嘉兴市 2023~2024 学年第一学期期末检测
数学卷参考答案 （2024.1）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1-4 ADBB 5-8 CDCA
8．答案 A
ln a【解析】由于 0，则 a b．由于 a2 2ln a b 2lnb，构造函数 f (x) x2 2ln x，
b
g(x) x 2ln x．
2
f (x) 2(x 1)由于 ，则 f (x)在 (0,1)递减，在 (1, )递增， f (x)min f (1) 1．x
x 2
又 g (x) ，则 g(x)在 (0,2)递减，在 (2, )递增， g(x)min g(2) 2 2ln 2．x
f (x) g(x) x2 x x(x 1) ， 则 0 x 1 时 ， y
f (x) x 2 2 ln x
f (x) g(x) ； x 1 时 ， f (x) g(x) ； x 1 时 ，
f (x) g(x)．函数 f (x)与 g(x)的图像如右图所示． g(x) x 2ln x
令 f (a) g(b) k ．由于 a b，则 0 b 1，1 a，
排除 CD．
B A y k
a 1 7b 2b (a 4)c 5c 7
b 2b
由于 ， ，则 5c bb ．5 O x
令 h(x) (7 ) x 2 ( ) x ，其在 R 上单调递增．由于 0 b 1，则 0 h(b) 1， 5c b 1，
5 5
即 c b．
综上， 0 c b 1 a，故选择 A．
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．BCD 10．AB 11．ACD 12．ABD
12．答案 ABD
【解析】设过点M 的切线为 y1y 2(x1 x)， 过点 N的切线为 y2 y 2(x2 x)，这两
y1y0 2(x1 x0 )
条切线交于点 P(x0 , y0 )，则 ，从而直线MN 的方程为 y y 2(xy y 2(x x ) 0 0
x)．若
2 0 2 0
高三期末考试 数学 参考答案 第 1 页（共 6 页）
{#{QQABLQaEggAgQhBAAAgCQwWICACQkAAAACoGhAAMoAIASBFABAA=}#}
x0 1，则直线MN 经过点 F (1,0)，A正确．
设过点M 的切线为 y1y 2(x1 x)， 过点 N的切线为 y2 y 2(x2 x)，联立
y1y 2(x1 x) y y
，解得 y 1 2
y y y y y y y y
，即 y 1 2 ，从而 x 1 20 0 ，即 P( 1 2 , 1 2 )，
y2 y 2(x2 x) 2 2 4 4 2
从而 PH y轴，B正确．
x x y y x x y2 y2
由于点 H 为M ,N 中点，则H ( 1 2 , 1 2 ) ．由于 1 2 1 2
2 2 2 8
1 y2 x 3 y2 y1 y2 4 0 0 0 ， y0，从而点 H 的轨迹方程为 y
2 x，C错误．
2 4 2 3
由于 FP (x0 1, y0 )， FM (x1 1, y1)， FN (x2 1, y2 )，则
FP FM (x0 1, y0 ) (x1 1, y1) (x0 1)(x1 1)．
MF x 1 cos PFM FP FM x0 1 cos x 1又 1 ，则 ．同理可得 PFN 0 ，
FP FM FP FP
从而 PFM PFN，D正确．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．15 14 3 2． 15． 16．15
5 2
16．答案 15
【解析】在圆锥 内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，其面积为
1
[(3 3)2 ( 3)2 ] 12 ；在圆锥 底面，小球接触到的区域是一个圆，其面积为
2
( 3)2 3 ．
综上，圆锥 内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为15 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10分）
【解析】（1）由 sinB 2sin A及正弦定理，则 b 2a．
32 2 2a 3 b 6 c 7 cosC 6 7 1 4 5当 时， ， ，由余弦定理， ，从而 sinC ，
2 3 6 9 9
高三期末考试 数学 参考答案 第 2 页（共 6 页）
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ABC 1此时△ 的面积 S absinC 4 5 ．
2
（2）由于 b 2a， c 2a 1，则 3a 2a 1，解得 a 1．
2 2 2
由于C为△ ABC a 4a (2a 1)的最大内角， cosC 0，即 a2 4a 1 0，解
4a
得 2 5 a 2 5．由于 a 1，则1 a 2 5 ．
18．（本题满分 12分）
【解析】（1）令 n 1， 3(a1b1 b1) 2b2 ，得 a1 1，所以 an 2n 1，代入原式得
b nn 1 3bn，所以 bn 3 ．
2 2 2
（2）b 32n 1，T 31
2
a n 3
3 32n 1 3n T T T 3 m 3 m 1 3 m 2，由 m m 1 m 2 ，得
，
n
m 2 m 1 2即 m 2 2 ，可解得m 3．
19．（本题满分 12分）
【解析】证法 1（坐标法）：
A 1因为 1Q 2QC，点Q到平面BCPO的距离为 ，所 z3
A1
以点 A1到平面BCQP的距离为 1，则 A1O 平面 BCPO ．以
O为原点如图建立空间直角坐标系O xyz，则 A1 0,0,1 ， O P
Q
B 2,0,0 P 0, 3,0 C 1 , 3 3 ,0 Q 1 , 3, 1 ， ， y 2 2 ， ，所 3 3 B
x C
PQ 1 1 以 ,0, ，又平面 A1BO的法向量 n 0,1,0 ，由于
3 3
PQ n 0，直线 PQ 平面 A1BO，所以 PQ //平面 A1BO．
A1
证法 2（几何法）：
取OB中点 S和线段 A1B靠近点 B的三等分点T，连结
T O Q P
ST ， SP，TQ， SP // BC，TQ // BC， SP TQ 2 BC ， S
3 B C
所以 SP/ /TQ，四边形 STQP为平行四边形， ST // PQ，
高三期末考试 数学 参考答案 第 3 页（共 6 页）
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又 ST 平面 A1BO， PQ 平面 A1BO，从而 PQ //平面 A1BO．
（其他方法酌情给分）
（2）解法 1（坐标法）：
平面 A1OP n
的法向量 1 1,0,0 ，设平面 A
1BC 的法向量 n2 x, y, z ，
3 3 3
BC 3 3 3 , ,0 ， A1B 2,0, 1
n2 BC 0 ，由 ，得2 2
x y 0，令 y 1，
n2 A B 0
2 2
1 2x z 0
x 3, z 2 3, 即 n2 3,1,2 3 ．
n n
设平面 A1BC与平面 A1OP
3
夹角大小为 ，所以 cos 1 2 ，即平面 A BC与
n 1 n 4
1
2
平面 A1OP
3
夹角的余弦值 ．
4 A1
解法 2（几何法）： D
延长 BC,OP交于点 R，连结 A1R，作
O Q P
OD A1R，连结 BD．
B C R
由于 BO 平面 A1OR，则 BO A1R．又
DO A1R，OB OD O，从而直线 A1R 平面OBD，A1R BD，所以 BDO为二面角
B A R 2 3 1 O的平面角，记为 ，在直角△ A1OR中，OA1 1，OR 2 3 ，所以 OD ，13
OB
又 OB 2，则 tan 13 ， cos 3 ，即平面 A BC与平面 AOP 夹角的余弦值
OD 3 4 1 1
3
为 ．
4
20．（本题满分 12分）
1 1 2 1 1 7【解析】（ ）记“答完 1题甲得 1分”为事件 A，则 P(A) ，第 1
2 3 2 2 12
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7
题答完甲得 1分的概率为 ．
12
（2）第 2 题答完比赛结束，甲得了 2 分，或乙得了 2 分．记“答完 1 题乙得 1分为
事件 B”，则 P(B) 5 1 P(A) ．记“第 2题答完比赛结束”为事件C，P(C) ( 7 )2 ( 5 )2
12 12 12
37
．
72
（3）记甲最终胜出的概率为 P(M )．答完 2题，有四种情况：甲得 2分，乙得 2分，
甲先得 1分乙后得 1分，乙先得 1分甲后得 1分，其中甲乙各得 1分，与初始状态（即比
49 70
赛前）的情况相同，从而 P(M ) [P(A)]2 2P(A) P(B) P(M )，即 P(M ) P(M )，
144 144
49 49
解得 P(M ) ，即甲最终胜出的概率为 ．
74 74
21．（本题满分 12分）
1 b 3【解析】（ ）由题意知 a 1．点 ( 1,0)到直线 y bx的距离为 ，
b2 1 2
2
解得 b 3，从而双曲线C的方程为 x2 y 1．
3
y kx (k 2)
（2）设M (x1, y1)，N (x2 , y2 )，直线 l的方程为 y k(x 1) 2，联立 ，
3x
2 y2 3
2
则 (k 2 2
k 3
3)x 2k(k 2)x (k 2)2 3 0 ，从而 ，
4k
2 (k 2)2 4(k 2 3)[(k 2)2 3] 0
x 2k(k 2) 1 x2 7 k 2 3
解得 k 且 k 3，此时
4 (k 2)2
．
3
x1x2 k 2 3
直线OP的方程为 y y 2x，直线 A2N的方程为 y 2 (x 1)，x2 1
y 2y
联立解得 xQ 2 ， y 2 ．2x2 y2 2
Q 2x2 y2 2
2y2
y
k k y1 Q y1 2x2 y2 2 y1 y由于 1 2 2x1 1 xQ 1 x1 1 y2 1 x1 1 x2 y2 1
2x2 y2 2
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(kx1 k 2)(kx
2 2
2
k 2) k x1x2 k(k 2)(x 1 x2 ) (k 2)
(k 1)(x1 1)(x2 1) (k 1)(x1x2 x1 x2 1)
k 2 (k 2)
2 3 2k 2 (k 2)2
(k 2)22 2
k 3 k 32 2 3，即 k1k2 3．
(k (k 2) 3 2k(k 2) k 3 1)
k 2 3
22．（本题满分 12分）
【解析】（1）当m 1， f (x)
1
x2 ax ax ln x ， f (x) x a ln x．
2
令 f (x) x 0，得 a ，令 g x x ，g x ln x 1 ，g x 在 (0,1)递减，在 (1,e)
ln x ln x ln x 2
递减，在 (e, )单调递增．当 x 0,1 时， g(x) 0；当 x (1, )时， g(x) g(e) e．由
于函数 f (x) x在其定义域内不是单调函数，即方程 a 有解，从而 a 0或 a e．
ln x
（2） f (x) 1 x2 1 m x ax ln x ， f (x) x 1 2ln x m．2
因为函数 y f (x)有两个极值点，即 f (x) 0有两解，函数 h(x) x 1 2ln x的图象
与直线 y m有两个交点，令 h '(x) 0，得 x 2．当 0 x 2，h '(x) 0；当 x 2，h '(x) 0，
hmin (x) 1 2ln 2，所以1 2ln 2 m 0．
设 y h(x)的图象与 x轴的交点为 P 1，0 ，Q x0，0 ，则函数 y h(x)的图象在点 P处的
切线 l1为 y x 1 ．又 h(x0 ) 0 ， h(3) 3 1 2ln3 0 ， h(4) 4 1 2ln 4 0 ，所以
x0 3,4 y
x 2
．函数 h(x)的图象在Q处的切线 l2为 y 0 x x0 ．x0
设直线 y m与直线 l1, l
mx
2的交点的横坐标分别为 x3 , x4，则 x3 1 m，x 04 x ，x0 2
0
x x x x mx所以 2 1 4 03 x0 1 m
2m
x0 2 2m 1
2m
2 2m 1
x0 2 x0 2 2
3 m 1 ，即证．
高三期末考试 数学 参考答案 第 6 页（共 6 页）
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高三数学 试题卷 （2024.1）
本试题卷共 6页，满分 150分，考试时间 120分钟．
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在
试题卷和答题纸上规定的位置．
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，
在本试题卷上的作答一律无效．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A 2, 1,0,1 ， B x | x 1 1 ，则 A B
A． 1 B． 0 C． 1,0 D． 2, 1,0
2 4 3i．已知 z ，则 z z
2 i
A．1 2i B．1 2i C． 5 D．5
3．已知单位向量 e1， e2的夹角为 60
，则 (e1 2e2 ) (3e1 4e2 )
A． 6 B． 4 C． 2 D． 1
4．已知直线 l： 3x y 1 0与圆O： x2 y2 1相交于 A， B两点，则 AOB
A ． B 2 C 3 D 5 ． ． ．
2 3 4 6
5．卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有
卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为 40mm，卫生纸
厚度为 0.1mm．若未使用时直径为 90mm，使用一段时间后直径为 60mm，则这个卷筒
卫生纸大约已使用了
A． 25.7m B． 30.6m C． 35.3m D． 40.4m
6．已知函数 y f (2x 1)的图象关于点 ( 1,1)对称，则下列函数是奇函数的是
A． y f (2x 2) 1 B． y f (2x 3) 1
C． y f (2x 2) 1 D． y f (2x 3) 1
高三期末考试 数学 试题卷 第 1页（共 6页）
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7．已知 an 是等比数列，则“对任意正整数 n，an 2 an”是“数列 an 是递增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知正实数 a， b， c a满足 a 2 b 2 ln 0 ， 7b 2b (a 4)c ，则
b
A． 0 c b 1 a B． 0 b c 1 a
C． 0 c b a 1 D． 0 b c a 1
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．下列说法正确的是
A．样本数据 4，4，5，5，6，7，9的 75%分位数为 6
B．若随机变量 满足 E( ) 2，则 E(2 1) 3
C 3 3．若随机变量 服从两点分布， P( 0) ，则 D( )
4 16
D．若随机变量 X 服从正态分布 N (2, 2 )，且 P(1 X 2) 0.3，则 P(X 3) 0.2
10 ．已知函数 f (x) sin x 3 cos x（ 0）的图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ，
2
则
A．函数 f (x)的最小正周期为
B．函数 f (x)在[ , ]单调递减
4 2
C ．函数 f (x)在[0, ]的值域为 [ 3, 3]
2
D．将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位长度，所得函数图象关于 y轴对称
6
11．已知正方体 ABCD A1B1C1D1的边长为 1，点 P满足DP DA DC，其中 [0,1]，
[0,1]，则
A．当 1时，存在点 P，使得 B1P //平面 A1C1D
B．当 1时，不存在点 P，使得D1P 平面 A1C1D
C 2．当 ， 满足 2 时，点 B1到平面 PC1D1的距离的最小值为 2
高三期末考试 数学 试题卷 第 2页（共 6页）
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D．当 ， 1 2 2满足 2 2 时，三棱锥 P ACD1的体积的最小值为4 12
12．已知点 P(x0 , y0 ) ( x0 0 )是抛物线C1：y
2 4x上一点，过点 P作抛物线C2 ：y
2 4x
的两条切线 PM ， PN ，切点分别为M ， N， H 为线段MN 的中点， F 为C2 的焦点，
则
A．若 x0 1，则直线MN 经过点 F B．直线 PH y轴
C．点H 3的轨迹方程为 y2 x D． PFM PFN
4
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13． (x 1 )6的展开式中，常数项为 （用数字作答）．
x
14 5 ．已知 sin( ) ，则 cos(2 ) ．
3 5 3
x215 y
2
．已知椭圆C： 2 2 1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F ，Fa b 1 2
，点 P，Q在C上
且满足 PF1 3F1Q， PQ PF2，则C的离心率为 ．
16．已知圆锥 的母线长与底面圆的直径均为 4 3．现有一个半径为 1的小球在 内可向
各个方向自由移动，则圆锥 内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分 10分）
在△ ABC中，角 A， B，C的对边分别为 a， b， c，其中 sinB 2sin A， c 2a 1．
（1）若 a 3，求△ ABC的面积；
（2）若△ ABC为钝角三角形，求 a的取值范围．
高三期末考试 数学 试题卷 第 3页（共 6页）
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18．（本题满分 12分）
已知 an 是公差为 2的等差数列，数列 bn 满足 b1 3， b2 9， 3bn (an 1) 2nbn 1．
（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；
（2）记数列 ba 的前 n项积为Tn ，若Tm Tm 1 Tm 2，求m．n
19．（本题满分 12分）
等边三角形 ABC的边长为 3，O， P分别是边 AB和 AC上的点，且 AP 2AO 2，
如图 1．将△ AOP沿OP折起到△ A1OP的位置，连结 A1B， A1C．点Q满足 A1Q 2QC，
且点Q到平面BCPO 1的距离为 ，如图 2．
3
（1）求证： PQ //平面 A1BO；
（2）求平面 A1BC与平面 A1OP夹角的余弦值．
A
A1
O
O
P
Q P
B C B C
图 2
图 1
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20．（本题满分 12分）
某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，
抢到并回答正确得 1分，答错则对方得 1分，比赛进行到一方比另一方多 2分为止，且多
得 2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两．人．都．参．与．每．一．次．抢．题．，每次抢到的概率都
1 2 1
为 ．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为 和 ，每道题回答是否正确相互独立．
2 3 2
（1）求第 1题答完甲得 1分的概率；
（2）求第 2题答完比赛结束的概率；
（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率．
21．（本题满分 12分）
A A x
2 y2
已知 1， 2分别是双曲线C： 2 2 1（ a 0，b 0）的左、右顶点， Aa b 1
A2 2，
3
点 A1到其中一条渐近线的距离为 ．2
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点 P( 1,2)的直线 l与C交于M ， N两点（异于 A1， A2两点），直线OP与
直线 A2N交于点Q．若直线 A1M 与 A1Q的斜率分别为 k1， k2 ，试问 k1k2 是否为定值？若
是，求出此定值；否不是，请说明理由．
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22．（本题满分 12分）
已知函数 f (x) 1 x2 a m 1 x ax ln x ．
2
（1）若m 1时， y f (x)在其定义域内不是单调函数，求 a的取值范围；
（2）若 a 2，m 0时，函数 y f (x)有两个极值点 x1, x2 x1 x2 ，求证：
x2 x1 3(m 1)．
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