2.2.2 完全平方公式（第1课时） 课件（共23张PPT）

(共24张PPT)
2.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
1.理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景.
2.经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.
3.在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.
【教学重点】
1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点.
2.会用完全平方公式进行运算.
【教学难点】
会用完全平方公式进行运算.
平方差公式：(a + b)(a－b) = a2－b2.
2.公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差.
1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
计算下列各式，你能发现什么规律：
( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12，
( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22，
( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32，
( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42.
我们用多项式乘法来推导一般情况：
( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2.
思考
( a-b )2=
把( a+b )2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看.
( a-b )2=[a+( -b )]2=a2+2a( -b )+( -b )2=a2-2ab+b2.
我们把
( a+b )2=a2+2ab+b2，( a-b )2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.
讨论
(a+b)2 = __________= ______________= __________.
a2+ 2ab + b2
(a+b) (a+b)
a2+ ab + ab + b2
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =？
将“b”换做“-b”，试试看
[a + (-b)]2
= a2 + 2a(-b) + (-b)2
= a2-2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
完全平方公式
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(a+b)2 =
a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =
a2-2ab + b2
4.公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式。
1.积为二次三项式；
2.首项、末项为两数的平方和；
3.另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同。
简记为：
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央”
把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能用这个图
来解释完全平方公式吗？
ab
ab
a2
b2
a
b
a
b
由图可知，大正方形的面积为：( a+b )2；
分割成的四块的面积和为：a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2.
由题可知，大正方形的面积与四个小正方形的面积相等，所以有( a+b )2=a2+2ab+b2.
讨论
【例】运用完全平方公式计算：
（1）(3m+n)2 ;
解：（1）(3m + n)2
= ( 3m )2 + 2·3m·n + n2
= 9m2 + 6mn + n2
（2） .
（2）
= x2 - 2·x· +
= x2 - x +
口诀：首平方，末平方，乘积的两倍在中间
注意：当二项式中两项符号相同时用完全平方和公式，当二项式中两项符号相反时用完全平方差公式；
拓展：三个数和的平方：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
y2
(1) ( y + )2；
= y2
+ y
+
+
+ 2 y
解：( y + )2 =
1、运用完全平方公式计算：
解：(2x－3)2 =
= 4x2
(2) (2x－3)2.
( a－b )2 = a2 － 2ab + b2
(2x)2
－ 2×(2x)×3
+ 32
－ 12x
+ 9.
2．运用完全平方公式计算：
（1） (x＋4)2； （2） (2a－3)2； （3）(5m - )2
解：（1） (x＋4)2 = x2+8x+16
（2） (2a－3)2 = (2a)2-2·2a·3+32 = 4a2-12a+9
（3）(5m- )2 = (5m)2-2·5m· + ( )2 = 25m2-5m+
3、如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值．
解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2
＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2，
∴ (m＋1)xy＝±2×6x · 5y.
∴ m＋1＝±60.
∴ m＝59 或 m＝－61.
1.填空题：
(x+3y)2=_____________;
x2+6xy+9y2
________= y2 – y + ;
(y – )2
(______)2 = 9a2-______+16b2;
3a-4b
24ab
x2+10x+____=(x+_____)2;
25
5
(-x-y)_______=x2+2xy+y2.
(-x-y)
2. 若 a2 + ab + b2 + A = (a - b)2，则 A =（　　）
A．-3ab B．-ab C．0 D．ab
A
3. 下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算（ ）
A. (a+b)(a+c)
B. (x+y)(－y+x)
C. (ab－3x)(－3x+ab)
D. (－m－n)(m-n)
C
4.下面各式的计算是否正确？如果不正确，结果应当
怎样改正？
(1) (x + y)2 = x2 + y2
(2) (x－y)2 = x2 －y2
(3) (－x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(4) (2x + y)2 = 4x2 + 2xy + y2
×
×
×
×
x2 + 2xy + y2
x2－2xy + y2
x2 －2xy + y2
4x2 + 4xy + y2
5.计算：
( x – 2y)2
（2）(2xy + x)2
（1）
解：原式= ( x)2 - 2( x)(2y) + (2y)2
= x2 - 2xy + 4y2
解：原式= (2xy)2 +2(2xy)( x) + ( x)2
= 4x2y2 + x2y + x2
(1) (6a + 5b)2；
= 36a2 + 60ab + 25b2.
(2) (4x－3y)2；
= 16x2－24xy + 9y2.
(3) (2m－1)2；
= 4m2－4m + 1.
(4) (－2m－1)2.
= 4m2 + 4m + 1.
6. 运用完全平方公式计算：
7.已知x=a+2b，y=a-2b，求：x2 +xy+y2．
解： x2 +xy+y2
=(a+2b)2＋（a＋2b）（a-2b）＋(a-2b)2
=(a2＋4ab＋4b2) +(a2－4b2) +(a2－4ab＋4b2)
=3a2＋ 4b2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、完全平方公式：
2、注意：项数、符号、字母及其指数；不能直接应用公式进行计算的式子，需要先添括号变形；弄清完全平方公式和平方差公式的不同点（从公式结构特点及结果两方面）
3、解题时常用结论：
1、习题2.2”中第2、3题.
2.完成同步练习册中本课时的练习.