安徽省合肥市普通高中联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（PDF版含答案）

合肥市普通高中联盟 2023-2024 学年第一学期
期末联考高二年级数学参考答案
第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5 分，满分 40 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C B B D C
一、多项选题（本大题共 4 小题，每小题 5分，满分 20 分．）
题号 9 10 11 12
答案 BD AC AD CD
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，满分 20 分．）
1
13． 2 14 10， ， 14． (4, 4) 15． 3 16．x y+3=03 3
三、解答题（本大题共 6小题，满分 70 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）
17.(本小题满分 10 分)
（1）当 n N 当n =1 时，有 S1 a1 2，
所以当 n 2 2时，有 Sn 1 n 1 n 1，
两式相减，得 an 2n， ......................................................3 分
2
当 n 1时，由 Sn n n a1 2，适合 an 2n， ......................................................4 分
所以 a 2n， n N*n ； .....................................................5 分
（2）因为 an 2n， n N,n 1；
1 1 1 1 1 1 1
所以 a a 2n 2n 2 4 n n 1 4

n n 1 ， .....................................................8 分n n 1
H 1 1 1 1 1 1 n因此 n 4
1
2 2 3 n n 1 4 n 1 . ..................................................10 分
18.(本小题满分 12 分)
1 1
（1）BM BC CM AD CP AD CB BA AP2 2
1 1 1 1 1 1
AD AD AB AP b a c ...............................................6 分
2 2 2 2 2 2
1 1 1 22 1 2 1 2 1 2 1 1 2 BM 1

（ ） b a c

b a c a b c b a c
2 2 2 4 4 4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 3
1 0 2 1 2 1 6 6，所以 BM ，则 BM 的长为 ......12 分4 4 2 2 2 2 2 2 2
19.(本小题满分 12 分)
b 3a
a2 1
解（1）由题意得 4 9 ，解得 2 ......................................................4 分

b 3
a2

b2
1
2
所以双曲线方程为 x2 y 1 .......................................................6 分
3
y kx 3

（2）由 y22 ，得 (3 k
2 )x2 6kx 12 0， ..............................................8 分
x 1 3
3 k 2 0
由题意得 2 2 ，解得 k 2 3 .............................................10 分 Δ 36k 48 3 k 0
当3 k 2 0，即 k 3时，直线 l 与双曲线 C 的渐近线 y 3x平行，直线 l 与双曲线 C
只有一个公共点，
所以 k 2 3或 k 3 . .............................................12 分
20. (本小题满分 12 分)
（1）证明：∵AB∥CD， AB 平面 DCF；CD 平面 DCF，∴AB∥平面 DCF；
∵AE∥DF， AE 平面 DCF；DF 平面 DCF，∴AE∥平面 DCF，...................4 分
∵ AE AB A, AE 平面 ABE, AB 平面 ABE,
∴平面 ABE∥平面 DFC， ...................5 分
∵BE 平面 ABE，∴BE∥平面 DCF． ...................6 分
（2）如图，以 D 为原点，建立空间直角坐标系．
AD DB
∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，则△ADB∽△BCD ，
BC CD
∵CD＝1，BC＝2．∴BD＝ 5，∴AD＝2 5，AB＝5，
2 1
∴F(0，0，1)，D(0，0，0)，A(2 5，0，0)，B(0， 5，0)，C ( , ,0) ，
5 5
2 1 2 1
BF (0, 5,1)，CF ( , ,1) ,DC ( , ,0) ．
5 5 5 5

设平面 DCF 的法向量为 n (x, y, z)，
2 1
x y z 0 n DC 0
5 5
则
n
，∴ ，
CF 0 2 1 x y 0
5 5

令 x＝1，y＝2，z＝0．∴n (1,2,0) ............... ....................10 分

∴ d
| BF n | 2．
| n |
∴B 到平面 DCF 的距离为 2． ............... ....................12 分
21. (本小题满分 12 分)
（1）∵数列 an 满足 a1 1， an 1 3an 1，
a 1∴ n 1 3
1
an ， ............... ....................2 分2 2
a 1 3又 1 ， ............... ....................3 分2 2
1 3
∴ an 是首项为 ，公比为 3 的等比数列. ............... ....................4 分
2 2
a 1 3 3
n
∴ n 3
n 1 ，
2 2 2
3n a a 1∴ n 的通项公式 n . ............... ....................6 分2 2
（2）bn 2n 1 2an 1 2n 1 3n . ............... ...................7 分
∴数列 bn 的前 n项和：
S 2 3 nn 1 3 3 3 5 3 2n 1 3 ，①
3Sn 1 3
2 3 33 5 34 2n 1 3n 1，②
①-② 2S 3 2 32 33 34 3n 2n 1 3n 1，得： n ...................10 分
9 1 3n 1
3 2 2 n 1 3 n 1 2 n 1 · 3n 1 6，
1 3
S n 1 3n 1∴ n 3 . ............... ...................12 分
22.(本小题满分 12 分)
(1) ∵椭圆过点 2 2,0 ∴ a 2 2， .......................................2 分
又 e c 3 , c 6 b2 a2 c2 2 .......................................5 分
a 2
x2 y2
1 .......................................6 分
8 2
(2) 1设直线 l : y x m ，A，B 两点坐标分别为 x1, y1 , x2 , y2 ，
2
2 2
把直线方程代入椭圆方程中整理得 x 2mx 2m 4 0
x1 x
2
2 2m, x1x2 2m 4
4m2 4(2m2 4) 0, m2 4 ...............................8 分
AB 1 1 (x x )2 4x x 5(4 m2 )
4 1 2 1 2
1
2 2 1 m 2mP 点到直线 l 的距离 d .......................................10 分
( 12)
2 ( 1)2 5
1 1 2m m2 4 m2
S 2 2 2 PAB d AB 5(4 m ) m (4 m ) 22 2 5 2
当且仅当 m2 2， 即 m 2 时， PAB 的面积取得最大值 2. ............................12 分