广东省部分重点高中2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测数学试卷（含解析）

广东省部分重点高中2023—2024学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学科
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知直线的斜率为，则（ ）
A.3 B.-3 C.1 D.-1
3.已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（ ）
A.4 B.5 C.8 D.10
4.在数列中，已知，则（ ）
A.4 B. C.1 D.2
5.若圆与圆恰有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，三角形蜘蛛网是由一些正三角形环绕而成的图形，每个正三角形的顶点都是其外接正三角形各边的中点.现有17米长的铁丝材料用来制作一个网格数最多的三角形蜘蛛网，若该三角形蜘蛛网中最大的正三角形的边长为3米，则最小的正三角形的边长为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
8.已知直线与交于点，则的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二 多选题本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是等差数列，公差不为0，若成等比数列，则（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，在同一个坐标系下，曲线与直线的位置可能是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知为正方体所在空间内一点，且，则（ ）
A.
B.三棱锥的体积为定值
C.存在唯一的，使得平面平面
D.存在唯一的，使得
12.已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，，分别为的中点，为坐标原点，若，则椭圆的离心率可能为（ ）
A. B. C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知点是点在坐标平面内的射影，则__________.
14.等比数列的前项和为，若，则__________.
15.若双曲线的虚轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为__________.
16.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
在数列中，.
（1）证明：数列为等差数列.
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
已知圆过点和，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
19.（12分）
已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆的圆心的运动轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）直线与都经过点且互相垂直，与相交于两点，与相交于两点，求的最小值.
20.（12分）
如图，在三棱锥中，平面是的中点，且.
（1）求的长；
（2）求二面角的正弦值.
21.（12分）
已知是首项为1的等差数列，是公比为2的等比数列，且.
（1）求和的通项公式；
（2）在中，对每个正整数，在和之间插入个，得到一个新数列，设是数列的前项和，比较与20000的大小关系.
22.（12分）
已知椭圆经过点和.
（1）求的方程；
（2）若点（异于点）是上不同的两点，且，证明直线过定点，并求该定点的坐标.
广东省部分重点高中2023-2024学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学科参考答案
1.C 数列的一个通项公式为.
2.B 因为的斜率为，所以，则.
3.D 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，所以，解得.
4.A .
5.A 圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径.因为恰有两个公共点，所以，解得的取值范围是.
6.C 因为，所以共面.
7.B 由题可知，该三角形蜘蛛网中三角形的周长从大到小是以9为首项，为公比的等比数列.设最小的正三角形的边长为米，则，则，得，故最小的正三角形的边长为米.
8.D 由题意可得直线过坐标原点，直线过定点，且，所以与的交点在以为直径的圆上，则点的坐标满足（不含点.可设，则，所以的最大值为.
9.BC 因为成等比数列，所以，则.的符号不确定.故选BC.
10.BD 因为，所以曲线，直线.当时，曲线表示的是圆，
直线的横截距与纵截距相等.A不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大.B正确.当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小.C不正确.当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，直线的横截距为正，纵截距为负.正确.
11.AB 因为，所以在线段上.易
证得平面，由平面，得，
从而.A正确.由平面在线段上，
可得三棱锥的体积为定值.正确.因为在线段上，
所以平面平面恒成立.C不正确.以为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，则.由，得，方程无解，故不存在实数，使得.D不正确.
12.BD 设为椭圆的左焦点，所以，则.由椭圆的对称性，得四边形为平行四边形，故，且两点不在轴上，则.故选.
13.2 因为点是点在坐标平面内的射影，所以.
14.28 由题可知的公比不为-1，故成等比数列.因为，所以，解得.
15. 因为双曲线的虚轴长为4，所以，解得，所以该双曲线的渐近线方程为.
16.24 由题可知则这三个数可适当排序后成等比数列，则3必是等比中项，则这三个数可适当排序后成等差数列，则3必不是等差中项，若是等差中项，则，解得，则，故，若是等差中项，则，解得，则.故.
17.（1）证明：因为，所以.
又，所以是首项为，公差为的等差数列.
（2）解：由（1）可知，
则，
则.
18.解：（1）设圆的方程为，
所以有
解得
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由，得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
19.解：（1）设圆心，则，
整理得，故的方程为.
（2）由题可知，与的斜率均存在，设的方程为的方程为.
联立方程组整理得，
则，
同理可得，
则，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故的最小值为256.
20.解：（1）因为平面，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，由，得.
因为是的中点，所以，则.
又，所以，
解得，故.
（2）由（1）可知，，则.
设平面的法向量为，则
令，得.
设平面的法向量为，则
令，得.
.
故二面角的正弦值为.
21.解：（1）设数列的公差为，由，得，
由，得，即，
解得
所以.
（2）因为，当时，，所以，
.
令，
则，
所以，
所以，所以，
则.
22.解：（1）由题意得，
把点的坐标代入，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）（方法一）设直线的方程为，联立方程组
消去得，可得，
解得，所以点的坐标为.
因为，所以直线的斜率为，同理可得点.
当时，有，解得，直线的方程为.
当时，直线的斜率
，则直线的方程为，
即
，
即，直线过定点.
当时，直线也过点.
综上，直线过定点.
（方法二）当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，
联立方程组消去得，
，即.
设，则，
.
因为，所以，
即，
，
，
化简得，
解得或，
所以直线的方程为或（舍去），
所以直线过定点.
当直线垂直于轴时，设它的方程为，
因为，所以.
又，解得或（舍去），所以此时直线的方程为，也过点.
综上，直线过定点.