第六章 特殊平行四边形 专题4 特殊平行四边形的性质与判定的综合应用（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章 特殊平行四边形
专题4 特殊平行四边形的性质与判定的综合应用
应用1 菱形与矩形的综合应用
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 交于点O，过点 B作CD的垂线，垂足为点E，延长CD 到点 F,使. 连接AF.
(1)求证:四边形 ABEF 是矩形.
(2)若 求AF 的长.
2.如图, 的对角线 AC,BD交于点O,E 为 OC 的中点,过点O 作 ∥交BE的延长线于点 H，连接CH ,DH.
(1)求证:
(2)当四边形ABCD 是怎样的特殊四边形时，四边形 OCHD 为菱形 请说明理由.
应用2 菱形与正方形的综合应用
3.如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O,点 E,F 在对角线 BD 上,且 .求证：四边形AECF 是正方形.
4.如图，在边长为1 的正方形ABCD中，点E 是边CD的中点,点P 是边 AD 上一点(与点A,D不重合)，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q.
(1)求证:
(2)过点 E 作. 交 PB于点 F,连接AF,当 时.
①求证：四边形 AFEP 是平行四边形.
②请判断四边形 AFEP 是否是菱形，并说明理由.
应用3 矩形与正方形的综合应用
5.如图,在正方形ABCD 和 中，点A，B，E在同一条直线上,P 是线段 DF 的中点,连接PG,PC.
(1)求证:四边形 BEFG 是矩形.
(2)当 时，四边形BEFG是正方形，请说明理由.
6.四边形ABCD 为矩形,E 是 AB 延长线上的一点.
(1)若 如图①,求证:四边形 BECD 为平行四边形.
(2)若 点F 是 AB 上的一点, 于点 G,如图②,求证: 是等腰直角三角形.
应用4 菱形、矩形、正方形的综合应用
7.如图,在 中，点O 是AC边上一个动点，过点O 作直线 ∥设 MN 交. 的平分线于点 E，交 的外角. 的平分线于点 F.
(1)探究 OE 与OF 的数量关系，并加以证明.
(2)连接 BE,当点 O 在边 AC 上运动时,四边形BCFE 能否为菱形 若能，请证明；若不能，请说明理由.
(3)连接AE,AF,当点 O 运动到什么位置时,四边形AECF 是矩形 请说明理由.
(4)在(3)的条件下, 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形 请说明理由.
参考答案
1.(1)【证明】∵四边形ABCD 是菱形,∴∥
EF,∴AB=EF,
∴ 四边形ABEF 是平行四边形.
又∵∴四边形 ABEF 是矩形.
(2)【解】∵ 四边形 ABCD 是菱形,在 中，由勾股定理得
解得
∵四边形ABEF 是矩形,∴
2.(1)【证明】 ∵OH∥BC，∴∠BCE=∠HOE.
∵E是OC 的中点,∴.
在△BCE 和△HOE 中, ∴△BCE≌△HOE(ASA).
(2)【解】当四边形 ABCD 是矩形时,四边形OCHD为菱形.理由如下:
由(1)可知△BCE≌△HOE,∴ BE=HE.
又∵ CE=OE,∴四边形 BCHO 是平行四边形,∴ CH=OB,CH∥OB.
∵ 四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,AC=BD,∴CH=OD,OC=OD,
∴四边形OCHD 是平行四边形.
又∵OC=OD, ∴□OCHD 是菱形.
3.【证明】∵ 四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB = OD.
∵ BE = DF,∴ OE = OF,∴四边形AECF 是菱形.
∵OE=OA,∴ OE=OF=OA=OC,即EF=AC,∴ 菱形 AECF 是正方形.
4.(1)【证明】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴∠D=∠BCD=90°,∴∠ECQ=90°=∠D.
∵E是边CD的中点,∴DE =CE.
又∵∠DEP=∠CEQ,∴△PDE≌△QCE.
(2)①【证明】如图,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴ PE = QE =
∥∠2=∠Q.
∵PB=PQ,∴∠PBC=∠Q∴∠1=
∵∵ 四边形ABCD是正方形，
∥PF,AD∥EF,∴∠3=∠4,∠1=∠4,∴∠1=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.
又∵PF=FP,∴△APF≌△EFP,∴ AP=EF,
又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.
②【解】四边形AFEP 不是菱形.理由如下:设PD=x,则AP=1-x.
由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ=PD =x,∴BQ=BC +CQ=1 +x,
由①易得 EF是△PBQ的中位线,
由①可知AP=EF,即 解得
在Rt△PDE中, 则 PE=
∴ 四边形AFEP 不是菱形.
5.(1)【证明】∵在正方形ABCD中,∠ABC=90°, ∴∠EBG=90°,∴ BEFG是矩形.
(2)【解】90 理由:延长GP交 DC 于点 H,
∵在正方形ABCD和□BEFG中,AB∥DC,BE∥GF,∴ DC∥GF,∴ ∠HDP=∠GFP,∠DHP =∠FGP. ∵P 是线段 DF 的中点, ∴DP= FP,∴ △DHP≌△FGP(AAS),∴ DH = GF,HP = GP.
当∠CPG=90°时,∠CPH=90°=∠CPG.
∵CP=CP,∴△CPH≌△CPG(SAS),∴ CH= CG.
∵在正方形ABCD中,DC=BC,∴DH=BG,∴ BG=GF,由(1)知四边形BEFG是矩形,
∴ 四边形 BEFG是正方形.
6.【证明】(1)∵四边形ABCD为矩形,∴ AB∥CD, AB=CD,CB⊥AE.
又∵AC=EC,∴AB=BE.∴BE=CD.
又∵BE∥CD,∴四边形BECD为平行四边形.
(2)∵AB=AD,∴矩形ABCD 是正方形.∴∠GAB=∠DAG=45°.
∵EG⊥AC,∴∠E=∠GAE=45°.∴EG=AG.
又∵AF=BE,∴AB=EF.∴EF=AD.
在△EGF和△AGD中, ∴ △EGF≌△AGD(SAS).
∴ GF =GD,∠DGA =∠FGE.∴∠DGF=∠DGA +∠AGF=∠FGE+∠AGF=∠AGE=90°.
∴△DGF 是等腰直角三角形.
7.【解】(1)OE =OF. 证明:∵ MN∥BC,∴ ∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF.
又∵CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,∴ ∠OCE =∠BCE,∠OCF = ∠DCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴OE=OC,OF =OC,∴OE=OF.
(2)四边形BCFE 不能为菱形.理由:连接BF,交EC于点G.
∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=
若四边形BCFE 为菱形,则BF⊥EC,∴∠CGF=90°.
在 中，不可能存在两个角为∴四边形BCFE 不能为菱形.
(3)当点O 运动到AC的中点时,四边形 AECF 是矩形. 理由：
当点 O 运动到AC 的中点时，
又∴四边形 AECF 是平行四边形.
由(1)知即 ∴ 四边形 AECF 是矩形.
(4) 当点 O 运 动到 AC 的中 点,且 满足为直角时，四边形AECF 是正方形. 理由：
由(3)知，当点 O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形.
已知. ∥当 时,∠AOE＝∠ACB＝90°，
∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)