课件24张PPT。2.4 等比数列
第1课时 等比数列1.理解等比数列的概念；(重点）
2.掌握等比数列的通项公式，通过实例发现数列的等比关系，提高数学建模的能力．（重点、难点） 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”.如果将“一尺之棰”视为一份，
则每日剩下的部分依次为：生活中的数列
1.放射性物质镭的半衰期为1 620年，如果从现有的10克镭开始，每隔1 620年，剩余量依次为10 000×1.05 , 10 000×1.052 , 10 000×1.053 ，
10 000×1.054 ，10 000×1.055 2.某人年初投资10 000元，如果年收益率为５％，那么按照复利计算，５年内各年末的本利和依次为 看下列数列：5. 3，9，27，81，…;4.10 000 ×1.05 , 10 000 × 1.052 , 10 000 × 1.053 ， 10 000 × 1.054 ， 10 000 × 1.055 ; 它们的共同特点是：
从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.等比数列的定义: 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.
这个常数叫做等比数列的公比，
公比通常用字母q表示 (q≠0).等比数列的定义 或注意：1.公比是等比数列从第2项起，每一项与它的前一项的比，不能颠倒.2.对于一个给定的等比数列，它的公比是同一个常数.写出上面六个等比数列的通项公式(如下)，类比等差数列
的通项公式的推导过程，补全首项是 ，公比是q的等比
数列 的通项公式.n-1如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么由此可知，等比数列 的通项公式为…等比中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，这三个数就会成为一个等比数列：（1）1，____，9 （2）-1，____，-4
（3）-12，___，-3 （4）1，____，1±3±2±6±1如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.例1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？分析：
时间： 剩留量:
最初 1
经过1年 a1=0.84
经过2年 a2=0.842
经过3年 a3=0.843
… …
经过n年 an=0.84n例2 根据如图的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？例3 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项.方法技巧：
如果已知数列中的两项，并且知道项的序号，可以求得数列的其他项.1．数列1，37，314，321，…中，398是这个数列的（ ）.
（A）第13项 （B）第14项
（C）第15项 （D）不在此数列中C2．在2与6之间插入n个数，使它们组成等比数列，则这个
数列的公比为（ ）.
（A） （B）
（C） （D）C3．若x, 2x+2, 3x+3是一个等比数列的连续三项，则x
的值为（ ）.
（A）－4 （B）－1
（C）1或4 （D）－1或－4A1.理解并掌握等比数列的定义及数学表达式：
（n≥2，n ∈N*）；
2.要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用. 幸运所需要的美德是节制，而厄运所需要的美德是坚忍，后者比前者更为难能可贵。
——培根课件23张PPT。第2课时 等比数列的性质1.理解并掌握等比数列的性质及其初步应用；
(重点、难点）
2.引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力． 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).如果一个数列是等比数列，它的公比是q，那么由此可知，等比数列 的通项公式为…(1) 1，2，4，8，16，…观察数列(3) 4，4，4，4，4，4，4，…(4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，…公比 q=2公比 q=公比 q=1公比 q=-1等比数列的图象1数列：1，2，4，8，16，…123456789102468101214161820O●●●●●递增数列通过图象观察性质等比数列的图象212345678910O数列：●●●●●●●12345678910递减数列等比数列的图象3123456789102468101214161820O数列：4，4，4，4，4，4，4，…●●●●●●●●●●常数列等比数列的图象412345678910O12345678910●●●●●●●●●●数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，摆动数列-1 类比等差数列的性质，等比数列有哪些性质呢？an-an-1=d （n≥2）
常数减—除加—乘加-乘乘—乘方 迭加法迭乘法等比数列用“比”代替了等差数列中的“差”定义数学表
达式通项公式证明通项 公式由等差数列的性质，猜想等比数列的性质猜想1： 若bn-k,bn,bn+k
是{bn}中的三项,则猜想3：若n+m=p+q，则
bn·bm=bp·bq猜想5：若{dn}是公比为q′的等比数列,则数列{bn?dn}是公比为q·q′的等比数列.猜想4：从原数列中取出偶数项，组成的新数列公比为 (可推广) 若数列{an}是公比为q的等比数列,则当q>1,a1>0或0 当q>1, a1<0或00时, {an}是递减数列;
当q=1时, {an}是常数列;
当q<0时, {an}是摆动数列.(2)an≠0,且anan+2>0.(3)an=amqn-m(n,m∈N*).(4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq.(5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项的积都相等,且等于首末两项的积.(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an? bn }是公比为qq′的等比数列.(6)数列{λan}(λ为不等于零的常数)仍是公比为q的
等比数列.(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序排
列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.(10)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am , an , ap 成等比数列.例 已知{an} {bn}是项数相同的等比数列，求证{an?bn}是等比数列.证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1; {bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an?bn}的第n项与第n+1项分别为：它是一个与n无关的常数，所以{an?bn}是一个以q1q2为公比的等比数列.⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= .
⒉在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,
那么a3+a5= _ .
⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则
a30 =__________.
⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120,
则a5+a6=_____.-1 458630480或-306.如果三角形的三边成等比数列，则公比 q 的取值范
围是___________________.则对所有的自然数 n 都成立，则公比 q =___________.证明或判断一个数列为等比数列的方法:
1. =q (n?2 且q≠0)?{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题和解答题)
2.an=cqn (c,q≠0)?{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)
3.a2n+1=anan+2?{an}为等比数列.
(适用于选择题、填空题)等比数列的性质:
1.an=amqn-m（n,m∈N*）
2.若m+n=p+q，则aman= apaq（m,n,p,q∈N*）
3.等比数列中，每隔k项取一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列.
4.a1a2, a3a4, a5a6, …仍为等比数列.
5.在等比数列中,从第二项起,每一项都是它等距离的前后两项的等比中项. 星星——只能白了青年人的发，不能灰了青年人的心。
——冰心
