3.4 基本不等式：第1课时 基本不等式 1.探索基本不等式的证明过程，并了解基本不等式的 代数、几何背景；(重点） 2.基本不等式的简单应用. 国际数学家大会是由国际数学联盟（IMU）主办，首届大会于1897年在瑞士苏黎士举行，1900年巴黎大会之后每四年举行一次，它已经成为最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年8月20日在北京召开第24届国际数学家大会，由中国最高国家科技奖得主、著名数学家吴文俊任大会主席.这是第一次在发展中国家举办的规模最大的数学会议. 有同学知道这一届国际数学家大会的会标吗？2002年国际数学家大会会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．探究基本不等式1.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？则正方形ABCD的面积 是________， 这4个直角三角形的面积 之和是_________，设AE=a,BE=b,a2 b22ab>一般地，对于任意实数a，b，我们有当且仅当a=b时，等号成立.3.你能给出它的证明吗？特别地，我们用、分别代替可得4.你能用不等式的性质直接推导吗？通常我们把上式写作证明：要证 只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 基本不等式：注意：（1）a,b均为正数； （2）当且仅当a=b时取等号. 均值不等式如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD, 则CD=＿＿, 半径为＿＿.CD小于或等于圆的半径.用不等式表示为上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，等号成立.几何意义：半径不小于半弦.可以叙述为: 两个正数的几何平均数不大于它们的算数平均数. 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数.基本不等式21基本不等式在求最值中的应用分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 面积确定，则xy=100，篱笆的长为2（x y）m. 即求（x y）的最小值.例2 (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x y）m. 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m. 结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.分析：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 周长确定，则2（x y）=36，篱笆的面积为xy m2. 即求xy的最大值.例2 (2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大.最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则 2(x y)= 36, x y=18，矩形菜园的面积为xy m2 .当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9 m时， 菜园的面积最大，最大面积是81 m2 .结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.注意：①各项皆为正数； ②和为定值或积为定值； ③注意等号成立的条件.一“正”， 二“定”， 三“等”.最值定理结论1 两个正数积为定值，则和有最小值.结论2 两个正数和为定值，则积有最大值.例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4 800 m3,深为3 m.如果池底每平方米的造价为150元, 池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少?分析：水池呈长方体形，高为3 m, 底面的长与宽没有确定. 如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了.因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.由容积为4 800 m3 ，可得3xy=4 800,因此xy=1 600. 由基本不等式与不等式的性质，可得解：设底面的长为xm，宽为ym, 水池总造价为z元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297 600元.C103.已知 且 则 的最大 值为_____. 解：1.两个重要的不等式 （1） （2）基本不等式2.不等式的简单应用：主要是求最值， 把握 “六字方针” 即 “一正，二定，三等”.在艰苦奋斗的环境中锻炼出来的文人，总比生长在温暖逸乐的环境中的人要坚强伟大。 ——郁达夫
