2023 学年第一学期期末教学质量调测
高三数学试题参考答案
一、选择题
1-4 CBCA 5-8 DBBC
二、选择题
9.ACD 10.AD 11.AB 12.AB
三、填空题
2
13．270 14．4或 5 15 289 a． 16．9
144
四、解答题
A
17．（1）由已知得，bsin( ) asin B，
2 2
sin Bcos A sin Asin B(sin B 0)，
2
cos A 2sin A cos A sin A 1 ………………………………4 分
2 2 2 2 2
π
∵△ABC为锐角三角形，∴ A .………………………………5 分
3
a b c
（2）由正弦定理得 4，………………………………6 分
sin A sin B sinC
则b 4sin B,c 4sin(B
)
3
a b c 2 3 4sin B 4sin(B )
3
2 3 4 3 sin(B ) ，………………………………8 分
6
0 B
2 2
因为 得 B ，得 B ( , )
0 2 B 6 2 6 3 3
3 2
所以 sin(B ) ( 3 ,1]，得 a b c (2 3 6,6 3].………………………………10 分
6 2
S
18.（1）由已知得，设{ n }
S S
公差为 d , 4 1 3d 3，则 d 1，……………………1 分
n 4 1
S
求得 n = -n +9，\S = -n2n +9n，………………………………2 分n
当 n 2时， an Sn Sn 1 10 2n,………………………………4 分
a1 8符合上式，∴an 10 2n, n N
*
………………………………6 分
（2）由（1）知 an 10 2n，令 an 0，得 n 5，
高三数学参考答案 第 1 页 共 4 页
{#{QQABJQQUggggABBAAQgCEwFKCAIQkBAAAIoGQBAEoAAASBNABAA=}#}
当 n 5时，则Tn a1 a2 an a1 a2 an Sn n
2 9 n………………………8 分
当 n 6时，则Tn a1 a2 an a1 a2 a5 a6 a7 an
S5 Sn S5 2S5 Sn 2 9 5 25 9n n2 n2 9n 40；………………………10 分
n2 9n,n 5 Tn .………………………………12 分
n
2 9n 40,n 6
9 36 9 36
19．（1）根据分层抽样，A水果需要抽取 = =4，
36+27+18 81
9 27
B 水果需要抽取 =
9 27 =3
36+27+18 81
9 18 9 18
C 水果需要抽取 = =2………………………………6 分
36+27+18 81
（2） X 0,1,2,3,4
P(X 0) C
4
5 5
3 1
4 ， P(X 1)
C5C4 40 20 4 ，C9 126 C9 126 53
2 2 1 3 4
P(X 2) C5C4 60 30 P(X 3) C5C4 20 10 C 1 44 ， 4 ， P(X 4) C 49 126 53 C9 126 53 C9 126
X 0 1 2 3 4
5 20 30 10 1
P
126 53 53 53 126
………………………………10 分
E(X ) 0 5 1 20 30 10 1 112所以 2 3 4 ………………………………12 分
126 53 53 53 126 53
20.（1）取 AC 的中点O，连接OP,OB，
因为 ABC是边长为 2 的正三角形，所以OB AC，由PA PC，所以OP AC，……………………3 分
又OB OP O,OB,OP 平面OPB，所以 AC 平面OPB，
又 PB 平面OPB，所以 PB AC；……………………6 分
（2）由（1）得OP AC，OB AC，因为平面 PAC 平面 ABC且交线为 AC，
所以OP 平面 ABC，
如图，以点O为原点，建立空间直角坐标系，则
A 1,0,0 ,P 0,0, 15 ,C 1,0,0 ,B(0, 3,0) ，……………………8 分
设 PE PB(0 1) ,则 PB 0, 3, 15 ,PE 0, 3 , 15
高三数学参考答案 第 2 页 共 4 页
{#{QQABJQQUggggABBAAQgCEwFKCAIQkBAAAIoGQBAEoAAASBNABAA=}#}
设平面 PAB的法向量为m x, y, z ，
n PB 3y 15z 0
AB 1, 3,0 ，则有 ，取m 15, 5,1 ……………………9分
n AB x 3y 0
设平面 ACE的法向量为 n x, y, z ， AE AP PE 1, 3 , 15 15
n AC 2x 0
则有
，所以n 0, 5,
，……………………10 分
n AE x 3 y ( 15 15 )z 0 1
5
若平面 PAB 平面 ACE，则m n 0 5 0，求得 ,……………………11 分
1 6
15 2
所以 | PE | . ……………………12 分
6
21.（1）由已知得，MN中点为 (2,1)，设M (x1, y1),N (x2 , y2 )
(x1 x2 )(x1 x2 ) (y1 y2 )(y1 y2 )
a2
2 0，……………………2 分b
k y1 y由 2 1x x 得， a
2 2b2，……………………4 分
1 2
e 2得 .……………………6 分
2
2 x
2 y2
（ ）由（1）得椭圆C的方程为： 1 .
6 3
设D x3 , y3 ,E x4 , y4 ，直线DE的方程为 x my 3，
x2 y2
1
6 3 m2 2 y2 2 3my 3 0，
x my 3
y3 y
2 3m
4 2 , y y
3
,（※）……………………8 分
m 2 3 4 m2 2
过 F 作 x轴的垂线交 AD,BE分别于点G,H
y3 y3
易知直线 AD : y (x 6) G( 3, ( 3 6))x3 6
,得 x3 6
y y4 y4同理直线 BE : (x 6) ,得H ( 3, ( 3 6))x4 6 x4 6
|GF | y 3 ( 3 y 6) 3得 ( 3 6)x3 6 my
，
3 3 6
|HF | y 4 ( 3 6) y 4 ( 6 3)
x4 6 my4 3 6
1 m 1 1 m 1
|GF | ，
3 6 y3 | FH | 6 3 y4
高三数学参考答案 第 3 页 共 4 页
{#{QQABJQQUggggABBAAQgCEwFKCAIQkBAAAIoGQBAEoAAASBNABAA=}#}
1 1 m m
由（※）知， y3 y
，……………………10 分
4 6 3 6 3
得 |GF | | HF |.
GF
k1 tan GAF BF 6 3 AF 3 2 2 ……………………12 分
k2 tan HBF HF AF 6 3
BF .
22.（1）由题意知 f (x)的定义域为 (0, ) .
f (x) 1 1 (1 1 )e x x 1 e
x
对已知函数求导可得 (1 )……………………2分
x x x2 x x
令 f (x) 0，得 x 1 ，若 f (x) 0，则 x 1，若 f (x) 0， 0 x 1.
所以函数 f (x)在 (0,1)单调递减，函数 f (x)在 (1， )单调递增.……………………4 分
（2）由题意知 f (x)的一个零点小于 1，一个零点大于 1，不妨设 x1 1 x2 ,要证 x1x2 1，
1 1 1 1
即证 x1 x， （0,1） f (x ) f ( ), f (x ) f (x ), f (x ) f ( ),x ，因 1 x ，所以 12 2 x
因为 1 2 所以 2
2 x2
e x 1 1 1
即证： ln x x xe x ln 0, x (1, )
x x x
e x 1
即: xe x 1 2[ln x x ] 0, x (1, )……………………6 分
x x
e x 1x 1 1
1 1 1 x 1 e x 1
设 g(x) xe , (x 1)，则 g (x) （ x2 )e [e
x x e x ( )] ( e x ).
x x x x2 x x
(x) e
x
设 (x 1)，则 (x)
1 1
( x
x x x2
)e 0，所以 (x) (1) e，
1 e x 1
而 e x x e,所以 e 0，x
所以 g (x) 0所以 g(x)在 (1， )单调递增，即 g(x) g(1) 0，
e x 1
所以 xe x 0……………………8 分
x
2 2
令 h(x) ln x
1
(x 1 ), x 1 1 1，则 h (x) (1 1 ) 2x x 1 (x 1) 2 02 x x 2 x 2x2 2x2
所以 h(x)在 (1， )单调递减，故 h(x) h(1) 0， ln x
1
(x 1 ) 0……………………10 分
2 x
e x 1 1
所以 xe x 2[ln x x ] 0, x (1, )，所以 x1x2 1，……………………12 分
x x
高三数学参考答案 第 4 页 共 4 页
{#{QQABJQQUggggABBAAQgCEwFKCAIQkBAAAIoGQBAEoAAASBNABAA=}#}2023学年第一学期期末教学质量调测
高三数学试题
注意事项：
1.本科考试分为试题卷和答题卷，考生须在答题卷上答题，
2.答题前，请在答题卷的规定处用黑色字迹的签字笔或钢笔填写学校、班级、姓名和准考
证号.
3.试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.已知集合A={X×>3或X<2,B={x22x-5>1},则(CA)∩B=
A月)
c.3
D
2.若1+
则1-ai=
a-i
=i(aeR,i为虚数单位)，
A.2
B.√2
C.3
D.2W5
3.函数y=ln(x2-2x)的单调递减区间是
A.(-0,1)
B.(L,+o)
C.(-D,0)
D.(2,+0)
4.已知平面向量a=(10sin0,1),b=(cos0,3),若a⊥6，则tan0=
A或-3
B或-3
c
D.咳3
5.已知命题P:函数f(x)=2x3+X-a在(1,2]内有零点，则命题P成立的一个必要不充分条件是
A.3≤a<18
B.3
C.a<18
D.a≥3
6.直线mx-ny+m-n=0交曲线x2+y2-2y-24=0于点AB,则|AB|的最小值为
A.25
B.45
C.3
D.25
7.已知xy为非负实数，且X+2y=2,则+2Y的最小值为
x y+1
3
B.9
c
D
8.若对任意实数×≥0，恒有2(e*+2mx)+8≥x2+4m2成立，则实数m的取值范围是
B.[-Vio
,m2-21
e2-2g
D.2
高三数学-1（共4页）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，
9.己知a∈R,关于×的一元二次不等式(ax-2)(x+2)>0的解集可能是
A.x1X>2或x<-2
B.{XX>-2}
a
c.x1-2D.x12a
10.已知直线m,n为异面直线，m⊥平面，n⊥平面B,则下列线面关系可能成立的是
A.m⊥n
B.m⊥平面B
C.平面a/平面B
D.平面a⊥平面B
11.已知等差数列{a}的前n项和为S,S=50,S,=35,则
A.数列{2}为等比数列
B.S。=0
C.当且仅当n=4时，S,取得最大值D.S,+8+s+…+S。--5n+75n
23
n
4
12.双曲线C:X-y
a2b2
=1(a>0,b>0)上一动点P(x,ya),F,F2为双曲线的左、右焦点，点G(x,y)
为△PFF,的内切圆圆心，连接PG交x轴于点M(m,O),则下列结论正确的是
A.当X>a时，点(a,0)在△PFF2的内切圆上B.mX=a2
C.G(ta,-Y_)
a+xo
D.当X<-a时，X=-a(-b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.若3x-
的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含x2的项的系数为
14.已知函数f(x)=。x2-(a+3)×+3aln×+2在[4,6上存在极值点，则正整数a的值是
15.卢浮宫金字塔位于巴黎卢浮宫的主院，是由美籍华人建筑师贝聿铭设计的，已成为巴黎的
城市地标卢浮宫金字塔为正四棱锥造型，该正四棱锥的底面边长为a,高为a,若该四
棱锥的五个顶点都在同一个球面上，则该外接球的表面积是▲
16.己知O为坐标原点，F为抛物线C:y2=4x的焦点，过点P(2,0)的直线I交C于A、B两点，
直线AF、BF分别交C于M、N,则IAM|+|BNI的最小值为▲，
高三数学-2（共4页）