河南省济源市2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题（PDF版含答案）

{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
2023-2024 学年上期期末质量调研
高二数学参考答案
一、单选题： 1—5 BDCDA 6—8 DCB
二、多选题： 9.AC 10.ABD 11.AB 12.BCD
三、填空题： 13. -15 或 25 14. 直线 15. 100 16. 4 6
四、解答题：
3
17．解：(1)过点 P(2, 2)与直线 2x 3y 10 0垂直的直线 m的斜率为 k ，
2
3
所以直线 m的方程为 y 2 (x 2)，即3x 2y 2 0 .
2
x y 1 0
由 ，解得圆心C(0, 1) . 所以半径 r (0 2)2 ( 1 2)2 13 .
3x 2y 2 0
2 2
故圆 C的标准方程为： x (y 1) 13；
(2)①若斜率存在，设过点Q(2,3)的直线 l斜率为 k，则直线 l方程为： y 3 k(x 2)，
即 kx y 2k 3 0，所以圆心C(0, 1) | 2k 4 |到直线 l的距离 d ，
k 2 1
2
| 2k 4 | 2
又因为 | AB | 6， r 13 所以 3 13
3
，解得 k .
k 2 1 4
此时直线 l的方程为3x 4y 6 0．
②若斜率不存在，直线方程为 x 2，弦心距为 2，半径 r 13 ，
2弦长为 2 13 22 6，符合题意．
综上，直线 l的方程为3x 4y 6 0或 x 2 .
a 2a a
18．(1)证明：由 a1 1， na n 1 n nn 1 2(n 1)an，可得 ．因为bn ，即bn 1 2bn ，b1 1．n 1 n n
所以数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．
(2)由（1）可得：b 2n 1 a，即 n 2n 1n ，所以 an n 2
n 1 .
n
(3)由（2）可知： an n 2
n 1，
则 Sn 1 2
0 2 21 3 22 n 2n 1，可得 2Sn 1 2
1 2 22 3 23 n 2n ，
高二数学参考答案 第 1页（共 4页）
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
n
两式相减可得： S 20 21 22 2n 1 1 2n n 2
n n 2n (1 n)2n 1．
1 2
所以 Sn (n 1) 2
n 1．

19.解: 如图，以 B为原点，{BA,BE,BC}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则
A(1,0,0)，C(0,0,1)， F (1,1,0)， E(0,1,0)，
a a a a
因为CM BN a，所以M ,0,1 2 2
，N , ,0 .
2 2

MN a a

（1） (0, , 1)，平面 CBE的法向量为 BA (1,0,0) .
2 2

因为MN BA (0, a , a 1) (1,0,0) 0 0 0 0，所以MN BA .
2 2
又MN 平面 CBE，所以MN / /平面 CBE.
2 2
2
（2）MN a
2
1 a a2 2a 1，其中0 a 2 .
2 2
2
2 2 MN a 1 2 2 2a 1 为 a 2
，当 a 时，MN最小，最小值 .
2 2 2
1 1 1
（3）由（2）可知，当M ， N 为中点时，MN最短，此时M ,0, ， N ,
1 ,0
2 2 2 2
1 1 1
取MN得中点G，连接 AG， BG，则G , , ，
2 4 4
因为 AM AN ，BM BN，所以 AG MN，BG MN，
所以 AGB或其补角为所求的角.

GA 1 , 1 1

因为 , ，GB
1 1 1
, , ，
2 4 4 2 4 4
1
cos 1所以 AGB 8 13 ,所以平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为 .6 6
3
4 4
2
20.解：(1)由抛物线 y 2px(p 0)过点 A(2, y p0 )，且 | AF | 4，得 2 4， p 4 .2
2
所以抛物线方程为 y 8x .
高二数学参考答案 第 2页（共 4页）
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}
(2)由不过原点的直线 l： y x m与抛物线交于不同两点 P，Q，设 P(x1, y1)，Q(x2 , y2 ) .
y x m 2 2
联立
y2
得 y x (2m 8)x m 0 .
8x
所以 (2m 8)2 4m2 64 32m 0 2，所以m 2，所以 x1 x2 8 2m x1 x2 m .

因为OP OQ，所以OP OQ 0，
则 x1x2 y1y2 x1x2 (x1 m)(x2 m) 2x1x2 m(x1 x2) m
2 0 .
2m2 m(8 2m) m2 0 2，即m 8m 0，解得m 0或m 8 .
又当m 0时，直线与抛物线的交点中有一点与原点 O重合，不符合题意，故舍去.
所以m 8 .
21.解：（1）因为平面 ABCD是菱形，所以 AB CD，
又因为OP 底面 ABCD，所以OP AC，OP BD，
所以 AC，BD，OP两两垂直.
以 O为坐标原点，以 OA，OB，OP所在的直线分别为 x轴、
y轴和 z轴，建立如图空间直角坐标系：
因为 OA=4，OB=3，OP=4，则 A(4,0,0),B(0,3,0),C( 4,0,0),D(0, 3,0),P(0,0,4),
3 3
因为 E，F分别为侧棱 PB，PD的中点，所以 E(0, , 2),F (0, , 2) .
2 2

因为CM 2MP 4 8，所以M ( ,0, ) .
3 3
3
所以 AF ( 4, , 2) , AE ( 4, 3 ,2) , AM ( 16 ,0, 8 ) .
2 2 3 3
2
所以 AM AE 2 AF .由向量共面的充要条件可知， AM , AE , AF共面.
3 3

又 AM , AE , AF过同一点 E，从而 A，E，M，F四点共面.

(2)由点坐标可得 PA (4,0, 4) , DB (0,6,0) , PC ( 4,0, 4) , BP (0, 3,4)
1 4 4 CM 2MP PM PC ( ,0, 4 8又因为 ，所以 )，BM BP PM ( , 3, ) .
3 3 3 3 3

n DB 6y 0
设平面 BDM的法向量 n (x, y, z) ，则
n BM 4 8
，
x 3y z 0 3 3

取 z=1，可得 x=2，y=0，所以n (2,0,1)，设直线 PA与平面 BDM所成角为 ，
高二数学参考答案 第 3页（共 4页）
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}

所以 sin | cos PA,n | | P A n | 4 10 ，
| PA | | n | 4 2 5 10
10
所以直线 PA与平面 BDM所成角的正弦值为 .
10

OP OP n 4 5（3）由空间直角坐标系，可得 (0,0, 4)，可得 cos OP,n ，
|OP | | n | 4 5 5
5 d |OP | 5 4 5所以 OP与平面 BDM所成角的正弦值为 ，则 P到平面 BDM的距离 .
5 5 5
1 e2
2 2 1 2
22. a b 2 2 x 2解：（１）由题意可得 可得 a 9，b 1.所以椭圆的方程： y 1.
1 9ab 3
2 2
t 22
(2)证明：当直线 l的斜率不存在时，设直线 l : x t( 3 t 3, t 0)，代入椭圆方程，可得 y 1 ，
9
2 2 2
1 t 1 t 1 t
k 9 9 9 1 1 1 2 9则 1k2 2 2 ，解得 t ．t t t t 9 9 2
1 t 2 3
则 OMN的面积为 2 1 | t | .
2 9 2
当直线 l的斜率存在时，设点M (x1, y1)， N (x2 , y2 )，直线 l： y kx m
y kx m
2 2 2
联立直线与椭圆的方程： x2 ，整理可得 (1 9k )x 18kmx 9m 9 0，
y2 1 9
18km 9m 2 9
(18km)2 4(1 9k 2)(9m2 9) 36(9k 2 m2 1) 0 ，则 x1 x2 , x1 9k 2 1
x2 9k 2 1
k k y1 y2 (kx1 m) (kx2 m) 9k
2 m2 1
1 9k 2 2所以 1 2 ，所以 2m ，满足 0，x1 x2 x1x2 9m
2 9 9
2 2 2
所以 |MN | 1 k 2 | x x 6 1 k 9k m 1 |m |1 2 | 2 ，又原点 O到直线 l的距离 d ，1 9k 1 k 2
S 1
2 2 2 2 2
所以 OMN |MN | d
1 6 1 k 9k m 1 |m | 3 |m | 2m m 3
，
2 2 1 9k 2 1 k 2 2m2 2
所以 OMN 3 3的面积为定值 . 综上可证， OMN的面积是定值 ．
2 2
高二数学参考答案 第 4页（共 4页）
{#{QQABBQQEggioQABAAQgCQwn6CAOQkAAACIoGhAAEoAAASRNABAA=}#}