第六章 6.2.4 向量的数量积(一) 课时练（含答案）

6.2.4　向量的数量积(一)
1．若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a·b等于(　　)
A．－3 B．－6 C．6 D．2
2．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是(　　)
A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
3.如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10 N，方向与水平面成60°角．则当小车向前运动10 m时，力F做的功为(　　)
A．100 J B．50 J C．50 J D．200 J
4．(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是(　　)
A．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
B．向量a与向量b夹角的范围是[0，π)
C．若a⊥b，则a·b＝0
D．|a|＝
5．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
6．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为(　　)
A．3 B. C．2 D.
7．已知向量a，b均为单位向量，a·b＝，则a与b的夹角为________．
8．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．
9．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，e为与b同向的单位向量．
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求a在b上的投影向量．
10.如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．
11．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．向量a在向量b上的投影向量可表示为·
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，则，的夹角为45°
D．若a·b＝0，则a⊥b
12．已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于(　　)
A．－7 B．7 C．25 D．－25
13．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(　　)
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
14．在△ABC中，＋＝0，·＝，则△ABC为(　　)
A．直角三角形
B．三边均不相等的三角形
C．等边三角形
D．等腰非等边三角形
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．
16.如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四等分点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
6.2.4　向量的数量积(一)
1.B　2.C　3.B　4.AB　5.A　6.B　7.　8.b
9.解　(1)由a·b＝|a||b|cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
∴θ＝120°.
(2)a在b上的投影向量为
|a|cos θe＝e＝－e.
10.解　(1)若＝，
则＝＋，
故x＝y＝.
(2)因为||＝4，||＝2，
∠BOA＝60°，所以∠OBA＝90°，
所以||＝2.
又因为＝3，所以||＝.
所以||＝
＝，cos∠OPB＝.
设与的夹角为θ，
所以与的夹角θ的余弦值为－.
所以·＝||||cos θ＝－3.
11.AB　12.D　13.A
14.C　[∵在△ABC中，A，B，C∈(0，π)，
＋＝0，
·＝，
∴＋＝0，
即||cos A－||cos C＝0，
∴cos A＝cos C，∴A＝C.
∵·＝||||cos B
＝||||，
∴cos B＝，∴B＝，
∴△ABC为等边三角形.]
15.90°
解析　由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，
|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，
OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
16.解　(1)由已知可得＝，连接MA，MB(图略)，
四边形OAMB是菱形，
则＝＋，
所以＝－
＝－(＋)
＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，
且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可.
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°
＝.
当MC与MO(或MA)重合时，MC最大，此时MC＝1，
则·＝cos 60°＝.
所以·的取值范围为.