湖南省涟源市全国名校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（含解析）

涟源市全国名校2023-2024学年高一上学期期末考试
数 学
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
3．本卷命题范围；必修第一册。
一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知全集，，则
A． B． C． D．
2．若角满足，，则角所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．不等式成立的一个充分不必要条件是
A． B． C． D．
4．已知，则
A． B． C． D．
5．已知，则的最小值为
A．5 B．3 C． D．或3
6．已知二次函数的零点为和1，则关于x的不等式的解集为
A． B． C． D．
7．某同学用“五点法”画函数（，）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
0
x
0 5 0
根据这些数据，要得到函数的图象，需要将函数的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
8．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为20%．采摘下来的这种水果失去30%新鲜度大概是
（参考数据：，）
A．第11天 B．第13天 C．第15天 D．第17天
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，则正确的结论为
A． B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是
A． B． C． D．
11．已知，则下列结论中错误的是
A．的最大值为2 B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称 D．的最小正周期为
12．若，且函数过点，则下列说法中正确的是
A． B． C． D．
三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若一扇形的圆心角为120°，半径为12cm，则该扇形的面积为 ．
14．若，则 ．
15．设函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，当，，若，则 ．
16．设和是定义在同一个区间上：的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“集团关联函数”，区间称为“集团关联区间”．若与在上是“集团关联函数”，则的取值范围是 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）
已知函数（且）的图象经过点．
（1）求实数a的值；
（2）若，求实数x的取值范围．
18．（12分）
设集合，集合，其中．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．
19．（12分）
设函数（）的最小正周期为．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，求方程的解集．
20．（12分）
已知函数过点，且满足．
（1）求函数的解析式，
（2）解关于x的不等式：（）．
21．（12分）
2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其重要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究．经过2分钟菌落的覆盖面积为18．经过3分钟覆盖面积为27，后期其蔓延速度越来越快；现菌落的覆盖面积y（单位：）与经过时间x（单位：min）的关系有两个函数模型（，）与（）可供选择．
（参考数据：，，，，，，）
（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200？（结果保留到整数）
22．（12分）
已知函数．
（1）求的单调区间及最大值；
（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
涟源市全国名校2023-2024学年高一上学期期末考试
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D
因为全集，，所以根据补集的定义得．
2．C
由知，是一、三象限角，由知，是三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故是第三象限角．
3．C
不等式的解集为，又，所以是不等式成立的一个充分不必要条件．
4．D
因为，所以．
5．B
由，得，当且仅当，即时时等号成立，所以的最小值为3．
6．A
二次函数的零点为和1，所以和1是方程的实数根，由根与系数的关系知，，解得，，所以不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为．
7．A
由题意得，，，所以，，，又根据五点作图法可知，，所以，，要得到函数的图象，只要把的图象向左平移个单位．
8．B
由题意可得，，解得，，所以，当时，则，所以，解得，所以采摘下来的这种水果失去30%新鲜度大概是第13天．
9．AC
依题意，，，所以，将代入得，，，所以AC选项正确，BD选项错误．
10．AC
若，则函数是R上的增函数，函数的图象的对称轴方程为，故A可能，B不可能；若，则函数是R上的减函数，，函数的图象与y轴的负半轴相交，对称轴为，故C可能，D不可能．故选AC．
11．ACD
．对于A，，故A错误；对于B，当时，，由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，故B正确；对于C，当时，，则关于成轴对称，故C错误；对于D，最小正周期，故D错误．故选ACD．
12．BCD
∵过点，∴，即．对于A，∵（当且仅当时取等号），∴，故A错误；对于B，，∵，∴，∴，即，故B正确；对于C，（当且仅当时取等号），故C正确；对于D，（当且仅当时取等号），故D正确．故选BCD．
13．
扇形的圆心角为，因此，该扇形的面积为．
14．
．
15．
∵是奇函数，是偶函数，∴，则，则，即是周期为4的周期函数，则时，，则，∵，∴，则，得，，．
16．
因为，，所以，由题意可知函数在上有两个不同的零点，即在上有两个不同的根，也即与在上有两个不同的交点，作出，的图象如图所示，当时，；当时，．由图象可知，，解得．
17．解：
（1）依题意且，
故．
（2）∵在R上增函数，且，
∴，
∴，
∴所求的x取值范围是．
18．解：
（1）由，得，
解得，即a的取值范围．
（2）由于“”是“”的必要条件，故B为A的子集，
当时，由（1）知，符合题意；
当时，，解得．
综上可得a的取值范围为．
19．解：
（1）函数，
因为函数的最小正周期为，所以，所以，
令（），
整理得（），
故函数的单调递增区间为（）．
（2）因为，
所以或（），
整理得或（）；
因为，所以或，
即原方程的解集为．
20．解：
（1）因为函数过点，
所以，所以，即．
因为，所以的对称轴为，
所以，解得，故．
（2）由（1）得（），
方程的判别式为．
①当，即时，方程无解，
所以不等式的解集为；
②当，即时，方程有两个相等的实数根，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为；
③当，即或时，
方程的两个根为，，
不等式的解集为．
综上，时，不等式的解集是，时，不等式解集为；当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为．
21．解：
（1）∵（，）的增长速度越来越快，（）的增长速度越来越慢，
∴应选模型为（，）；
则，解得，
∴．
又，
∴函数模型为（），
（2）由题意得：，即，
∴，
∵，
∴，
∴至少经过8min增养基中菌落面积能超过200．
22．解：
（1）由，得，
∴的定义域为．
．
令，则在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知：
的单调递增区间为，单调递减区间为，
由单调性可知：．
（2）∵在上恒成立，
∴，
即，
∴在上恒成立，
∴．
令，则在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴，即实数m的取值范围为．