当涂县2023-2024学年第一学期期末测试
高二数学试题
（本试卷满分150分，测试时间120分钟，命题范围选修1、选修2）
考生注意事项：
1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、座位号，并在贴码框内粘贴条形码．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束时，只交答题卡．
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代码用2B铅笔涂黑）
1．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
3．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）
A．或15 B．或 C．15 D．
5．函数的部分图象可能为（ ）
A． B． C． D．
6．若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，请在答题卡相应位置将正确结论的代码用2B铅笔涂黑）
9．下列命题正确的有（ ）
A．已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为
B．数列是公比不为1的等比数列，若其中，则
C．若为等差数列前n项和，则仍为等差数列
D．已知函数在上可导，若，则
10．已知数列，中，，则（ ）
A．数列的前4项和为226 B．的前100项和为100
C．的前项和 D．数列仍为等比数列
11．已知函数，则（ ）
A．在上的极大值和最大值相等
B．直线和函数的图象相切
C．若在区间上单调递减，则
D．
12．如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 ( )
A．不存在点F，使得
B．的最小值为
C．满足的点F的轨迹长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
第II卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题）
13．数列的前项和是，则 .
14．抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 .
15．若数列满足，，则的最小值是 .
16．已知函数，，若函数有两个零点，则实数a的取值范围 .
三、解答题 (本题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)
已知直线经过点，且与直线垂直.
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于两点，求.
18．(本题满分12分)
已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19．(本题满分12分)
设函数.
(1)求的极值点及单调区间；
(2)求过点且与相切的直线的方程．
20．(本题满分12分)
如图，在四棱锥中，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．
21．(本题满分12分)
椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，且不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
22．(本题满分12分)
已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．当涂县2023-2024学年第一学期期末测试
高二数学（理）答案及评分标准
（本试卷满分150分，测试时间120分钟，命题范围选修1、选修2）
考生注意事项：
1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、座位号，并在贴码框内粘贴条形码．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束时，只交答题卡．
第I卷（选择题，共60分）
选择题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C A C D B C D BC ABC BCD AC
一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应位置将正确结论的代码用2B铅笔涂黑）
1．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．已知等差数列中，，则（ ）
A．24 B．36 C．48 D．96
【答案】C
3．如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．各项均为正数的等比数列的前项和为，且成等差数列，若，则（ ）
A．或15 B．或 C．15 D．
【答案】C
5．函数的部分图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．若直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
7．已知双曲线的焦距为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8．设，其中是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，请在答题卡相应位置将正确结论的代码用2B铅笔涂黑）
9．下列命题正确的有（ ）
A．已知直线l过点，且在轴上截距相等，则l的方程为；
B．数列是公比不为1的等比数列，若且，则
C．若为等差数列前n项和，则仍为等差数列
D．已知函数在上可导，若，则
【答案】BC
10．已知数列中，，则（ ）
A．数列的前4项和为226 B．的前100项和为100
C．的前项和 D．数列仍为等比数列
【答案】ABC
11．已知函数，则（ ）
A．在上的极大值和最大值相等
B．直线和函数的图象相切
C．若在区间上单调递减，则
D．
【答案】BCD
【分析】选项A：利用导数法求解判断；选项B：利用导数的几何意义求解判断；选项C：结合选项A，由求解判断；选项D：根据求解判断.
【详解】选项A：，令，得或，故在，上单调递增：令，得，故在上单调递减．
当时，的极大值为，又，所以在上的最大值为，所以A错误．
选项B：易知直线的斜率为－3，设直线和函数的图象相切的切点为，则，即，解得，故，故切点为，显然切点坐标满足，故B正确．
选项C：结合选项A知：若在区间上单调递减，则，故，故C正确．
选项D：易知，
所以，故D正确．
故选：BCD
12．如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是 ( )
A．不存在点F，使得
B．的最小值为
C．满足的点F的轨迹长度为
D．若平面，则线段长度的最小值为
【答案】AC
第II卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请在答题卡上答题）
设数列的前项和是，则 .
【答案】.
已知抛物线的焦点为为坐标原点，为抛物线上一点，且满足，则的面积为 .
【答案】
若数列满足，（，），则的最小值是 .
【答案】6
已知函数，函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围 .
【答案】．
三、解答题 (本题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本题满分10分)
已知直线经过点，且与直线垂直.
(1)求的方程；
(2)若与圆相交于两点，求.
【答案】(1) ；(2)
【解】（1）由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即. ………………… 5分
（2）由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长. …………………… 10分
18．(本题满分12分)
已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，.
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1) ；(2)
【解】（1）由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为，
则由题意有，解得，
所以和的通项公式分别为. …………………… 6分
（2）设数列的前n项和为，由（1）可得，
所以，，
两式相减得，
所以数列的前n项和为. ………………………… 12分
19．(本题满分12分)
设函数.
(1)求的极值点及单调区间；
(2)求过点且与相切的直线的方程．
【答案】(1)极大值点，极小值点；
单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)或
【解】（1）函数的导数为．
令，解得，．
由，得或，即的单调递增区间为和，
由，得，即的单调递减区间为．
的极大值点，极小值点． ………………………… 6分
（2）设切点为.
由，可得切线方程,
代入点的坐标，整理得，解得或. ………………………… 10分
当时，切线方程为；
当时，切线方程为；
综上可得直线的方程为或. ………………………… 12分
20．(本题满分12分)
如图，在四棱锥中，，．
(1)求证：平面平面；
(2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解】（1）如图：
因为，，所以为等边三角形，，
又，所以，又，
所以.
因为，所以为直角三角形，.
又，，为平面内的两条相交直线，
所以平面，平面，所以，平面平面. ………………………… 4分
（2）取中点，中点，因为，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，
所以，，，，，.
设，因为，
解得，所以. ………………………… 8分
设平面的法向量为，
则，取；
设平面的法向量为，
则，取.
那么，，.
由，又，所以. ………………………… 12分
21．(本题满分12分)
椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
【答案】(1) ； (2)定值，
【解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，
设到的距离为，因为，
所以，易得当时面积取得最大值，
所以，因为，
所以，，所以椭圆的方程为； ………………………… 4分
（2）证明：如图，易知点在椭圆外，
设直线的方程为，，，
由得，
所以，，，
因为，所以， ………………………… 8分
所以，
所以，
所以. …………… 12分
22．(本题满分12分)
已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
【答案】
【解】（1）由已知，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，若，得，函数单调递增，
若，得，函数单调递减；
综上所述：当，函数在上单调递增.
当时，函数在单调递增，在单调递减； ………………………… 4分
（2）由，得，
即证，
①当时，设函数，
则，在上单调递增，
所以
所以成立； ………………………… 6分
②当时，要证成立，
即证
设函数，，则，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，即，
设，
则，在上单调递减，
所以，即，
所以，
综上：成立. ………………………… 12分
