山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末学习质量检测数学试题（含答案）

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济南市2024年1月高一期末学习质量检测
数学试题本试卷
共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.（ ）
A. B. C. D.
3.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4.工艺扇面是中国书画的一种常见表现形式.如图所示，已知扇面展开后形成一个中心角为的扇环，其中扇环的外圆半径为，内圆半径为，某同学准备用布料制作这样一个扇面，若不计损耗，则需要布料（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7.如图所示，线段为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上不与重合的点，.作于于，设，则下列不等式中可以直接表示的是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.已知函数，则（ ）
A.为奇函数
B.为增函数
C.的值域为
D.对，方程有两个根
11.如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ）
A.
B.
C.点的坐标为
D.点的坐标为
12.通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.若以集合的子集为元素的族，满足下列三个条件：（1）和在中；（2）中的有限个元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多个元素取并后得到的集合在中，则称族为集合上的一个拓扑.已知全集为的非空真子集，且，则（ ）
A.族为集合上的一个拓扑
B.族为集合上的一个拓扑
C.族为集合上的一个拓扑
D.若族为集合上的一个拓扑，将的每个元素的补集放在一起构成族，则也是集合上的一个拓扑
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为第二象限角，若，则的值为__________.
14.定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为__________.
15.已知函数的图象关于直线对称，则的值为__________.
16.已知函数，若函数有三个零点，则的取值范围是__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求的取值范围.
18.（12分）
已知函数的最大值为3，最小值为1.
（1）求和的值；
（2）把的图象上所有的点向右平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递减区间.
19.（12分）
已知函数为偶函数.
（1）求实数的值；
（2）解不等式.
20.（12分）
如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.
（1）设，求的取值范围及；
（2）求面积的最小值.
21.（12分）
中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30
设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型：
①；
②；
③.
（1）从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式；
（2）根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.
参考数据：.
22.（12分）
已知函数.
（1）若为单调函数，求的取值范围；
（2）设函数，记的最大值为.
（i）当时，求的最小值；
（ii）证明：对.
2024年1月高一期末考试数学试题
参考答案
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C C B D A
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 BC ACD ABC ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【解析】
（1）由题意可知.
当时，，
所以，
（2）因为是的充分不必要条件，
所以 ，则，解得.
18.【解析】
（1）因为，由题意可得解得
（2）由（1）得，所以，
由，得，
所以的单调递减区间为.
19.【解析】
（1）设的定义域为，
因为为偶函数，所以，都有，
即对都成立，
等价于对都成立，
整理得都成立，
所以，解得.
所以的值为1.
（2）由题意，
移项得，
所以，
所以，
整理得，即，
解得，
所以不等式的解集为：.
20.【解析】
（1）因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以.
因为点在线段上运动，所以.
因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
21.【解析】
（1）选择②作为函数模型.
对于模型①，当时，函数无意义，故而排除；
对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除；
对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求；
故应选择模型②.
将前的数据带入，得解得
所以所求函数解析式为.
（2）由（1）中模型可得，即，所以，
即
所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感.
22.【解析】
（1）的对称轴，
由题意可知或，
解得或.
（2）（i）当时，，
所以
当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，；
所以的最小值为2.
（ii）下面根据对称轴对进行讨论：
当时，，
①若，显然
②若，则.
当时，，则，
①若，显然
②若，则.
当时，，
则.
①若，显然
②若，记，则，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以；
当时，易知恒成立，
下面再讨论与的大小关系：
当时，，
当时，，
，
综上所述，.