试卷类型:A
深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题
年级:高一 科目:数学
考试用时:120分钟 卷面总分:150分
注意事项:答案写在答题卡指定的位置上,写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B铅笔.
参考:以10为底的对数叫常用对数,把记为;以为底的对数叫自然对数,把记为.
一 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况,拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老 中 青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异,而男 女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的是( )
A.抽签法 B.按性别分层随机抽样
C.按年龄段分层随机抽样 D.随机数法
2.下列与的终边相同的角的表达式中,正确的是( )
A. B.
C. D.
3.角的终边与单位圆相交于点,且点的横坐标为,则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知角,且,则的值为( )
A. B. C. D.
5.健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139和60~89,心脏跳动时,血压在增加或减小,血压的最大值 最小值分别为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数为为标准值.设某人的血压满足函数式,其中为血压为时间.给出以下结论:
①此人的血压在血压计上的读数为
②此人的血压在健康范围内
③此人的血压已超过标准值
④此人的心跳为80次/分
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴,下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图.根据该图,下列说法错误的是( )
A.2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于
B.2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于
C.2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为
D.2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为
7.将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,若在上有两个不同的零点,则( )
A. B. C. D.
8.如果对于任意整数都是有理数,我们称正整数是“好整数”,下面的整数中哪个是最大的“好整数”( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是( )
A.度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B.1度的角是周角的弧度的角是周角的
C.根据弧度的定义,一定等于弧度
D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短有关
10.下列各式中,值是的是( )
A.
B.
C.
D.
11.2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校组织了“一带一路”知识竞赛,将学生的成绩(单位:
分,满分:120分)整理成如图的频率分布直方图(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),则( )
A.该校竞赛成绩的极差为70分
B.的值为0.005
C.该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分
D.这组数据的第30百分位数为81
12.在平面直角坐标系中,已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点则下列结论正确的是( )
A.
B.是的图象的一条对称轴
C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度,所得到的函数解析式为
D.在内恰有3个零点
三 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某班级有50名同学,一次数学测试平均成绩是92分,如果30名男生的平均成绩为90分,那么20名女生的平均成绩为__________分.
14.已知,则__________.
15.已知函数是上的奇函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值为__________.
16.的取值范围是__________.
四 解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
已知.
(1)化简;
(2)若是第三象限角,且,求的值.
18.(本题满分12分)
据调查,某市政府计划试行“用水定额管理”,即确定一个合理的居民用水量分界值(单位:吨):月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况,通过抽样,获得了户居民某年的月均用水量(单位:吨),其中月均用水量在内的居民人数为39人,并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求和的值;
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨,试估计的值;
(3)在(2)的条件下,若实施阶梯水价,月用水量不超过吨时,按3元/吨计算,超出吨的部分,按5元吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元,则该市居民月用水量最多为多少吨?
19.(本题满分12分)
已知函数.
(1)若,求函数的值域;
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点,求的取值范围.
20.(本题满分12分)
某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为),这些凤眼莲在湖中的曼延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为,凤眼莲的覆盖面积(单位:)与月份(单位:月)的关系有两个函数模型与可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.
(参考数据:).
21.(本题满分12分)
已知函数的最小正周期为,且直线是其图象的一条对称轴.
(1)求函数的解析式;
(2)将函数的图象向右平移个单位,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作,已知常数,且函数在内恰有2023个零点,求常数与的值.
22.(本题满分12分)
已知二次函数满足:
(1)求的解析式;
(2)求的单调性与值域(不必证明);
(3)设,若,求实数的值.
深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题评分标准
年级:高一科目:数学
单项选择题:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B C C B A
多项选择题:
题号 9 10 11 12
答案 ABC ACD BC AB
二 填空题:
13.95 14. 15. 16.
一 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【详解】依题意,“居民人数多”,“男 女使用手机扫码支付的情况差异不大”,
“老 中 青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”,
所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.
故选:C
2.【详解】因为,终边落在第四象限,且与角终边相同,
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确;
选项书写不规范,选项D表示角终边在第三象限.
故选:B.
3.【详解】根据三角函数定义可知,
又,则.
故选:A
4.【详解】因为,所以,因为,所以.
故选:B.
5.【详解】因为某人的血压满足函数式,
又因为,所以,即,
即此人的血压在血压计上的读数为,故①正确;
因为收缩压为,舒张压为,均超过健康范围,
即此人的血压不在健康范围内,故②错误,③正确;
对于函数,其最小正周期,
则此人的心跳为次/分,故④正确;
故选:C
6.【详解】由题图可知:2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为说法正确;
2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为,B说法正
确;
2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为说法错误;
2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为,D说法
正确.
故选:C.
7.【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的,得到的图象,
再向右平移个单位长度,得到的图象.
当时,,令,
则关于的方程在上有两个不等的实数根,所以,
即,则,所以.
故选:B
8.【详解】考虑三角函数的定义域,将选项代入验证可得最大“好整数”为1
故选:A
二 多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项是符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知,度与弧度是度量角的两种不同的度量单位,所以正确;
由圆周角的定义知,1度的角是周角的弧度的角是周角的,所以正确;
根据弧度的定义知,一定等于弧度,所以正确;
无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径长短无关,只与弧长与半径的比值有关,故D不正确.
故选:ABC.
10.【详解】,A正确;
,
B不对;
,C正确;
,D正确.
故选:ACD
11.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值,
所以这组数据的极差可能为70,也可能为小于70的值,所以错误;
因为,解得,
所以正确;
该校竞赛成绩的平均分的估计值
分,所以正确.
设这组数据的第30百分位数为,
则,解得,
所以错误.
故选:BC.
12.【详解】因为,所以由三角函数的定义得,
,所以,
则,
A:,故A正确;
B:因为,所以是的图象的一条对称轴,故B正确;
C:将函数图象上的所有点向左平移个单位长度,所得到的函数解析式为,故C错误;
:令,得,解得,
仅,即符合题意,
即在内恰有两个零点,故错误.
故选:AB
三 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.【详解】设所求平均成绩为,由题意得.
故答案为:95
14.【详解】因为且,则,
又,所以,且,
所以,则,
,
所以
.故答案为:
15.【详解】因为函数是上的奇函数,
则,即,
又因为,所以,因为,所以;故;
又因为图象关于点对称,则,所以,
因为函数在区间上是单调函数,则,得;所以,故答案为:.
16.【详解】
由,得,
令,则,则,
所以,当且仅当,即时取等号,
且,当且仅当,即时取等号,
所以的取值范围为.
故答案为:
四 解答题:本题共6小题,共20分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【详解】(1)
(2)由诱导公式可知,即
又是第三象限角,所以
所以
18.【详解】(1),.
用水量在的频率为(户)
(2),
,
(吨)
(3)设该市居民月用水量最多为吨,因为,所以,则,解得,
答:该市居民月用水量最多为20.64吨.
19.【详解】(1)由题意得
,
当,则,则,则,
即函数的值域为;
(2)由题在区间上有且仅有两个零点,
当时,,原问题转化为
在有且仅有2个零点,
故,解得,即的取值范围是.
20.【详解】(1)函数与在上都是增函数,
随着的增加,函数的值增加的越来越快,
而函数的值增加的越来越慢,
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快,因此选择模型符合要求,-----2分根据题意可知时,时,,
所以,解得,故该函数模型的解析式为
(2)当时,,元旦放入凤眼莲的覆盖面积是,
由,得,
所以,
又,所以,
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
21.【详解】(1)由三角函数的周期公式可得,
令,得,
由于直线为函数的一条对称轴,所以,,
得,由于,则,
因此,;
(2)将函数的图象向右平移个单位,
得到函数,
再将所得的图象上每一点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为,
,
令,可得,
令,得,
则关于的二次方程必有两不等实根,则,则异号,
(i)当且时,则方程和在区间均有偶数个根,从而方程在也有偶数个根,不合乎题意;
(ii)当时,则,当时,只有一根,有两根,
所以,关于的方程在上有三个根,
由于,则方程在上有个根,
由于方程在区间上无实数根,方程在区间上有两个实数解,因此,关于的方程在区间上有2024个根,不合乎题意,
(iii)当,则
当时,只有一根,有两根,
所以,关于的方程在上有三个根,
由于,则方程在上有个根,
由于方程在区间上只有一个根,方程在区间上无实数解,
因此,关于的方程在区间上有2023个根,合乎题意;
此时,,得,
综上所述:
22.【详解】(1)由题意,令,则,
有,故
(2)函数,由,即定义域为,
且在上单调递减及单调递增
所以在上单调递减.
且的值域是
(3)结合(2)结论知在上单调递减且,
又在上单调递增且
故当时,时,,
由恒成立,
即在上恒成立,设,
则不等式在上恒成立,
①当时,不等式化为,显然不满足恒成立;
②当时,将代入得,与矛盾;
③当时,只需,
综上,实数的值为-1.