第六章 特殊平行四边形 章末复习（含答案）
文档属性
| 名称 | 第六章 特殊平行四边形 章末复习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 16:19:29 | ||
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文档简介
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第六章 特殊平行四边形
章末复习
考点1 一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
1.如图,在菱形 ABCD 中,AC,BD 为菱形的对角线， 点 F为BC 的中点,则EF的长为__________.
(第1 题) (第 2题)
考点2 三个图形的性质与判定
性质与判定1 菱形的性质与判定
2.如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O，下列结论中错误的是( )
A. AB=AD
3.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点 O，
是直角三角形吗 请说明理由.
(2)求证:四边形 ABCD 是菱形.
4.如图,在 中, 对角线 AC,BD 相交于点O,点 E,F 在BD 上,且
(1)求证:
(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF 是菱形，并给予证明.
性质与判定2 矩形的性质与判定
5.如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B 与点 D 重合,点A 落在点 P 处,折痕为 EF.
(1)求证:
(2)若 求BC 的长.
6.如图,在中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作交CE的延长线于点F.
(1)求证: .
(2)连接 BF,若 求证:四边形 ADBF 是矩形.
性质与判定3 正方形的性质与判定
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. E,F 分别为 AC,BD 上一点,且 OF,连接 AF,BE,EF.若 则 的度数为( )
8.如图,正方形ABCD 的对角线相交于点 O，的平分线分别交 BD，BC 于点E,F,作 于点H,分别交 AC, CD 于点G,P,连接 GE,GF.
(1)求证:
(2)判断四边形 BFGE 是什么特殊四边形 并证明你的结论.
考点3 三个技巧
技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
9.如图,在矩形ABCD 中, 点E, F 分别在 AB,CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD 外部的点处，求阴影部分的周长.
技巧2 解中点四边形的技巧
10.如图,在中,点O在的内部，,D,E,F,G分别是 AB,OB,OC,AC的中点.
(1)求证:四边形 DEFG 是矩形.
(2)若 求 的面积.
技巧3 解与四边形有关的动点问题的技巧
11.如图,在菱形 ABCD 中,AB =4,∠BAD = 120°,△AEF 为等边三角形，点E，F 分别在菱形的边 BC，CD上运动,且点E,F不与点B,C,D重合.
(1)证明:不论点E,F 在边BC,CD上如何运动,总有 BE =CF.
(2)当点 E,F 在边 BC,CD上运动时,四边形AECF 的面积是否发生变化 如果不变，求出四边形 AECF 的面积；如果变化，请说明理由.
考点4 两种思想
思想1 方程思想
12.如图,在 中,E,F 分别是AB,BC上一点，且 连接AF,DE 交于点 G,且
(1)求证:四边形 ABCD 是矩形.
(2)当 时,求DF的长.
思想2 数形结合思想
13.阅读材料：在平面直角坐标系中，以任意两点 为端点的线段的中点坐标为
运用：(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形ONEF 的对角线相交于点 M,ON,OF 分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4,3),则点 M的坐标为_.
(2)在平面直角坐标系中,有 A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点 D 与点 A,B,C 为顶点构成平行四边形，求点 D的坐标.
参考答案
1.5 2. C
3.(1)【解】△AOB 是直角三角形. 理由:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ △AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.
(2)【证明】∵∠AOB =90°,∴AC⊥BD.
∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是菱形.
(1)【证明】∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADF=∠CBE.
在△ADF 和△CBE中，
(2)【解】补充的条件是 AC⊥BD.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC,OB=OD.
∵ BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF 是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴ 四边形AECF 是菱形.(答案不唯一)
5.(1)【证明】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°,AB=CD.
由折叠得AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B =∠PDF =90°,∴ PD= CD,∠P=∠C,∠PDF =∠ADC,
∴∠PDF-∠EDF =∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF.
在△PDE 和△CDF 中, ∴ △PDE≌△CDF(ASA).
(2)【解】过点E作EG⊥BC于点G,则∠EGF =90°,易得 EG=CD=4 cm,DE = CG.
在Rt△EGF中,由勾股定理得
设CF=xcm,则 CG = CF + FG =(x+3) cm.
由(1)知△PDE≌△CDF,∴ DE = DF. ∴ DF = CG =(x+3) cm.
在Rt△CDF中,由勾股定理得
由折叠知BF =DF,∴ BC=
6.【证明】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
∵ E 为AD的中点,∴ AE= DE,∴ △AEF≌
△DEC(AAS),∴ AF = DC.
又∵ D 为 BC 的中点,∴BD=CD,∴ FA=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴ 四边形ADBF 是平行四边形.
∵ AB = AC,D为 BC 的中点,∴AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°,∴四边形ADBF 是矩形.
7. C 【点拨】∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠AOD=90°,OA=OB,∠OBC=45°.
又∵OE=OF,∴△OEF为等腰直角三角形,∴∠OEF=∠OFE=45°.
∵∠AFE=25°,∴∠FAO=∠OEF-∠AFE=20°.
在△AOF和△BOE中, ∴△AOF≌△BOE(SAS).∴∠FAO=∠EBO=20°,
∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.
8.(1)【证明】∵ 四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°.
∵BH⊥AF,∴∠AHG=90°,
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH,∴∠GAH=∠OBG,即∠OAE=∠OBG.
在△OAE与△OBG中 ∴△OAE≌△OBG(ASA).
(2)【解】四边形 BFGE 为菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴∠BAO=45°.
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF=22.5°.
在△AHG与△AHB 中
∴△AHG≌△AHB(ASA),∴GH=BH.
∵BH⊥AF,∴AF是线段 BG的垂直平分线,∴ EG =EB,FG=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°,∠BFE=90°-∠BAF =67.5°,∴ ∠BEF =∠BFE,
∴ EB=FB,∴ EG=EB =FB =FG,∴四边形BFGE 是菱形.
9.【解】∵在矩形ABCD 中,AB =10,BC =5,∴ CD=AB =10,AD=BC =5.
根据轴对称的性质可得 设线段 D F 与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为 AD +CB = AB + F + FC + AD + CB = AB + CD +
AD+CB =10+10+5+5=30.
10.(1)【证明】如图,连接AO 并延长交 BC 于点 H.
∵ AB = AC,OB =OC,∴直线 AH 是 BC 的垂直平分线,即AH⊥BC.
∵ D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点,
∴DG∥EF∥BC,DE∥AH∥GF.∴四边形DEFG是平行四边形.
∵ EF∥BC,AH⊥BC,∴AH⊥EF.
又∵DE∥AH,∴EF⊥DE.∴∠DEF =90°.∴四边形DEFG 是矩形.
(2)【解】∵D,E,F分别是 AB,OB,OC 的中点,∴ AO=2DE=4,BC =2EF =6.
由(1)知BH = CH.
11.(1)【证明】如图,连接AC,
∵四边形 ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴AB=BC, 120°.
∴△ABC 是等边三角形,∴ AB=AC,∠B=∠ACB=60°,∴∠2=∠BCD-∠ACB=60°=∠B.
∵△AEF 为等边三角形,∴∠EAF=60°,即∠3 +∠EAC=60°.
又∵∠1+∠EAC=60°,∴ ∠1 =∠3.
在△ABE和△ACF中 ∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE=CF.
(2)【解】四边形 AECF 的面积不变. 理由如下:
由(1)得△ABE≌△ACF,则
故 是定值.
如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点H,则
12.(1)【证明】在△ADE 和△FDE中, ∴△ADE≌△FDE(SSS),
∴∠AED=∠FED,∴ED⊥AF,∴∠AGD=90°.
∵∠BAF=∠ADE,∴∠BAD=∠BAF+∠DAF=∠ADE+∠DAF=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形.
(2)【解】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴BC=DA,∠C=90°.
∵DA=DF,∴BC=DF.
∵BF=4,
解得 DF =20,
∴DF的长是20.
13.【解】
(2)设点 D 的坐标为(x,y).若以点A,B,C,D 为顶点构成的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①当AB 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,
∴ 点 D 的坐标为(1,-1).
②当 BC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4),
点 D 的坐标为(5,3).
③当AC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),
y=5.∴ 点 D的坐标为( -3,5).
综上,点 D 的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).
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第六章 特殊平行四边形
章末复习
考点1 一个性质——直角三角形斜边上中线的性质
1.如图,在菱形 ABCD 中,AC,BD 为菱形的对角线， 点 F为BC 的中点,则EF的长为__________.
(第1 题) (第 2题)
考点2 三个图形的性质与判定
性质与判定1 菱形的性质与判定
2.如图,在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O，下列结论中错误的是( )
A. AB=AD
3.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形，其对角线相交于点 O，
是直角三角形吗 请说明理由.
(2)求证:四边形 ABCD 是菱形.
4.如图,在 中, 对角线 AC,BD 相交于点O,点 E,F 在BD 上,且
(1)求证:
(2)不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF 是菱形，并给予证明.
性质与判定2 矩形的性质与判定
5.如图,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B 与点 D 重合,点A 落在点 P 处,折痕为 EF.
(1)求证:
(2)若 求BC 的长.
6.如图,在中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作交CE的延长线于点F.
(1)求证: .
(2)连接 BF,若 求证:四边形 ADBF 是矩形.
性质与判定3 正方形的性质与判定
7.如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O. E,F 分别为 AC,BD 上一点,且 OF,连接 AF,BE,EF.若 则 的度数为( )
8.如图,正方形ABCD 的对角线相交于点 O，的平分线分别交 BD，BC 于点E,F,作 于点H,分别交 AC, CD 于点G,P,连接 GE,GF.
(1)求证:
(2)判断四边形 BFGE 是什么特殊四边形 并证明你的结论.
考点3 三个技巧
技巧1 解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
9.如图,在矩形ABCD 中, 点E, F 分别在 AB,CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD 外部的点处，求阴影部分的周长.
技巧2 解中点四边形的技巧
10.如图,在中,点O在的内部，,D,E,F,G分别是 AB,OB,OC,AC的中点.
(1)求证:四边形 DEFG 是矩形.
(2)若 求 的面积.
技巧3 解与四边形有关的动点问题的技巧
11.如图,在菱形 ABCD 中,AB =4,∠BAD = 120°,△AEF 为等边三角形，点E，F 分别在菱形的边 BC，CD上运动,且点E,F不与点B,C,D重合.
(1)证明:不论点E,F 在边BC,CD上如何运动,总有 BE =CF.
(2)当点 E,F 在边 BC,CD上运动时,四边形AECF 的面积是否发生变化 如果不变，求出四边形 AECF 的面积；如果变化，请说明理由.
考点4 两种思想
思想1 方程思想
12.如图,在 中,E,F 分别是AB,BC上一点，且 连接AF,DE 交于点 G,且
(1)求证:四边形 ABCD 是矩形.
(2)当 时,求DF的长.
思想2 数形结合思想
13.阅读材料：在平面直角坐标系中，以任意两点 为端点的线段的中点坐标为
运用：(1)如图，在平面直角坐标系中，矩形ONEF 的对角线相交于点 M,ON,OF 分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E 的坐标为(4,3),则点 M的坐标为_.
(2)在平面直角坐标系中,有 A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点 D 与点 A,B,C 为顶点构成平行四边形，求点 D的坐标.
参考答案
1.5 2. C
3.(1)【解】△AOB 是直角三角形. 理由:
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ △AOB是直角三角形,且∠AOB=90°.
(2)【证明】∵∠AOB =90°,∴AC⊥BD.
∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是菱形.
(1)【证明】∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADF=∠CBE.
在△ADF 和△CBE中，
(2)【解】补充的条件是 AC⊥BD.证明:∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴OA =OC,OB=OD.
∵ BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF 是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴ 四边形AECF 是菱形.(答案不唯一)
5.(1)【证明】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴∠A=∠ADC=∠B=∠C=90°,AB=CD.
由折叠得AB=PD,∠A=∠P=90°,∠B =∠PDF =90°,∴ PD= CD,∠P=∠C,∠PDF =∠ADC,
∴∠PDF-∠EDF =∠ADC-∠EDF,即∠PDE=∠CDF.
在△PDE 和△CDF 中, ∴ △PDE≌△CDF(ASA).
(2)【解】过点E作EG⊥BC于点G,则∠EGF =90°,易得 EG=CD=4 cm,DE = CG.
在Rt△EGF中,由勾股定理得
设CF=xcm,则 CG = CF + FG =(x+3) cm.
由(1)知△PDE≌△CDF,∴ DE = DF. ∴ DF = CG =(x+3) cm.
在Rt△CDF中,由勾股定理得
由折叠知BF =DF,∴ BC=
6.【证明】(1)∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
∵ E 为AD的中点,∴ AE= DE,∴ △AEF≌
△DEC(AAS),∴ AF = DC.
又∵ D 为 BC 的中点,∴BD=CD,∴ FA=BD.
(2)∵AF=BD,AF∥BD,∴ 四边形ADBF 是平行四边形.
∵ AB = AC,D为 BC 的中点,∴AD⊥BC,∴ ∠ADB=90°,∴四边形ADBF 是矩形.
7. C 【点拨】∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOB=∠AOD=90°,OA=OB,∠OBC=45°.
又∵OE=OF,∴△OEF为等腰直角三角形,∴∠OEF=∠OFE=45°.
∵∠AFE=25°,∴∠FAO=∠OEF-∠AFE=20°.
在△AOF和△BOE中, ∴△AOF≌△BOE(SAS).∴∠FAO=∠EBO=20°,
∴∠CBE=∠EBO+∠OBC=65°.
8.(1)【证明】∵ 四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°.
∵BH⊥AF,∴∠AHG=90°,
∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH,∴∠GAH=∠OBG,即∠OAE=∠OBG.
在△OAE与△OBG中 ∴△OAE≌△OBG(ASA).
(2)【解】四边形 BFGE 为菱形.
证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴∠BAO=45°.
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF=22.5°.
在△AHG与△AHB 中
∴△AHG≌△AHB(ASA),∴GH=BH.
∵BH⊥AF,∴AF是线段 BG的垂直平分线,∴ EG =EB,FG=FB.
∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°,∠BFE=90°-∠BAF =67.5°,∴ ∠BEF =∠BFE,
∴ EB=FB,∴ EG=EB =FB =FG,∴四边形BFGE 是菱形.
9.【解】∵在矩形ABCD 中,AB =10,BC =5,∴ CD=AB =10,AD=BC =5.
根据轴对称的性质可得 设线段 D F 与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为 AD +CB = AB + F + FC + AD + CB = AB + CD +
AD+CB =10+10+5+5=30.
10.(1)【证明】如图,连接AO 并延长交 BC 于点 H.
∵ AB = AC,OB =OC,∴直线 AH 是 BC 的垂直平分线,即AH⊥BC.
∵ D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点,
∴DG∥EF∥BC,DE∥AH∥GF.∴四边形DEFG是平行四边形.
∵ EF∥BC,AH⊥BC,∴AH⊥EF.
又∵DE∥AH,∴EF⊥DE.∴∠DEF =90°.∴四边形DEFG 是矩形.
(2)【解】∵D,E,F分别是 AB,OB,OC 的中点,∴ AO=2DE=4,BC =2EF =6.
由(1)知BH = CH.
11.(1)【证明】如图,连接AC,
∵四边形 ABCD是菱形,∠BAD=120°,
∴AB=BC, 120°.
∴△ABC 是等边三角形,∴ AB=AC,∠B=∠ACB=60°,∴∠2=∠BCD-∠ACB=60°=∠B.
∵△AEF 为等边三角形,∴∠EAF=60°,即∠3 +∠EAC=60°.
又∵∠1+∠EAC=60°,∴ ∠1 =∠3.
在△ABE和△ACF中 ∴△ABE≌△ACF(ASA).∴BE=CF.
(2)【解】四边形 AECF 的面积不变. 理由如下:
由(1)得△ABE≌△ACF,则
故 是定值.
如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点H,则
12.(1)【证明】在△ADE 和△FDE中, ∴△ADE≌△FDE(SSS),
∴∠AED=∠FED,∴ED⊥AF,∴∠AGD=90°.
∵∠BAF=∠ADE,∴∠BAD=∠BAF+∠DAF=∠ADE+∠DAF=90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是矩形.
(2)【解】∵ 四边形ABCD 是矩形,∴BC=DA,∠C=90°.
∵DA=DF,∴BC=DF.
∵BF=4,
解得 DF =20,
∴DF的长是20.
13.【解】
(2)设点 D 的坐标为(x,y).若以点A,B,C,D 为顶点构成的四边形是平行四边形，分以下三种情况：
①当AB 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,
∴ 点 D 的坐标为(1,-1).
②当 BC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),C(1,4),
点 D 的坐标为(5,3).
③当AC 为对角线时,∵A(-1,2),B(3,1),
y=5.∴ 点 D的坐标为( -3,5).
综上,点 D 的坐标为(1,-1)或(5,3)或(-3,5).
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