第二单元 因数与倍数 人教版数学 五年级下册（含解析）

第二单元 因数与倍数
人教版数学 五年级下册
一、填空题
1．质数有( )个因数，分别是( )和( )。合数至少有( )个因数。
2．在45÷9＝5中，( )和( )是( )的因数，( )是( )和( )的倍数。
3．226至少增加( )就是3的倍数，至少减少( )就是5的倍数。
4．两个质数，它们的和是18，积是65，它们的差是( )。
5．有三个连续奇数，最大的数是a，另外两个数可以表示为( )和( )。
6．一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填( )；一个三位数15□，当口里填( )时，这个数既是2的倍数，又是5的倍数。
7．一个五位数，最高位上的数既是奇数又是合数，百位上的数是最小的合数，个位上的数是最小的质数，其余各位上都是0，这个数是( )。
8．能同时被2、3和5整除的最小三位数是( )，最大三位数是( )，最小两位数是( )，最大两位数是( )。
二、判断题
9．一个自然数（0除外）不是质数就是合数。( )
10．55÷11＝5，55是倍数，5是因数。( )
11．一个数越大，它的因数的个数就越多。( )
12．用7、2、3这三个数字，组成的三位数一定是3的倍数。( )
13．个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数，也一定都是4的倍数。( )
三、选择题
14．15的因数有（ ）个，倍数有（ ）个。
A．3；无数 B．4；无数 C．无数；5 D．无数；无数
15．下面4个五位数中，△代表任意非零自然数，且所有的△都是同一个数，那么一定同时是2、3、5的倍数的是（ ）。
A．△0△0△ B．△△00△ C．△0△△0 D．△△0△△
16．2x＋111（x是自然数）一定是一个（ ）数。
A．奇 B．偶 C．质 D．合
17．下面4种说法中，有（ ）种说法是正确的。
①一个数的最小倍数是它本身。②一个数有无数个倍数。
③一个数的倍数一定大于它的因数。④一个质数只有两个因数。
A．4 B．3 C．2 D．1
18．一个数，既是40的因数，又是5的倍数，符合条件的数有（ ）个。
A．2 B．3 C．4 D．5
四、计算题
19．找出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
6和9 8和25 36和18 12和15
五、解答题
20．两个数都是质数，且它们的和是10，积是21。这两个数是多少？
21．一个长方形的周长是48cm，它的长和宽都是质数，它的最大面积和最小面积各是多少平方厘米？
22．猜电话号码：0592—ABCDEFG。提示：A是5的最小倍数；B是最小的自然数；C是5最大的因数；D既是6的倍数，又是6的因数；E的所有因数是1，2，4，8；F的所有因数是1，3；G只有一个因数。这个电话号码是多少？
23．按要求写数。
（1）能被3整除的最大两位奇数。
（2）能被3整除的最小两位偶数。
（3）个位是0，又是3的倍数的两位数。
（4）能被3，5整除的最大两位数。
参考答案：
1． 2 1 它本身 3
【详解】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；由此解答。
质数有（2）个因数，分别是（1）和（它本身）。合数至少有（3）个因数。
2． 5 9 45 45 5 9
【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。
【详解】在45÷9＝5中，5和9是45的因数，45是5和9的倍数。
【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
3． 2 1
【分析】是3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数；是5的倍数的特征：个位上是0或5的数；据此分析得解。
【详解】226各个数位上的数的和是：2＋2＋6＝10；
因为10至少要增加2是3的倍数，所以226至少要增加2就是3的倍数；
因为个位上是0或5的数是5的倍数，所以226至少减少1成为225，是5的倍数。
【点睛】本题主要考查3和5的倍数特征，注意牢固掌握3和5的倍数特征，灵活运用。
4．8
【分析】把65分解为两个质数相乘的积，求出这两个质数，最后计算两个质数的差，据此解答。
【详解】65＝13×5，当这两个质数为13和5时，13＋5＝18，符合条件，则这两个质数为13和5，13－5＝8。
【点睛】利用分解质因数的方法求出这两个质数是解答题目的关键。
5． a－2 a－4
【分析】根据连续两个奇数之间相差2，进而用含字母的式子表示出另外两个奇数。
【详解】由分析可知：
有三个连续奇数，最大的数是a，另外两个数可以表示为a－2和a－4。
【点睛】解决此题关键是知道奇数的意义，以及连续两个奇数之间相差2。
6． 5 0
【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。
既是2的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
【详解】一个四位数103□，它既是3的倍数，又是5的倍数，□里应填5；一个三位数15□，当口里填0时，这个数既是2的倍数，又是5的倍数。
【点睛】关键是掌握2、3、5的倍数的特征。
7．90402
【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
【详解】一位数中既是奇数又是合数的数是9，最小的合数是4，最小的质数是2，因此这个五位数是90402。
【点睛】关键是理解奇数、偶数、质数、合数的分类标准。
8． 120 990 30 90
【分析】一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最小，只要个位是0，百位是1，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最小三位数是120；
一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最大，只要个位是0，百位是9，十位满足和百位、个位上的数相加是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最大三位数是990；
一个两位数要满足同时被2，3，5整除，只要个位是0，十位是3的倍数即可，最小是30，最大的是90。
【详解】能同时被2、3和5整除的最小三位数是（120），最大三位数是（990），最小两位数是（30），最大两位数是（90）。
【点睛】灵活运用2、3、5的倍数特征是解题的关键。
9．×
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
1既不是质数也不是合数。
【详解】自然数包括1，因为1既不是质数也不是合数，所以原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】掌握质数与合数的意义，明确自然数（0除外）按因数的个数分为质数、合数和1。
10．×
【分析】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。
【详解】55÷11＝5，55是5和11的倍数，5和11是55的因数，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】因数和倍数两个不同的概念是相互依存的，不能单独存在。
11．×
【分析】一个数的因数个数的多少与这个数的大小无关，可以举例说明。
【详解】8的因数：1，2，4，8；共有4个因数。
11的因数：1，11；共有2个因数。
所以，一个数越大，它的因数的个数不一定就越多。
原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查因数的认识，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。
12．√
【分析】各个数位上的数字之和是3的倍数的数是3的倍数，据此判断。
【详解】2＋3＋7＝12，用2、3、7三个数字组成的所有三位数，无论怎样组合，三个数字的和都是3的倍数，所以一定是3的倍数，原题说法正确。
故答案为：√。
【点睛】此题考查了3的倍数特征，需牢记并能灵活运用。
13．×
【分析】2的倍数的特征：个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数；例如10是2的倍数，但不是4的倍数。
【详解】个位上是0，2，4，6，8的数，都是2的倍数，不一定是4的倍数。原题说法错误。
故答案：×。
【点睛】掌握2的倍数的特征，采用举例子的方法即可解答。
14．B
【分析】找一个数的因数，可以一对一对的找，把15写成两个数的乘积，那么每一个乘积中的因数都是15的因数，然后从小到大依次写出即可；
15的倍数，15乘1、2、3……；有无数个。
【详解】15的因数有1，3，5，15（4）个，倍数有（无数）个。
故答案选：B。
【点睛】理解掌握找一个数的因数、倍数的方法是关键。
15．C
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。
5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】A．△0△0△，△在最高位，不能是0，5的倍数个位只能是0或5，△如果是5，就不是2的倍数，排除；
B．△△00△，△在最高位，不能是0， 5的倍数个位只能是0或5，△如果是5，就不是2的倍数，排除；
C．△0△△0，个位是0，一定2和5的倍数，无论△是几，3个△的和都是3的倍数。
D．△△0△△，△在最高位，不能是0，5的倍数个位只能是0或5，△如果是5，就不是2的倍数，排除；
故答案为：C
【点睛】个位上的数字是0的数，既是2的倍数，又是5的倍数。
16．A
【分析】奇数×2＝偶数，偶数×2＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此分析。
【详解】2x是偶数，111是奇数，偶数＋奇数＝奇数，2x＋111（x是自然数）一定是一个奇数。
故答案为：A
【点睛】在整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
17．B
【分析】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；据此解答。
【详解】①如：5的倍数有：5，10，15，20…；最小的倍数是5，是它本身。
一个数的最小倍数是它本身。原题说法正确。
②找一个数的倍数，用这个数乘1、2、3、4……，积都是这个数的倍数，所以一个数有无数个倍数。原题说法正确。
③因为一个数的最大因数、最小倍数都是它本身，所以一个数的倍数大于或等于它的因数；原题说法不正确。
④根据质数的定义，一个质数只有1和它本身两个因数，原题说法正确。
综上所述，说法正确的有3种说法。
故答案为：B
【点睛】掌握因数与倍数、质数的意义是解题的关键。
18．C
【分析】先找出40的因数，然后根据5的倍数特征，从40的因数中找出5的倍数再结合选项即可。
【详解】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40。
5的倍数特征：末尾是0或5的数，
既是40的因数，又是5的倍数，符合条件的数有5，10，20，40，共4个。
故答案为：C。
【点睛】本题考查求一个数的因数及5的倍数特征，明确5的倍数特征是解题的关键。
19．6和9的最大公因数是3，最小公倍数是；8和25的最大公因数是1，最小公倍数是
36和18的最大公因数是18，最小公倍数是36；12和15的最大公因数是3，最小公倍数是
【分析】第2组的两个数是互质的，所以最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积；第3组的两个数成倍数关系，所以最大公因数是其中较小的数最小公倍数是其中较大的数36；第1、4两组可以先分别列举两个数的因数和倍数，再找到最大公因数和最小公倍数，也可以用短除法或分解质因数法。
【详解】
6和9的最大公因数是3，
6和9的最小公倍数是。
8和25的最大公因数是1，
8和25的最小公倍数是。
36和18的最大公因数是18，
36和18的最小公倍数是36。

12和15的最大公因数是3，
12和15的最小公倍数是。
20．3和7
【分析】乘积为21的两个数分别为1和21、3和7，再根据两个数都是质数，且它们的和是10进行解答即可。
【详解】1×21＝21，3×7＝21；
因为两个数都是质数，且它们的和是10，所以这两个数为3和7。
【点睛】本题主要考查了质数的含义。
21．143cm2；95cm2
【分析】由长方形的周长公式可知：周长＝（长＋宽）×2，已知周长可计算出长和宽的和，根据质数的概念，把长和宽的和这个值拆分成两个质数的形式，然后利用长方形的面积公式：面积＝长×宽，找出符合要求的质数，计算出最大的面积和最小的面积。
【详解】长和宽的和是：48÷2＝24（cm）
因为24＝5＋19＝7＋17＝11＋13，
所以最大面积是：13×11＝143（cm2）
最小面积是：19×5＝95（cm2）
答：它的最大面积是143cm2，最小面积是95cm2。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方形的周长和面积公式，通过质数的概念，找出最大的面积和最小的面积。
22．0592－5056831
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身；用来表示物体个数的0，1，2，3，4……都叫自然数，据此分析。
【详解】5的最小倍数是5；最小的自然数是0；5的最大因数是5；既是6的倍数，又是6的因数的数是6；E的最大因数是8，E就是8；F的最大因数是3，F就是3；只有一个因数的是1。
所以这个电话号码是0592－5056831。
【点睛】一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。
23．（1）99；
（2）12；
（3）30，60，90；
（4）90
【分析】（1）该两位数的最高位（十位）最大是9；进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：个位上的数是9；
（2）该两位数的最高位（十位）最小是1，进而根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，得出：个位上的数是2；
（3）这个数的个位上必须是0，且各位上的数字之和是3的倍数，即十位数字是3的倍数即可；
（4）能同时被3和5整除的数个位数一定是5或0，且各个数位上数相加的和能被3整除，由此可知，能同时被3和5整除的最大两位数是90。
【详解】（1）能被3整除的最大两位奇数是99。
（2）能被3整除的最小两位偶数是12。
（3）个位是0，又是3的倍数的两位数有30，60，90。
（4）能被3，5整除的最大两位数是90。
【点睛】考查了找一个数的倍数的方法，解答此题的关键是根据能被2、3、5整除的数的特征，进行分析推断各个数位上的数字。