福建省福州市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市2023-2024学年高一上学期期末质量检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 637.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 22:59:19 | ||
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文档简介
2023~2024学年第一学期福州市高一年级期末质量检测
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
3.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为
A. B. C. D.
4.已知集合，，则
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知，，，则
A. B. C. D.
7.已知，则
A. B. C. D.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为
（参考数据：，）
A.23小时 B.25小时 C.42小时 D.44小时
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如下所示，则
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，都有，且，则
A. B.
C.是增函数 D.是偶函数
12.已知函数若关于的方程有3个实数解，，，则
A.
B.
C.
D.关于的方程恰有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是______.
14.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
15.已知函数不恒为0，且同时具备下列三个性质：
①；②是偶函数；③，，.
写出一个函数______.
16.用表示函数在闭区间上的最大值，已知.
（1）若，则的取值范围是______.
（2）若，则的取值范围是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18.（12分）
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
19.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式.
21.（12分）
已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
22.（12分）
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
（3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.. 14.2.
15..（答案不唯一，如，（且）等均可）
16.（1）；（第一空2分） （2）.（第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）.
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
（2）由（1）知函数的最小值为7，
因为恒成立，所以，
解得，
所以的取值范围是.
18.解法：（1）根据题意可得，，
则，，.
（注：每个三角函数值各2分）
（2）根据题意可得，
所以
解法二：（1）同解法一.
（2）根据题意可得，，
所以，
，
（注：解答过程有体现角与的关系，得1分）
所以.
19.解：（1）根据题意可得，，
即.
因为，所以，
所以，即.
所以
由，得，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，
20.解：（1）函数在区间上单调递增.
（注：结论后置不扣分）
证明：任取，且，则
由，得，
所以，，故，
即，所以，
所以在区间上单调递增.
（2）函数的定义域为，
因为，都有，且，
所以为偶函数.
又由（1）知，在上是单调递增，
所以等价于，
两边平方，得，
解得或，
所以不等式的解集为.
21.解：（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以。
（注：定义域没写不扣分，若用特殊值法求出的值，但未检验的扣1分）
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即村，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
22.解：（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，
故.
在中，
，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，.
当，时，解得，
故，当且仅当，时，等号成立.
此时的最小值为60；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值40.
综上，的最小值为.
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则.
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为
（注：高度差的表达式不唯一）
数学试卷
（完卷时间：120分钟；满分：150分）
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是
A.， B.，
C.， D.，
3.在下列区间中，方程的实数解所在的区间为
A. B. C. D.
4.已知集合，，则
A. B. C. D.
5.设，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知，，，则
A. B. C. D.
7.已知，则
A. B. C. D.
8.某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）的关系为（且，且），其图象如下，则污染物减少至少需要的时间约为
（参考数据：，）
A.23小时 B.25小时 C.42小时 D.44小时
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如下所示，则
A.
B.在上单调递增
C.的图象关于直线对称
D.将的图象向左平移个单位长度后所得的图象关于原点对称
11.已知函数的定义域为，，都有，且，则
A. B.
C.是增函数 D.是偶函数
12.已知函数若关于的方程有3个实数解，，，则
A.
B.
C.
D.关于的方程恰有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数（且）的图象经过定点，则的坐标是______.
14.已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为______.
15.已知函数不恒为0，且同时具备下列三个性质：
①；②是偶函数；③，，.
写出一个函数______.
16.用表示函数在闭区间上的最大值，已知.
（1）若，则的取值范围是______.
（2）若，则的取值范围是______.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
18.（12分）
已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，，的值；
（2）将的终边按顺时针方向旋转，此时终边所对应的角为，求的值.
19.（12分）
已知函数，.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
20.（12分）
已知函数.
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式.
21.（12分）
已知函数为奇函数，.
（1）求实数的值；
（2），，使得，求实数的取值范围.
22.（12分）
筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
（1）求，，，的值；
（2）若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
（3）若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.D 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B 7.B 8.D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.AD 10.ACD 11.BC 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.. 14.2.
15..（答案不唯一，如，（且）等均可）
16.（1）；（第一空2分） （2）.（第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：（1）.
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为7.
（2）由（1）知函数的最小值为7，
因为恒成立，所以，
解得，
所以的取值范围是.
18.解法：（1）根据题意可得，，
则，，.
（注：每个三角函数值各2分）
（2）根据题意可得，
所以
解法二：（1）同解法一.
（2）根据题意可得，，
所以，
，
（注：解答过程有体现角与的关系，得1分）
所以.
19.解：（1）根据题意可得，，
即.
因为，所以，
所以，即.
所以
由，得，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
所以当，即时，；
当，即时，
20.解：（1）函数在区间上单调递增.
（注：结论后置不扣分）
证明：任取，且，则
由，得，
所以，，故，
即，所以，
所以在区间上单调递增.
（2）函数的定义域为，
因为，都有，且，
所以为偶函数.
又由（1）知，在上是单调递增，
所以等价于，
两边平方，得，
解得或，
所以不等式的解集为.
21.解：（1）因为是奇函数，所以，
即，
整理得.
所以.
解得，
当时，，舍去，
当时，函数的定义域为，符合题意.
所以。
（注：定义域没写不扣分，若用特殊值法求出的值，但未检验的扣1分）
（2）设，
根据题意可得，.
由（1）知，
当时，，故.
，
设，函数，.
①当时，，可得，符合题意；
②当时，，图象的对称轴为.
（i）当时，对称轴，
所以在区间上单调递减，故，
由，得，即，
所以；
（ii）当时，
若，即时，，
由，得，
所以；
若，即村，，
由，得，
所以；
综上所述，的取值范围是.
22.解：（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接，
过点作于点，过点分别作于点，于点，
则，
因为筒车转一周需要1分钟，所以，
故.
在中，
，
所以，即.
（2）由（1）知，.
不妨设，由题意得，
故，
所以，或，.
当，时，解得，
故，当且仅当，时，等号成立.
此时的最小值为60；
当，时，解得，
显然当时，取得最小值40.
综上，的最小值为.
（3）设在筒车运行一周的过程中，相邻两个盛水筒距离水面的高度差为
两个相邻的盛水筒的位置分别用和表示，则.
所以
，
当，即，时，
高度差的最大值为
（注：高度差的表达式不唯一）
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