湖北省部分省级示范高中2023~2024学年上学期高二期末测试
数学试卷
考试时间：2024年1月31日
试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用，黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1.过点(1,0)且与直线x+2y-2=0垂直的直线方程为()
A.x-2y-1=0
B.x-2y+1=0
C.2x-y-2=0
D.2x+y-1=0
2.已知数列{an},则“a+a4=a,+a”是“{an}为等差数列”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D,既不充分也不必要条件
3.圆0：x2+y2=1与圆M:x2+y2+2x-2y-7=0的位置关系为（)
A.外离
B.相切
C.相交
D.内含
4.如图，在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AA=2AB,O是底面ABCD的中心，
E,F分别是BB,，DD,的中点，则直线EF与直线OB夹角的余弦值是（)
B.-22
22
3
C.
D
3
高一数学试卷第1页共5页
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5.己知抛物线x2=4y的焦点为F,点M在抛物线上，且MF=3,则M点到y轴的距离为()
A.2√2
B.25
C.2
D.1
6.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方
称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列
{a},则as=()
A.16l
B.171
C.181
D.191
7两个等差数列(a,}和私，}的前n项和分别为5、x,且号=加+2，
n+3’
则4+4等于（)
b7+bis
A.24
107
B.
7
149
C.
149
24
12
D.
3
y
8已知双曲线C:- =(a≥0，b>0)的石焦点为P,过点F作双曲线的一条渐近线的垂线D
垂足为M,若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N,且O示+3OM=4O下(0为坐标原
点)，则双曲线C的离心率为()
A.
c.25
6
2
B.
3
3
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知数列{a,}的前n项和Sn=-2n2+9n(neN),则下列结论正确的是（)
A.数列{a}是等差数列
B.a>as
0=y,W
C.Sn的最大值为10
D.4+a43=0
:式的的火
10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为(2,0)，则（)
A.准线1的方程为y=-2
B.焦点F到准线I的距离为4
C.过点A(-2,0)只有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点出
D.抛物线C与圆x2+y2=9交于M,N两点，则MN=4V2
高二数学试卷第2页共5页
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数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D C A B A D ABC BD AD ACD
13. 24 3 3 214. n2 15. ， 16. y 2 4x(2分)； （3分）
3 3 4
17. 解：（1）设数列 an 的公差为d ，因为 a6 0，
所以 a3 a7 a6 3d a6 d 2d 8 .
解得 d 4 .
所以 an a6 n 6 d 4n 24 ......................................................................................................（5 分）
（2）由（1）可知： a1 4 24 20
20 4n 24 n所以 Sn 2n2 22n .2
令 S 0，得 2n2n 22n 0，
解得： n 11（ n 0舍去）
因为 n N*，所以n的最小值是 12.................................................................................................. (10 分)
18. 解：（1）由圆 C： x2 y2 2，得圆的圆心（0，0），半径 2；
点 A(1, 1)在圆上，设切线斜率为 k
k 1 0所以 1，
1 0
解得 k 1，
故切线方程为 x y 2 0 .................................................................................................................（6 分）
（2）当直线斜率不存在时，直线 x= 1满足条件，
当直线斜率存在时，设 l： y 2 k (x 1)，即 kx y k 2 0，
2
k 2 k 2 2
则圆心到直线距离 d ，所以 1 2 1 k 2
1 k 2
，
3
解得： k ，所以直线 l方程为:3x 4y 5 0
4
综上，直线 l的方程为 x= 1或3x 4y 5 0 ............................................................................（. 12 分）
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19. 解：（1）证明：根据题意，数列 an 满足 an 1 2an 3 2n，
a a 3 a a 3
等式两边除以 2n 1，可得 n 1n 1
n ，即 n 1 nn n 1 ，2 2 2 2 2n 2
a
故数列 n
a 3
n 是以
1 1为首项， 为公差的等差数列； ......................................................（6 分）
2 2 2
a 3
（2）所以 nn 1 (n 1)
1
(3n 1)，所以 a n 1
2 2 2 n
(3n 1) 2 ..
1
由数列 bn 满足bn 1 bn 2nan，可得bn 1 bn (3n 1)，2
可得b 3n bn 1 (n 1)
1 3
n 2(n 2)，
2 2 2
当 n 2时，可得
bn bn bn 1 bn 1 bn 2 b2 b1 b1
3 n 2 3 (n 1) 2 3 2 2 1 3 (n 2)(n 1) 3 2(n 1) 1 n2 5 n 3 ，
2 2 2 2 2 4 4 2
又因为b1 1，适合上式，
所以数列 bn 的通项公式
b 3 2 5 3n n n .................................................................................................（12 分）4 4 2
20. 解：（1）由已知得c 1，
又因为右焦点 F 1,0 与短轴端点间的距离为 2
得b2 （ 2）2 c2 1，...........................................................................................................................（2 分）
2
则C的方程为 x y2 1 .....................................................................................................................（. 4 分）
2
（2）由题可知，若 OPQ面积存在，则斜率不为 0，
所以设直线 l的方程为 x my 1,m显然存在，P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，
x2
y2 1,
联立 2 2 2 消去 x得 m 2 y 2my 1 0，
x my 1,
因为直线 l过点 F ，所以Δ 0显然成立，
y y 2m 1且 1 2 2 ,y1y2 2 .................................................................................................（.. 6 分）m 2 m 2
1 1
因为 S OPQ OF y y y y
2
4 y y
2 1 2 2 1 2 1 2
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
1
( 2m 4 22 ) 2 m 2 m2 2
2 m2 1
..........................................................................................................................................（8 分）
m2 2
即 2 m
2 1 6
m 2 2 4
2
解得m2 2或m2 （舍）...........................................................................................................（10 分）
3
所以直线 l的方程为 x 2y 1 0或 x 2y 1 0 ...............................................................（.. 12 分）
21. 解：（1）证明：由题意得， AB / /CD
又 AB 平面PAB,CD 平面PAB, CD / /平面PAB .
又CD 平面 CDEF ,平面 CDEF 平面 PAB =EF , CD //EF
又 AB AD, EF AD ..................................................................................................................（. 4 分）
(2) 取 AD的中点为O，连接 PO， PA PD, PO AD,
又平面 PAD 平面 ABCD,平面 PAD 平面 ABCD =AD,PO 平面 PAD,
PO 平面ABCD
1 8
VP ABCD AB AD PO ,则 AD PO 43 3
又PO 2 (1 AD)2 4, PO 2, AD 2 2. ..........................................................................（6 分）
2
取 BC的中点为H，以OA,OH ,OP所在直线分别为 x 轴， y轴， z轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，则 P(0，0，2)，B( 2 , 2, 0),D( 2, 0, 0),C ( 2, 2, 0)
∴ PB 2,2, 2 ,CD 0, 2,0
假设存在点G，设 PG PB 0,1 ,G x 1,y 1,z 1 ，
∴ x1, y1, z1 2 ( 2, 2, 2) ，则G( 2 , 2 , 2(1 )) ，
∴DG ( 2(1 ),2 , 2(1 ))，........................（8 分）
设平面GCD的法向量为 n1 x2 , y2 , z2 ，
n1 DG 0 2 1 x2 2 y2 2 1 z2 0 ，可取 n1 1,0, 1 ，...........（10 分）
n1 CD 0 2y2 0
又平面 ABCD的一个法向量 n2 (0,0,1)，因为二面角G CD B的正弦值为
5
5
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
1
∴ cos n
1, n
2 5
2
1
2 2 5 ，解得 或 （3 舍）. 1 1 3
PG 1
存在点G，使得二面角G CD B的正弦值为 5 ，此时 ..................................（12 分）
5 PB 3
22. 解：（1）焦点 F
p ,0 p ，则直线MN为 y 2 x ，
2 2
y 2 p x
2联立 2 ，消去消 y可得 2x2 4 px p 0 ,.....................................................（2 分)
2 2
y 2px
0恒成立，
设M x1, y1 ， N x2 , y2 ，则 x1 x2 2p，
MN x1 x2 p 2p p 6，解得 p 2，............................................................................（3 分）
所以抛物线C的方程为 y2 4x ......................................................................................................（4 分）
（2）设直线 PQ为 x my 2，
x my 2
联立方程 2 ，消 x可得 y
2 4my 8 0，
y 4x
显然： 16m2 8 4 0，
设 P x3 , y3 ，Q x4 , y4 ，则 y3 y4 4m，..............................................................................（6 分）
不妨设点 B 2,t ，
以线段 PA为直径的圆与直线 x 2的另一个交点为 B，
则 AB PB，又 AB x轴，
所以 PB平行 x轴，则 y3 t .
P t
2
设 ,t ，所以 t
2
mt 2，......................................................................................................（8 分）
4 4
t 2
2 8
即 y4 4m t 4 4 t t t
2 16 8
所以 x y4 16
4 ，即Q 2 , ，...........................................................................................（10 分）4 t 2 t t
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
t 8 t
所以直线QB为： y t t16 x 2 x 2 ，
2 2
t 2
令 y 0，解得 x 0，
所以直线QB恒过此定点 0,0 ......................................................................................................（12 分）
{#{QQABLQYUoggIABJAAQgCEwEaCgMQkBGAAAoGABAIsAAASQNABAA=}#}
