课件18张PPT。2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
第1课时 对数 （1）理解对数概念.
（2）能够进行对数式与指数式的互化.
（3）培养学生应用数学意识. 16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。 特别是格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617 年）。1594年，他为了球面计算的简便，运用独特的方法构造出对数方法。1614年6月在爱丁堡出版的第一本对数专著》《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数。 假设2010年我国的国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年后国民生产总值是2010年的2倍？设经过x年后国民生产总值是2010年的2倍，则有这是已知底数和幂的值，求指数的问题。
即指数式ab=N中，已知a 和N，求b的问题。
这里( ）你能看得出来吗？怎样求呢？小结： 如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作 .
其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
注意：负数和零没有对数. 对数的定义对数式要注意的事项：
（1）a、N的范围：a>0且a≠1和N>0.（负数与零没有对数）
（2）对数符号是一个完整的符号.对数与指数的区别对数与指数有什么区别与联系?名称式子axN底数底数指数对数幂真数（a>0,a≠1）3.logaa=1结论：1.负数与零没有对数（∵在指数式中N>0）. 2.loga1=0对任意a>0且a≠1,都有 通过求x的值，结合对数的定义，你能得出什么样的结论?对任意a>0且a≠1,都有常用对数与自然对数的定义(1)以10为底的对数叫做常用对数.
为了方便,N的常用对数log10N简记为:lgN.
(2)以e为底的对数叫做自然对数.
为了方便,N的自然对数logeN简记为:lnN.例1.把下列指数式化成对数式求下列各式的值练习 （1） （4） （3） （2） （5） （6） 例2.把下列对数式写成指数式： 解： （4） （5） （6） 求下列各式的值（1） （3） （2） 解：例3.计算： （1） （2） 请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？1．对数的定义2．掌握指数式与对数式的互化?一般地,如果a(a>0,a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N,
那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数).3．会由指数运算求简单的对数值(a>0,a≠1)进步是从看到自己的落后开始的；高明是从解剖自己的弱点开始的。课件31张PPT。第2课时 对数的运算（1）理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． （2）通过对数运算法则的探究与推导，培养从特殊到一般的归纳推理能力，渗透化归思想及逻辑思维能力． （3）通过对数运算法则探究，激发学生学习的积极性．培养勇于探索的科学精神．n 0、1、2、3、4、 5、 6、 7、 8 、
2n 1、2、4、8、16、32、64、128、256、9、 10、 11、 12、 ……
512、1024、2048、4096、…… 对数发明以前，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法。让我们来看看下面这个例子： 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂。如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现。比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6，256对应8；然后再把第一行中的对应数字加起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了。1.对数的运算性质探究一：化为对数式，它们之间有何关系？结合指数的运算性质能否将
化为对数式？将指数式试一试:由得由得从而得出探究二：结合前面的推导，由指数式又能得到什么样的结论？试一试:由得又能得到什么样的结论？试一试:由得探究三：结合前面的推导，由指数式探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0)
证明：设 由对数的定义可以得： 即证得 这个公式叫做换底公式结论：对数的运算性质(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;
练习:用 表示下列各式:解：点评：牢记对数的运算法则，直接利用公式。例2 计算（1） （2） 解： (1)例3 计算： 点评：注意公式的直接应用。 （3） 法二： 点评：注意公式的逆用点评：注意公式的正用，逆用。练习1:（1） （4） （3） （2） 求下列各式的值：解:练习2.利用对数的换底公式化简下列各式其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.例4.20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的震幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M.其计算公式为 （1）假设在一次地震中,一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）； （2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.解:(1)因此，这是一次约为里式4.3级的地震.（2）由可得当M=7.6 时，地震的最大振幅为当M=5时，地震的最大振幅为所以两次地震的最大振幅之比为答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍。可以看到，虽然7.6 级地震和5级地震仅相差2.6级，但7.6级地震的最大振幅却是5级地震最大振幅的398倍.所以,7.6 级地震的破坏性远远大于5级地震的破坏性.1.对数的运算法则。
2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。
3.对数运算法则的应用。
4.换底公式的证明及应用。积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a?1，M>0，N>0,那么：(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1;不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。课件25张PPT。2.2.2 对数函数及其性质
第1课时 对数函数的图象及性质 （1）理解对数函数的概念；（2）掌握对数函数的图象和性质；（3）进一步加强数形结合意识。 人们经过长期实践，获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系： 由指数与对数的关系，此指数式写成对数式是： 根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量
P，通过对应关系 ，都有一个确定的年代t与它对应，所以，t是P的函数．思考：湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％．你能推算马王堆古墓的年代吗？ 考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡生物体的残留物，利用（*）式估算出土文物或古遗址的年代．答案:t≈2193 一般地，把函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．1.对数函数的定义2.对数函数的图象（1）作y=log2x图象列表描点连线（2）同样，通过列表、描点、连线作 的图象Oyx1注意：利用换底公式，可以得到：又点(x,y)和点(x,-y)关于x轴对称，所以y=log2x和
的图象关于x轴对称.因此我们还可以利用对称得到 的图象.yOx1（1）在同一坐标系中画出下列函数的图象 思考0 11（2）你能否猜测 与
分别与下图哪个图象相似.xy图
像性
质定义域值域例1：求下列函数的定义域：
（1）y=logax2 （2）y=loga(4-x)
（3）y=loga(9-x)分析：主要利用对数函数y=logax的定义域为
（0，+∞）求解。（1）因为x2 >0,所以函数y=loga(4-x)的定义域是所以函数y=loga(9-x)的定义域是所以函数y=logax2的定义域是（2）因为4-x>0,（3）因为9-x>0,{x│x<9}即x<9,{x│x<4} 即x<4，{x│x≠0}即x≠0，练习1：求下列函数的定义域：解：（1）因为1-x>0,即x<1所以函数y=log5(1-x)的定义域为{x|x<1}（2）因为x>0且所以函数 的定义域为{x|x>0且x≠1}即x>0且x≠1（3）因为 ，即所以函数 的定义域为（4）因为x>0且所以函数 的定义域为 即小结:由具体函数式求定义域,考虑：
（1）分母不等于0；
（2）偶次方根被开方数非负；
（3）零指数幂底数不为0；
（4）对数式考虑真数大于0；
（5）实际问题要有实际意义。例2 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log23.4,log28.5
(2) log0.31.8,log0.32.7
(3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 )解:⑴考察对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5⑵考察对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞log0.32.7⑶ loga5.1, loga5.9 (a＞0,且 a≠1)分析：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此需要对底数a进行讨论:当0＜a＜1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 解：当a＞1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 于是 loga5.1＜loga5.9于是 loga5.1＞loga5.92.分类讨论的思想．点评 1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤：(2)根据对数底数判断对数函数单调性；(3)比较真数大小，然后利用对数函数的单调性判断两对数值的大小．(1)确定所要考查的对数函数；利用对数函数的增减性比较两个对数的大小时，要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.对底数与1的大小关系未明确指出时, 通过本节的学习，说出你的收获。对数函数图 象性 质概 念即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒只是我们成长道路上的一个小小的插曲。课件21张PPT。第2课时 对数函数及其性质的应用 1.进一步掌握对数函数的图象和性质；2.会利用对数函数的图象和性质解决有关问题；3.了解底数相同的指数函数和对数函数互为反函数。 20世纪80年代末，教会用高科技手段澄清了一个历史大悬案，这就是关于耶稣裹尸布真伪的鉴定，鉴定证明了那块使人崇敬了多年的裹尸布是假的，它的原料纤维是十三世纪才种出来的，而此时耶稣已被钉在十字架上1200多年了。这个轰动世界的年代鉴定是由研究碳14含量做出的。 （1）对数函数的定义：函数y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，定义域为(0,＋∞)，值域为R.1.温故知新 （2）对数函数的图象和性质过点（1，0），即当x=1时，y=0 值域： R定义域：（0，+∞）2.图象和性质的应用例1.函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是( )①②11Oxy11Ox11Oy④③11Oxy③例2：比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log67与log76解:(1)∵ log67＞log66=1 且log76＜log77=1 ∴log67 ＞log76（2）log3π与log20.8(2)∵log3π＞log31=0 且log20.8＜log21=0 ∴log3π＞log20.8（3）log27与log37（4）log0.20.8 与log0.30.8(3)(4)1.同底数比较大小时
(1)当底数确定时，则可由函数的单调性直接进行判断;
(2)当底数不确定时，应对底数进行分类讨论;3.若底数、真数都不相同, 则常借助1、0等中间量进行比较 2.同真数的比较大小,常借助函数图象或对数的运算性质变形后进行比较 点评：两个对数比较大小练习 比较大小函数x=log2y,y是自变量，x是y的函数，定义域为(0,
＋∞)，值域为R.函数y＝2x,x是自变量，y是x的函数，定义域为R，
值域为 (0, ＋∞).3.探究：对数函数与指数函数之间的关系这时称函数x=log2y是函数y＝2x的反函数.在函数x=log2y中，y是自变量，x是函数.但是习惯上，通常用x表示自变量，y表示函数.为此,常常对调函数x=log2y中的字母x与y把它写成函数y=log2x.这样对数函数y=log2x与指数函数y＝2x互为反函数。推广 对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数。1.设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较
|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小。|loga(1－x)|－|loga(1+x)|=loga(1－x)+loga(1+x) 解：∵0＜x＜1∴0<1-x<1,1<1+x<2,0＜x2＜1即|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＞0∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|当0
0∴ 0＜(1-x)(1+x)=1-x2<1|loga(1－x)|－|loga(1+x)|即|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＞0∴ |loga(1－x)|＞|loga(1+x)|当a>1时,则有=－loga(1－x)－loga(1+x) =－loga(1－x)(1+x)
=- loga(1-x2)>0当a>1时,有当00且a≠1)在区间[a, 2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值. 解：当a>1时，f(x)=logax在区间[a,2a]上是增函数，综上所述， 或当0 溶液酸碱度是通过pH刻画的. pH的计算公式为
pH＝－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.lg[H+]增大，从而-lg[H+]减小，解：（1）根据对数函数的性质，在(0,+∞)上，随着[H+]的增大,所以，溶液中氢离子的浓度越大，PH就越小，即溶液的酸性越强。（2）当[H+] ＝10－7摩尔/升时，PH=-lg10-7=7,所以，纯净水的PH是7.于是由PH=-lg[H+]知，PH随着[H+]增大而减小，1.掌握利用对数函数的性质比较数的大小的方法；
2.对数函数单调性的灵活应用；
3.对数函数与指数函数互为反函数．作 业1.将log0.73,log87,0.9－3.1由小到大排列.2.已知3lg(x－3)＜1, 求x的取值范围.4.设a>0,且a≠1,比较loga(a2+1)与loga(a3+1)的大小. 3.求下列函数的定义域、值域在学业的峰峦上，有汗水的溪流飞淌；在智慧的珍珠里，有勤奋的心血闪光。