永州市2023-2024学年高二上学期期末质量监测
数 学
注意事项:
1.本试卷共150分,考试时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效.
3.考试结束后,只交答题卡.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.正项等比数列,,则
A.8 B.4 C.2 D.1
2.直线l的方程为,则l的倾斜角是
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.椭圆的焦点在x轴上,长轴长等于4,离心率,则椭圆的标准方程是
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系Oxyz中,点,点C是点关于z轴的对称点,则
A. B. C. D.
5.抛物线C:()上的点与焦点F的距离是2,则
A.1 B. C. D.2
6.如图,正三棱柱中,点E为正方形的中心,点F为棱的中点,则异面直线BF与CE所成角的正切值为
(第6题图)
A. B. C. D.2
7.双曲线C:(,)的左焦点为,点,直线与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,且,则C的渐近线方程为
A. B. C. D.
8.各项均不为零的数列的前n项和为,,,,且,则的最小值等于
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.已知平面与平面平行,若平面的一个法向量为,则平面的法向量可以是
A. B. C. D.
10.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排的形状,把数分成许多类,如图1,图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数,如图2,图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数为数列,正方形数为数列,则
(图1) (图2)
A. B. C. D.
11.在长方体中,,,点E是正方形内部或边界上异于C的一点,则下列说法正确的是
A.若平面,则
B.不存在点E,使得
C.若,则存在的值为
D.若直线与平面所成角的正切值为2,则点E的轨迹长度为
12.已知双曲线E:(,),过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点,与y轴相交于点A,的内切圆与边相切于点B﹐设,则下列说法正确的是
A.的最小值为定值
B.若,则
C.若,过点且斜率为k的直线l与E有2个交点,则
D.若,则的内切圆与的内切圆的面积之和的最小值为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,,则 .
14.已知等差数列的前n项和为,且,,则 .
15.已知点,,若在直线l:上至少存在3个不同的点P,使得△PAB为直角三角形,则实数a的取值范围为 .
16.表示以点为中心的椭圆,如图所示,为椭圆C:的左焦点,Q为直线上的一点,P为椭圆C上的一点,以FP为边作正方形FPAB(F,P,A,B按逆时针排列),当P在椭圆上运动时,的最小值为 .
(第16题图)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
△ABC的顶点是,,.
(1)求边AB上的高所在直线的方程;
(2)求过点A,B,C的圆方程.
18.(本题满分12分)
如图,在多面体ABCDEF中,DE⊥平面ABCD,AD⊥DC,AF∥DE,AB∥DC,,,,H为CE的中点.
(第18题图)
(1)求证:BH∥平行ADEF;
(2)求点B到平面CEF的距离.
19.(本题满分12分)
已知数列是递增的等差数列,,是与的等比中项,
(1)求的通项公式;
(2)记,求数列的前n项和.
20.(本题满分12分)
如图,矩形是圆柱的一个轴截面,、O分别为上下底面的圆心,E为的中点,,.
(第20题图)
(1)当点A为弧BC的中点时,求证:AO⊥平面;
(2)若点A为弧BC的靠近C点的三等分点,求直线AE与平面所成角的正弦值.
21.(本题满分12分)
已知正项数列前n项和为,满足,数列满足,记数列的前n项和为.
(1)求数列的通项公式;
(2)求满足不等式的正整数n的最大值.
22.(本题满分12分)
已知点A,B关于坐标原点O对称,,圆M过点A,B且与直线相切,记圆心M的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过曲线上的动点P作圆G:的切线,,交曲线于C,D两点,对任意的动点P,都有直线CD与圆G相切,求t的值.
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数学参考答案及评分标准
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C D D B D
二、多项选择题
题号 9 10 11 12
答案 AC ACD AD BCD
三、填空题
13. 14.3 15. 16.
小题部分解析:
8.由题知:
①
②
②-①得
∵
∴
∵
∴
①中当时,,
∵
∴,
16.将椭圆C逆时针旋转得到:为动点B的轨迹方程
设与已知直线的平行直线为:
得
相切时满足:,
两条平行直线最短距离为所求
四、解答题
17.(本题满分10分)
解:
(1)由题可知,,
设边AB上的高所在直线的斜率k
所以边AB上的高所在直线的为:
即为,
(2)设圆的方程为
将点,,代入圆方程
解得
圆方程为:
18.(本题满分12分)
解:
(1)作DE的中点,记为点G,连接AG,HG
∵HG∥DC,且
又∵AB∥DC,且
∴AB∥HG,且,则四边形ABHG为平行四边形
即BH∥AG
又∵平面ADEF,平面ADEF
∴BH∥平面ADEF
(2)以D为原点,DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,,,,
,
设平面CEF的法向量为,由,得:
,令,得,,即
又∵
∴设点B到平面CEF的距离为d
则
19.(本题满分12分)
解:
(1)设等差数列的公差为d,由题知
得
化简得
又因为,得
所以
(2)由题
则
所以
20.(本题满分12分)
解:
(1)∵A是圆弧BC上的中点
∴AO⊥BC
又∵平面是圆柱的轴截面
∴
又∵,且平面,平面
∴AO⊥平面
(2)连接,以O为原点,OA、OB、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则,,,
,
设平面的法向量为,由OA⊥n,得:
,令,得,,即
又∵
∴设直线AE与平面所成的角为
则
21.(本题满分12分)
解:
(1)由题,得,即
又,得
当,得且
得即
得或
所以是以2为首项,1为公差的等差数列
所以
(2)由题
又
由得即
即记
得
所以,单调递减,又,
所以的正整数n的最大值为6.
22.(本题满分12分)
解:
(1)设圆M半径为r,圆心
∵圆M过A,B两点,连接圆心
∴
∵圆M与直线相切
∴,
∴
即曲线的方程
(2)当时,设,
切线:,切线:
由对称性可知CD:
由:,解得
下面证明在任意情况下结论成立。
设,,
由对称性将切线,统一为
则G到直线的距离为1
由得,
,
另一方面,联立,得
a,是方程的两个根
,
同理a,是方程的两个根
,
直线CD方程:
化简为
,
将上式代入直线CD方程中,得到
圆心到直线距离为:
综上,时,对任意的动点P,都有直线CD与圆G相切