2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题；(重点） 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想．（难点）等差数列： 公 差： 通项公式： 等差中项： 重要性质: 注意：这里m,n,p,q?N*.an 1-an=d（常数）dan=a1 (n-1)d(1)an=am (n-m)d; (2)当m n=p q时,am an=ap aq.高斯 (1777—1855） 德国著名数学家1 2 3 … 98 99 100=？ 高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？我们先看下面的问题. 怎样才能快速计算出一堆钢管有多少根呢？一二4 10=14三5 9=146 8=14四7 7=14五8 6=14六9 5=14 七10 4=14(1)先算出各层的根数，每层都是14根；(2)再算出钢管的层数，共7层. 所以钢管总根数是：1 2 3 ··· 100=?下面再来看1 2 3 … 98 99 100的高斯算法.设S100=1 2 3 … 98 99 100 反序S100=100 99 98 … 3 2 1多少个101 ?100个101所以S100=(1 100)×100？？首项尾项？总 和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5 050? ?得： 2Sn=(a1 an) (a2 an-1) (a3 an-2) … (an a1). ?以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则证：Sn= a1 a2 a3 … an-2 an-1 an,即Sn=a1,an a2 an-1 a3an-2 … ??2Sn=(a1 an) (a1 an) … (a1 an) 多少个(a1 an) ?共有n个(a1 an) 由等差数列的性质：当m n=p q时，am an=ap aq 知：a1 an=a2 an-1=a3 an-2=…=an a1，所以?式可化为：= n(a1 an).这种求和的方法叫倒序相加法！因此，等差数列的前n项和公式的其他形式例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个 等差数列{an} ，表示从2001年起各年投入的资金，其中， 本题的设计意图： 培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.例2 已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项 的和是1 220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和 的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得 到两个关于 与d的二元一次方程，由此可以求得 与 d，从而得到所求前n项和的公式.技巧方法： 此例题的目的是建立等差数列前n项和与方程组之间的联系.已知几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.让我们归纳一下！说明：两个求和公式的使用——知三求一. 要使山谷肥沃，就得时常栽树。我们应该注意培养人才。 ——约里奥?居里
