四川省绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试数学试卷（含答案）

保密★启用前【考试时间：2024年1月18日14:10—16:10】
绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试
数学
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫来果色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用榢皮擦擦干净后再选梌其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.抛物线：的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
3.已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C.2 D.
4.已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A. B.6 C.或4 D.4或6
5.科技博览会需从5个女生（分别记为，，，，）中选2人参加志愿者服务，已知这5个人被选中的机会相等，则被选中的概率为（ ）
A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.75
6.在平行六面体中，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）
A.射线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆
8.如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面
B.若非零向量，，满足，，则有
C.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
D.若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面
10.如果一组数据的中位数比平均数小很多，下面叙述正确的是（ ）
A.这组数据是近似对称的 B.数据中众数可能和中位数相同
C.数据中可能有极端大的值 D.数据中可能有异常值
11.某电商平台对去年春节期间消费的前1000名网购者，按性别等比例分层抽样100名，并对其性别（（男）、（女））及消费金额（（），B（），（））进行调查分析，得到如人数统计表，则下列选项正确的是（ ）
18 20 14
17 24 7
A.这1000名网购者中女性有490人 B.
C. D.
12.设椭圆：（）与双曲线：（，）有相同的左右焦点且分别为，，离心率分别为，.设与在第一象限内的交点为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知直线：与直线：.若，则______.
14.利用简单随机抽样的方法，从个个体（）中抽取15个个体，若第二次抽取时，每个个体被抽到的概率为.则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为______.
15.已知，是双曲线：（，）的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为，则的渐近线方程为______.
16.如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为______.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
从出游方式看，春节期间是家庭旅游好机.某地区消费者协会调查了部分2023年春节以家庭为单位出游支出情况，统计得到家庭旅游总支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
（1）求的值；
（2）估计家庭消费总支出的平均值及第80百分位数.（结果保留一位小数）
18.（12分）
已知直线：（），圆：.
（1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；
（2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程.
19.（12分）
已知空间四点，，，，满足.
（1）求实数的值；
（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.
20.（12分）
多项选择题是标准化考试中常见题型，从，，，四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中至少有两个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（1）甲同学有一道多项选择题不会做，他随机选择至少两个选项，求他猜对本题得5分的概率；
（2）现有2道多项选择题，根据训练经验，每道题乙同学得5分的概率为，得2分的概率为；丙同学得5分的概率为，得2分的概率为.乙、丙二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题乙比丙总分刚好多得5分的概率.
21.（12分）
在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.
（1）求证：平面；
（2）已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.
22.（12分）
在直角坐标系中，已知，，，以为直径的圆经过点，记点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）给出如下定理：在一般情况下，若二次曲线的方程为：（，，不全为0），则经过该曲线上一点的切线方程为：.若过（）作（1）问曲线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，两点，求的最大值.
绵阳市2023-2024学年高二上学期期末教学质量测试
数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.A 2. B 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
9. AC 10. BCD 11. BC 12. BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2 14. 15. 16.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.解：（1）由频率分布直方图，得，
∴.
（2）平均值为.
第80百分位数为，则，
解得.
18.解：（1）∵（），∴，
令解得∴直线恒过定点.
又，
∴点在圆内部，
∴直线与圆相交.
（2）∵圆：的圆心为，半径为3，
当直线与直线垂直时，弦长最小，此时，
∴直线的斜率为，
∴直线的方程为，即.
圆心到直线的距离为，
∴，
∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为.
19.解：（1）由题意得，，.
∵，则，
∴解得
（2）∵，，，
∴，.
∴.
∴以，为邻边的平行四边形的面积为12.
20.解：（1）甲同学所有可能的选择答案有11种：，，，，，，，，，，，其中正确的选项只有一个.
样本空间，共11个基本事件.
∴猜对本题得5分的概率为.
（2）略
21.解：（1）∵，且是的中点，则.
∵平面，∴.
又，∴平面，
∴.①
∵，∴，则.
∵，∴，
∴在平面中.②
∵，∴由①②知平面.
（2）由题意得，平面，
∴平面.
由（1）可知，故为坐标原点.
如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
∵，
∴，.
∴，，，
∵，
∴由棱台的性质得，
∴.
由（1）可知平面的一个法向量为，且.
直线与平面的所成角的正弦值为，
∴（），
即，解得.
∴平面的一个法向量为，且.
平面的法向量为.
∵，，
即
当时，，.
∴平面的一个法向量为.
.
∴平面与平面所成夹角的余弦值.
22.解：（1）设的中点为，则点坐标为，
∴，即，整理得.
∴点的轨迹方程为.
（2）由（1）得曲线的方程为.设，.
切线方程为，∴当时，，∴.
将点代入，得.①
∵切线方程为，
∴同理可得，.②
∴由①②可知，点坐标均满足方程，
∴直线方程为，即.
由整理得.
∵，为该方程两个根，∴，
∴，.
∴.
∵点到直线的距离为，
∴.
∵，，
∴.10分
∴.
∵，当且仅当时等号成立，
∴当时，的最大值为.