浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江省绍兴市越城区绍兴会稽联盟2023-2024学年高二上学期1月期末联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 624.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-01-31 23:58:50 | ||
图片预览
文档简介
绝密★考试结束前
2023学年第一学期绍兴会稽联盟期末联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 学号和姓名；考场号 座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列的首项，且满足，则（ ）
A.-11 B.-8 C.16 D.19
2.曲线在点处的切线的斜率（ ）
A.5 B.4 C.-1 D.-2
3.如图，在四面体中，.点在上，且为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A.24里 B.48里 C.96里 D.192里
5.原点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点位于第一象限，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（ ）
A. B. C.1 D.
10.已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.周长为6
B.的最大值为3
C.椭圆的离心率为
D.直线与的斜率的乘积为
11.已知数列满足，则数列（ ）
A.有可能是常数数列
B.有可能是等差数列
C.有可能是等比数列
D.有可能既不是等差数列，也不是等比数列
12.已知正三棱柱的各棱长均等于是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面与平面所成的角是
C.平面平面
D.与平面所成的角的正弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的导数为__________.
14.已知数列满足，则__________.
15.设为曲线上的任意两点，则的最大值为__________.
16.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
18.（12分）已知经过原点的直线与圆相交于两点.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
19.（12分）记为等比数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20.（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（12分）已知点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
22.（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左 右顶点分别为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且满足，求的面积最大值.
2023学年第一学期绍兴会稽联盟期末联考
高二年级数学参考答案
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C D A B A
二 多项选择题（每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC AB BCD ACD
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15.10 16.
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题满分10分）
解：（1）由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
（写成这个给2分）
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意.
18.（本题满分12分）
解：（1）由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得；
（2）设，联立
，
得，
所以，，
由题意得，即，
因为，所以，即，
解得.
19.（本题满分12分）
解：（1）当时，；
当时，，即，
所以等比数列的公比是4，所以，即，得，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，
从而.
（2）由（1）知，，故.
则，
，
两式相减得，
，
故.
20.（本题满分12分）
证明：（1）证法1：因为平面平面，所以.
又为正方形，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
因为，于是.
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
因此.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，设平面的法向量为，则
令，得是平面的一个法向量.
，设平面的法向量为，
则.
令，得是平面的一个法向量.
所以
.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21.（本题满分12分）
解：（1）因为，由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
所以，，
所以动点的轨迹方程为：.
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
所以；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，
代入双曲线方程可得：，
可知其有两个不等的正实数根
解得：，
所以
.
由得，
，
综上所述，的最小值为1.
22.（本题满分12分）
解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且，所以，
因为，所以，因此，
则，
所以椭圆的方程为；
（2）若分别与两坐标轴垂直，则这两条直线中有一条与椭圆相切，不合题意.
所以，直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，
则直线，
联立得，
，
由，
所以，
则，
同理可得：，
所以的面积为：
因为，当且仅当时取等号，
所以，
从而
的面积取得最大值.
2023学年第一学期绍兴会稽联盟期末联考
高二年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级 学号和姓名；考场号 座位号写在指定位置；
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4.考试结束后，只需上交答题纸.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知数列的首项，且满足，则（ ）
A.-11 B.-8 C.16 D.19
2.曲线在点处的切线的斜率（ ）
A.5 B.4 C.-1 D.-2
3.如图，在四面体中，.点在上，且为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A.24里 B.48里 C.96里 D.192里
5.原点到直线的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6.倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，其中点位于第一象限，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度取）最接近（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.设曲线在点处的切线为，则直线的斜率可能的值为（ ）
A. B. C.1 D.
10.已知椭圆的两个焦点为为椭圆的左右顶点，为上一点，则下列结论正确的是（ ）
A.周长为6
B.的最大值为3
C.椭圆的离心率为
D.直线与的斜率的乘积为
11.已知数列满足，则数列（ ）
A.有可能是常数数列
B.有可能是等差数列
C.有可能是等比数列
D.有可能既不是等差数列，也不是等比数列
12.已知正三棱柱的各棱长均等于是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面与平面所成的角是
C.平面平面
D.与平面所成的角的正弦值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的导数为__________.
14.已知数列满足，则__________.
15.设为曲线上的任意两点，则的最大值为__________.
16.在空间直角坐标系中，点为平面外一点，其中，若平面的一个法向量为，则点到平面的距离为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数.
（1）分别求出和的导数；
（2）若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值.
18.（12分）已知经过原点的直线与圆相交于两点.
（1）若，求的斜率；
（2）已知存在轴上的点，使直线的斜率之和恒为0，求的值.
19.（12分）记为等比数列的前项和.已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20.（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，点分别为的中点.
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
21.（12分）已知点，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
22.（12分）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的左 右顶点分别为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，且满足，求的面积最大值.
2023学年第一学期绍兴会稽联盟期末联考
高二年级数学参考答案
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D C D A B A
二 多项选择题（每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 ABC AB BCD ACD
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15.10 16.
四 解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题满分10分）
解：（1）由导数公式得，
由复合函数求导法则得；
（写成这个给2分）
（2）由可得曲线在点处的切线的斜率
，
从而切线方程为，即.
由，可得曲线在处的切线斜率为，
由题意可得，
从而，
此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为，
即，故符合题意.
18.（本题满分12分）
解：（1）由圆，知圆心坐标为，半径为2，
因为，所以点到的距离为，
因为直线经过原点，且由题意易知斜率不可能为0，可设其方程为，
由点到直线的距离公式可得：，
解得；
（2）设，联立
，
得，
所以，，
由题意得，即，
因为，所以，即，
解得.
19.（本题满分12分）
解：（1）当时，；
当时，，即，
所以等比数列的公比是4，所以，即，得，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，
从而.
（2）由（1）知，，故.
则，
，
两式相减得，
，
故.
20.（本题满分12分）
证明：（1）证法1：因为平面平面，所以.
又为正方形，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
因为，于是.
证法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
因此.
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，设平面的法向量为，则
令，得是平面的一个法向量.
，设平面的法向量为，
则.
令，得是平面的一个法向量.
所以
.
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
21.（本题满分12分）
解：（1）因为，由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
所以，，
所以动点的轨迹方程为：.
（2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：
此时，
所以；
②当直线斜率存在时，设直线方程为：，
代入双曲线方程可得：，
可知其有两个不等的正实数根
解得：，
所以
.
由得，
，
综上所述，的最小值为1.
22.（本题满分12分）
解：（1）设椭圆的半焦距为，依题意，可得，
且，所以，
因为，所以，因此，
则，
所以椭圆的方程为；
（2）若分别与两坐标轴垂直，则这两条直线中有一条与椭圆相切，不合题意.
所以，直线的斜率存在且不为零，
不妨设直线，
则直线，
联立得，
，
由，
所以，
则，
同理可得：，
所以的面积为：
因为，当且仅当时取等号，
所以，
从而
的面积取得最大值.
同课章节目录