……………………2分
所以FH //EC //A1G，且 FH=EC=A1G，
所以四边形 A1GFH为平行四边形.
所以FG//A1H ， ……………………4分
又因为 A1H 平面 A1DE， FG 平面 A1DE，
所以FG//平面 A1DE . ……………………5分
（2）如图所示：
高三数学参考答案 第 3页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
取 AB中点O，连接OB1, AB1,OC .
因为 AB AA BB ， ABB 60 1 1 1 ，
所以 ABB1为正三角形，所以B1O AB . ……………………6分
又因为平面 AA1B1B 平面 ABC，平面 AA1B1B 平面 ABC AB，B1O 平面 AA1B1B，
所以 B1O 平面 ABC，
又CO, AO 平面 ABC，
所以B1O CO, B1O AO，
因为 ABC为等边三角形，所以OC AB . ……………7分
以O为原点，分别以OC,OA,OB1所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，
A(0,3,0),B(0, 3,0),C(3 3,0,0), A (0,6,3 3),B 3 3 3
依题意得 1 1(0,0,3 3),D 0, ,2 2 ，……8分
15 3 3
所以DA1 0, , ，DE BC (3 3,3,0) .
2 2
设平面 A1DE的法向量 n (x, y, z)，
n 15 3 3 DA1 0 y z 0
则由 ，得 2 2 ，令 x 1，得n 1, 3,5 . …………9分
n DE 0 3 3x 3y 0
取平面 ABC的法向量m (0,0,1)，
设平面 A1DE与平面 ABC所成二面角的大小为 ，
则 cos cos m, n
m n 5 5 29
m n 1 29 29 . ………………11分
高三数学参考答案 第 4页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
所以 sin 1 cos 2 2 29 ，
29
所以平面 A1DE与平面 ABC
2 29
所成二面角的正弦值为 . -----------------12分
29
20.解：（1）由题意得 | AH | | BH | | HK | | BH | | BK | 4 | AB | 2
所以动点H 的轨迹是以 A,B为焦点，长轴长为 4的椭圆. -------------2分
x2 y2
设其方程为 2 1 a b 0 ，则2a 4，2c 2，所以 a 2， c 1,a b2
2 2
所以b2 2
x y
a c2 3， 所以动点H的轨迹方程为 1 . ------------4分
4 3
（2）设M x1, y1 ，N x2 , y2 ，（ x1 1且 x2 1），
y k x 4
由 x2 y2 ，得 4k 2 3 x2 32k 2x 64k 2 12 0， ----------------------6分
1 4 3
2 1
依题意Δ 32k 2 4 4k 2 3 64k 2 12 0，即0 k 2 ，4
2
x1 x
32k
2
4k 2 3
则 2 ， --------------------------------------------------------------8分
x x 64k 12 1 2 4k 2 3
y y k x1 4 k x2 4 k 2x1x2 5 x1 x2 8
因为 kMF k 1NF 2 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
64k 2 12 32k 2 k 2 2 5
2 8
4k 3 4k 3 0 --------------------------------------------------11分
x1 1 x2 1
所以直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补，即 OAP OAQ．
因为OA PQ，所以 AP AQ ． ---------------------------------12分
21.解:(1)210×0.5+(400-210)×0.6+(450-400)×0.8=259(元). -------------------------2分
(2)设取到第二阶梯电量的户数为 X ,可知第二阶梯电量的用户有 4户,则 X 可取 0,1,2,3,4
C 3 2 1P(X 0) 6 1 ,P(X 1) C6C 4 13 3 ,C10 6 C10 2
1 2 3
P(X 2) C 6C4 3 ,P(X 3) C 13
4
3 , ----------------------5分C10 10 C10 30
高三数学参考答案 第 5页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
故 X 的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
E(X ) 0 1 1 3 1 6 1 2 3 . ----------------------7分
6 2 10 30 5
2
(3)据题意，从全市中抽取的 10 户中用电量为第一阶梯的有Y 户,则Y 服从二项分步 B(10, ) ,
5
----------------------------------8分
2 3
可知 P(Y=k)=Ck k 10 k10( ) ( ) (k=0,1,2,3, 10), ---------------------------------9分5 5
Ck ( 2
k+1 9 k
)k( 3 )10 k10 Ck+1
2 3
10 ,5 5 5 5
k 1 11 k （注：两个不等式写出一个即可.）----------------10分
Ck ( 2 )k( 3 )10 k Ck 1 2 310 10 ,5 5 5 5
17
解得 k 22 ,k N * , k 4.
5 5
∴当 k 4时用电量为第一阶梯的可能性最大. --------------------------------------12分
22.解:(1)由题意知,函数 f (x)的定义域为 (0, ), f (x) ln x ax , ---------------1分
因为函数 f (x)在其定义域内有两个不同的极值点.所以方程 f (x) 0在 (0, )有两个不同根
即方程 ln x ax 0在 (0, )有两个不同根, --------------------2分
令 g(x) ln x ax 1，则 g (x) a ,
x
当 a 0时,由 g (x) 0恒成立,即 g(x)在 (0, )内为增函数,显然不成立.
当 a 0时,由 g (x) 0解得0 x 1 , -----------------------------------4分
a
g(x) 0, 1 1 1 1即 在 内为增函数, , 内为减函数,则 g 0 ,解得0 a .
a a a e
此时，当 x (0,1)时， g(x) ln x ax 0,当 x 时， g(x) ,满足题意.
1
综上可知 a的取值范围为 0, ; --------------------------------------------6分
e
（注：本题亦可用参数分离法求解.）
1 x
(2)证明:由(1)知:当 a 时, ln x 恒成立-----------------------------------------------7分
e e
所以 ln(e 1 ) 1 (e 1 )，ln(e 1 2 )
1 (e 1 1 1 1 )， ln(e
2 e 2 2 e 22 2n
) (e n ), ---------8分e 2
高三数学参考答案 第 6页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}
上面n个式子相加得:
ln e 1 ln e 1 ln e 1 1 e 1 1 e 1 1 1
2 n 2 e
2 2 2 e 2 e 2 e 2n ，
ln (e 1)(e 1 ) (e 1 ) 1 ne 1 1 1 n 1 1 1 1 即 2 n . -----10分 2 2 2 e 2 22 2n e 2 22 2n
1 1 1 n 1
又因为 1 1 ---------------------------11分
2 22 2n 2
ln e 1 e 1 e 1 1所以 2
n n ,
2 2 2 e
e 1 e 1 1 1
n 1 *
所以 2
e
22
e 3 e n e , n N . ------------------12分 2 2
1 1 1
（注：本题还可先变形 ln(e n ) ln[e(1 n )] 1 ln(1 n ),然后利用2 e 2 e 2
ln(1 x) x(x 1且 x 0)放缩证明.）
高三数学参考答案 第 7页（共 7 页）
{#{QQABTQYEggCgQBJAAAhCUwGICACQkAAAAAoGxBAMsAAAyBFABAA=}#}