第六章 6.2.3 向量的数乘运算 课时练（含答案）

6.2.3　向量的数乘运算
1．下列说法中正确的是(　　)
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则存在实数λ，使b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
2．(多选)下列各式计算正确的有(　　)
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
3．(多选)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
4．(多选)下列各组向量中，一定能推出a∥b的是(　　)
A．a＝－3e，b＝2e
B．a＝－e，b＝e
C．a＝e1－e2，b＝－e1
D．a＝e1－e2，b＝e1＋e2＋
5．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D.
6.如图，向量，，的终点在同一直线上，且＝－3，设＝p，＝q，＝r，则下列等式中成立的是(　　)
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
7．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
8.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝________.(用，表示)
9．计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
(2)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．
10．设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线．
11．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于(　　)
A. B.
C. D.
12．已知在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD为(　　)
A．梯形 B．正方形
C．平行四边形 D．矩形
13．在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若＝＋λ，则λ等于(　　)
A. B. C. D.
14．已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
15.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则3x＋6y等于(　　)
A. B．－ C．－6 D．6
16．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
6.2.3　向量的数乘运算
1.D　2.ACD　3.AB　4.ABC　5.D　6.A　7.±　8.－
9.解　(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
10.(1)证明　∵＝a＋b，
＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)
＝5.
∴，共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线.
(2)解　∵ka＋b与a＋kb反向共线，
∴存在实数λ(λ<0)，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，
∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，
∴(舍去)或
∴k＝－1.
11.C
12.A　[∵＝a＋2b，
＝－5a－3b，
∴与不共线，
∵＝＋＋
＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)
＝－8a－2b＝2(－4a－b)，
∴＝2.
∴与共线，且||＝2||.
又∵这两个向量所在的直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.]
13.B　[方法一　由题意设＝＋m，
＝＋m(－)，
＝(1－m)＋m，
1－m＝，
∴m＝λ＝.
方法二　由A，B，D三点共线可知，＋λ＝1，∴λ＝.]
14.3
解析　方法一　∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心.
∴＋＝3，∴m＝3.
方法二　在△ABC中，
＝－，＝－，
若＋＝m成立，则
(－)＋(－)＝m成立，
整理得，＋＋(m－2)＝0，
由已知可得，m－2＝1，即m＝3.
15.D　[＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋－
＝＋.
∵＝x＋y，
∴x＋y＝＋，
∴＝，
又与不共线，
∴x－＝0且－y＝0，
故x＝，y＝.∴3x＋6y＝6.]
16.解　b与a＋c共线.证明如下：
∵a＋b与c共线，
∴存在唯一的实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，
∴存在唯一的实数μ，
使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.
∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，
∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.
故b与a＋c共线.